3格林公式曲线积分与线路的无关性

1、3 格林公式格林公式曲线积分与线路的无关性曲线积分与线路的无关性一一 格林公式格林公式主题：平面区域主题：平面区域d上的二重积分与上的二重积分与d的边界的边界l上的上的 第二型曲线积分的关系第二型曲线积分的关系1. 单连通区域单连通区域, 复连通区域复连通区域, 区域边界的方向区域边界的方向(单连通区域单连通区域)(复连通区域复连通区域)区域边界的方向区域边界的方向:当人沿边界行走时当人沿边界行走时, 区域区域d总在其左边总在其左边, 该方该方向为边界的正向向为边界的正向, 相反为边界的负向相反为边界的负向.2. 格林公式格林公式定理定理22.3 若函数若函数p(x,y), q(x,y) 平面

2、有界闭区域平面有界闭区域d上连续上连续, 且有连续的一阶偏导数且有连续的一阶偏导数, 则则()( , )( , )ldqpdxdyp x y dxq x y dyxy 其中其中l为为d的边界曲线的边界曲线, 并取正向并取正向.(1)公式公式(1)可表示为可表示为:( , )( , )ldxy dxdyp x y dxq x y dypq (2)若若l为复连通区域为复连通区域,则则l不止是一条曲线不止是一条曲线.2. 格林公式格林公式()( , )( , )ldqpdxdyp x y dxq x y dyxy 其中其中l为为d的边界曲线的边界曲线, 并取正向并取正向.(1)证证: 只要证只要证(

3、 , )ldpdxdyp x y dxy ( , )ldqdxdyq x y dyx (i) 设设d为为x型区域型区域ec12( , )|,( )( )dx yaxbxyx2( )( )( , )bxaxp x ydxdyydpdxdyy ( ,( )( ,( )bap xxp xxdx( , )( , )aebacbp x y dxp x y dx( , )acbeap x y dx 同理可证同理可证:( , )ldqdxdyq x y dyx (ii)若若d由一条按段光滑的闭曲线围成由一条按段光滑的闭曲线围成如图所示如图所示, 将将d分为分为d1, d2, d3由由(i)易得结论易得结论.

4、(iii) 对复连通区域可作类似讨论对复连通区域可作类似讨论.定理定理22.3 若函数若函数p(x,y), q(x,y) 平面有界闭区域平面有界闭区域d上连续上连续, 且有且有连续的一阶偏导数连续的一阶偏导数, 则则()( , )( , )ldqpdxdyp x y dxq x y dyxy 注注: (i) 两个条件两个条件: p(x,y), q(x,y) 及它们的偏导数都在及它们的偏导数都在d连续连续; d为有界闭区域为有界闭区域;(ii) 表明曲线积分与二重积分之间的关系表明曲线积分与二重积分之间的关系.(iii) 可利用二重积分计算曲线积分可利用二重积分计算曲线积分, 可利用曲线积分计算

5、二重积分可利用曲线积分计算二重积分3. 例例 例例1计算计算abxdy其中曲线其中曲线ab是半径为是半径为r的圆在第一象限部分的圆在第一象限部分.abod解解: p(x,y)=0, q(x,y)=x都在以半径为都在以半径为r的四分之一圆域的四分之一圆域d连续连续.在在d上用格林公式上用格林公式, 得得( , )( , )()ldqpp x y dxq x y dydxdyxy其中其中l的封闭曲线的封闭曲线: aoba21()4ddqpdxdydxdyrxy( , )( , )laoobbap x y dxq x y dyxdyxdyxdy0aoxdy 0obxdy 214baxdyr所以所以2

6、14abxdyr 例例2 计算计算22lxdyydxxy 其中其中l为任一不包含原点的闭区域的边界线为任一不包含原点的闭区域的边界线.dl解解:因为因为22( , )yp x yxy22( , )xq x yxy22222( , )()p x yyxyxy22222( , )()q x yyxxxy显然显然, p(x,y), q(x,y) 及其偏导数都在及其偏导数都在d连续连续, 由格林公式由格林公式, 得得22lxdyydxxy ()0dqpxy例例3 计算计算22lxdyydxxy 其中其中l为圆心在原点半径为为圆心在原点半径为r 的圆周的圆周(取正向取正向).解解:l的参数方程为的参数方

7、程为cos ,02sin ,xrttyrt 22lxdyydxxy 220coscossin( sin )rt rtrt rtdtr2012dt注意注意r 的任意性的任意性.例例4计算计算22lxdyydxxy 其中其中l为以原点内点的有界闭区域的边界为以原点内点的有界闭区域的边界 (取正向取正向).l解解:任作圆心在原点任作圆心在原点, 含于含于l内的圆周内的圆周l1(设其半径为设其半径为r).l1设设l与与l1围成的区域为围成的区域为d, 则由例则由例2, 沿沿d的的边界的正向的第二型曲线积分为边界的正向的第二型曲线积分为0, 即即122220llxdyydxxdyydxxyxy其中其中l

