高中数学新人教A版必修5学案 2.5 等比数列的前n项和第1课时

1、人教版高中数学必修精品教学资料2.5等比数列的前n项和(第1课时)学习目标掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.会用等比数列的前n项和公式解决一些有关等比数列的简单问题.合作学习一、设计问题,创设情境传说国际象棋的发明人是印度的大臣西萨·班·达依尔,舍罕王为了表彰大臣的功绩,准备对大臣进行奖赏.国王问大臣:“你想得到什么样的奖赏?”这位聪明的大臣达依尔说:“陛下,请您在这张棋盘的第一个格子内放上1颗麦粒,在第二个格子内放上2颗麦粒,在第三个格子内放上4颗麦粒,在第四个格子内放上8颗麦粒,依照后一格子内的麦粒数是前一格子内的麦粒数的2倍的规律,放满棋盘的64个格子,并把这

2、些麦粒赏给您的仆人吧.”国王认为这样的奖赏很轻,于是爽快地答应了,命令如数付给达依尔麦粒.计数麦粒的工作开始了,在第一个格内放1粒,第二个格内放2粒,第三个格内放4粒,第四个格内放8粒,国王很快就后悔了,因为他发现,即使把全国的麦子都拿来,也兑现不了他对这位大臣的奖赏承诺.这位大臣所要求的麦粒数究竟是多少呢?每个格的麦粒数组成首项为1,公比为2的等比数列,大臣西萨·班·达依尔所要的奖赏就是这个数列的前64项和.即求,怎么计算? 二、信息交流,揭示规律如何求数列1,2,4,262,263各项的和?以1为首项,2为公比的等比数列的前64项的和,可表示为:s64=1+2

3、+4+8+262+263用公比2乘以的两边,得2s64=2+4+8+16+263+264由-可得:s64=264-1.这种求和方法称为,它是研究数列求和的一个重要方法. 等比数列的前n项和公式:当q1时,sn=或sn=当q=1时,sn=na1公式的推导方法一:一般地,设等比数列a1,a2,a3,an,它的前n项和是sn=a1+a2+a3+an,由得所以(1-q)sn=a1-a1qn.所以当q1时, 当q=1时, 公式的推导方法二:sn=a1+a2+a3+an=a1+q(a1+a2+a3+an-1)=a1+qsn-1=a1+q(sn-an)(1-q)sn=a1-an

4、q(结论同上).现在我们看一看本节开头提出的问题,国王为什么不能兑现他对大臣的奖赏承诺?国王承诺奖赏的麦粒数为s64=264-11.84×1019,据测量,一般一千粒麦子重约为40g,则这些麦子的总质量约为7.36×1017g,约合7360亿吨.国王怎么能兑现他对大臣的奖赏承诺呢?三、运用规律,解决问题【例1】求下列等比数列前8项的和.(1),.(2)a1=27,a9=,q<0.【例2】某商场今年销售计算机5000台,如果平均每年的销售量比上一年的销售量增加10%,那么从今年起,大约几年可使总销售量达到30000台(结果取整数)?四、变式训练,深化提高已知等比数列an

5、满足a3=12,a8=,记其前n项和为sn.(1)求数列an的通项公式an;(2)若sn=93,求n.五、反思小结,观点提炼参考答案一、设计问题,创设情境s64=1+2+4+8+262+263二、信息交流,揭示规律“错位相减法”sn=na1三、运用规律,解决问题【例1】解:(1)因为a1=,q=,所以当n=8时,sn=.(2)由a1=27,a9=,可得=27·q3.又由q<0,可得q=-.于是当n=8时,s8=.【例2】分析:第1年销售量为5000台.第2年销售量为5000×(1+10%)=5000×1.1(台).第3年销售量为5000×(1+10

6、%)×(1+10%)=5000×1.12(台).第n年销售量为5000×1.1n-1台.则n年内的总销售量为(5000+5000×1.1+5000×1.12+5000×1.1n-1)(台).解:根据题意,每年销售量比上一年增加的百分率相同.所以从今年起,每年的销售量组成一个等比数列an,其中a1=5000,q=1+10%=1.1,sn=30000.于是得到:=30000.整理,得1.1n=1.6.两边取常用对数,得lg1.1n=lg1.6,即nlg1.1=lg1.6.用计算器算得n=5(年).答:大约5年可以使总销售量达到30000台.