8、取逆时针方向取逆时针方向, l1取顺时针方向取顺时针方向.122222llxdyydxxdyydxxyxy (根据例根据例3)4. 区域面积的曲线积分形式区域面积的曲线积分形式()( , )( , )ldqpdxdyp x y dxq x y dyxy 若若p(x,y)= - y, q(x,y)=x, 则有则有2()lddxdyydxxdy 故故d的面积为的面积为:1()2lydxxdy 例例5 求由星形线求由星形线33cos,sin,(02xat ybtt 所围成的面积所围成的面积.oxy解解:由上所述由上所述, 所求的面积为所求的面积为1()2lydxxdy 2242403(sincosc

9、ossin)2abtttt dt22203sincos2abttdt38ab应用格林公式计算第二型曲线积分应用格林公式计算第二型曲线积分:22,lxy dxx ydy (1) 其中其中l为圆周为圆周222xya的正向的正向.222()(),lxydxxydy (2) 其中其中l是以是以a(1,1),b(3,2),c(2,5)为顶点的三角形为顶点的三角形,方向取正向方向取正向.sin)(cos),xxabeymy dxeym dy(3) (其中其中m为常数为常数,ab为由为由(a,0)到到(0,0)经过经过22(0)xyax a上半部的路线上半部的路线.二二 曲线积分与路线的无关性曲线积分与路线

10、的无关性例例计算计算,lxdyydx其中：其中：(i) 沿抛物线沿抛物线 y=2x2, 从从o到到b的一段；的一段；(ii) 沿直线沿直线 y=2x 从从o到到b的一段；的一段；(iii) 沿封闭线路沿封闭线路oabo。oxy(1,0)a(1,2)b解解:(i)lxdyydx120 (4 )2xxx dx12062x dx(ii)lxdyydx10(22 )xx dx 2(ii)lxdyydxoaxdyydxabxdyydxboxdyydxoaxdyydx10000 xdx abxdyydx20102dyyboxdyydxobxdyydx 2 0lxdyydx 定理定理22.4 设设d为平面单

11、连通闭区域为平面单连通闭区域. 若函数若函数p(x,y), q(x,y)在在d内连续内连续, 且有且有一阶连续偏导一阶连续偏导 数数, 则以下四个条件等价则以下四个条件等价:(i) 沿沿d中任一按段光滑的闭曲线中任一按段光滑的闭曲线l, 有有( , )( , )0. lp x y dxq x y dy(ii) 沿沿d中任一按段光滑的曲线中任一按段光滑的曲线l, ( , )( , ).lp x y dxq x y dy与线路无关与线路无关, 只与只与l的起点终点有关的起点终点有关;(iii)( , )( , )p x y dxq x y dy是是d内某一函数的内某一函数的( , )u x y的全

12、微分的全微分, 即存在即存在d内的函数内的函数( , ):u x y( , )( , )( , ).du x yp x y dxq x y dy(iv) 在在d的每一点处的每一点处, 有有( , )( , ).p x yq x yyx证证:(i)(ii)(i) 沿沿d中任一按段光滑的闭曲线中任一按段光滑的闭曲线l, 有有( , )( , )0. lp x y dxq x y dy(ii) 沿沿d中任一按段光滑的曲线中任一按段光滑的曲线l, ( , )( , ).lp x y dxq x y dy与线路无关与线路无关, 只与只与l的起点终点有关的起点终点有关;abrs设设arb与与asb为联结点

13、为联结点a, b的任两条光滑曲线的任两条光滑曲线.由由(i)0( , )( , )lp x y dxq x y dy 0()()arbasbpdxqdypdxqdyarbasbpdxqdypdxqdy由由arb与与asb的任性的任性, 故故(ii)得证得证.证证:(ii)(iii)(ii) 沿沿d中任一按段光滑的曲线中任一按段光滑的曲线l, ( , )( , ).lp x y dxq x y dy与线路无关与线路无关, 只与只与l的起点终点有关的起点终点有关;(iii)( , )( , )p x y dxq x y dy是是d内某一函数的内某一函数的( , )u x y的全微分的全微分, 即存

14、在即存在d内的函数内的函数( , ):u x y( , )( , )( , ).du x yp x y dxq x y dy由由(ii)知知,曲线积分曲线积分( , )( , )abp x y dxq x y dy与积分路线无关与积分路线无关, 故当故当b(x,y)在在d内变动时内变动时, 其积分其积分值为值为b(x,y)的函数的函数.记记( , )( , )( , )abu x yp x y dxq x y dy以下证以下证:( , )( , )( , ).du x yp x y dxq x y dy记记( , )( , )( , ).abu x yp x y dxq x y dy以下证以下

15、证:( , )( , )( , ).du x yp x y dxq x y dy( , ),( , )uup x yq x yxy0(, )( , )lim( , ),xu xx yu x yp x yx 0( ,)( , )lim( , ).yu x yyu x yq x yy (, )( , )u xx yu x y( , )( , )( , )( , )abcabp x y dxq x y dyp x y dxq x y dy( , )( , )bcp x y dxq x y dy( , )xxxp t y dt由积分中值定理由积分中值定理, 得得( , )xxxp t y dt(, )

16、p xx yx 所以所以0(, )( , )limxu xx yu x yx 0lim(, )( , ).xp xx yp x y 同理可证同理可证:0( ,)( , )lim( , )yu x yyu x yq x yy (iii)(iv)(iii)( , )( , )p x y dxq x y dy是是d内某一函数的内某一函数的( , )u x y的全微分的全微分, 即存在即存在d内的函数内的函数( , ):u x y( , )( , )( , ).du x yp x y dxq x y dy(iv) 在在d的每一点处的每一点处, 有有( , )( , ).p x yq x yyx由由(i

17、ii)有有( , )( , ),xux yp x y( , )( , )yux yq x y又又p(x,y), q(x,y) 有连续的一阶偏导数，故有连续的一阶偏导数，故( , )( , )xyyux yp x y( , )( , )yxxux yq x y( , )( , ).p x yq x yyx(iv)(i)(iv) 在在d的每一点处的每一点处, 有有( , )( , ).p x yq x yyx(i) 沿沿d中任一按段光滑的闭曲线中任一按段光滑的闭曲线l, 有有( , )( , )0. lp x y dxq x y dy设设l为为d中任一按段光滑的闭曲线中任一按段光滑的闭曲线l, 记

18、记l围成的区域为围成的区域为d1. 由于由于d为单连通区域为单连通区域, 故故d1含在含在d内内. 在在d1应用格林公式应用格林公式, 并注意到并注意到( , )( , ),p x yq x yyx得得1( , )( , )()0.ldqpp x y dxq x y dydxdyxy 定理定理22.4 设设d为平面单连通闭区域为平面单连通闭区域. 若函数若函数p(x,y), q(x,y)在在d内连续内连续, 且有且有一阶连续偏导一阶连续偏导 数数, 则以下四个条件等价则以下四个条件等价:(i) 沿沿d中任一按段光滑的闭曲线中任一按段光滑的闭曲线l, 有有( , )( , )0. lp x y

19、dxq x y dy(ii) 沿沿d中任一按段光滑的曲线中任一按段光滑的曲线l, ( , )( , ).lp x y dxq x y dy与线路无关与线路无关, 只与只与l的起点终点有关的起点终点有关;(iii)( , )( , )p x y dxq x y dy是是d内某一函数的内某一函数的( , )u x y的全微分的全微分, 即存在即存在d内的函数内的函数( , ):u x y( , )( , )( , ).du x yp x y dxq x y dy(iv) 在在d的每一点处的每一点处, 有有( , )( , ).p x yq x yyx注注: 1) d为单连通区域为单连通区域ll1d

20、例例考察考察22lxdyydxxy 其中其中l为复连通区域为复连通区域d的边界的边界(取正向取正向).则则22( , )yp x yxy22( , )xq x yxy22222( , )()p x yyxyxy22222( , )()q x yyxxxy满足满足(iv): 在在d的每一点处的每一点处, 有有( , )( , )p x yq x yyx满足满足(i)?2) 通常用通常用(iv)来判断第二型曲线积分与线路的无关性来判断第二型曲线积分与线路的无关性:( , )( , )p x yq x yyx例例 判断下列积分是否与积分线路有关判断下列积分是否与积分线路有关:(1) ()()lxy

21、dxdy(2) 2,lydxxdyxl为右半平面的路线为右半平面的路线.(3) 22,lxdxydyxyl为不包围原占的路线为不包围原占的路线.(4) ( ),lx dxy dy (x),(y)为连续函数为连续函数.3) 当与线路无关时，从当与线路无关时，从a(x0,y0)到到b(x1,y1)的第二型曲线积分可表示为的第二型曲线积分可表示为1100(,)(,)( , )( , )x yxyp x y dxq x y dy4) 当与线路无关时，可选择适当的路线计算第二型曲线积分当与线路无关时，可选择适当的路线计算第二型曲线积分例例 计算下列第二型曲线积分计算下列第二型曲线积分:(1) (1,1)(0,