多元函数(27)

1、2021-11-13微积分-多元函数1上课 手机手机 关了吗？关了吗？2021-11-13微积分-多元函数2一、平面区域的概念一、平面区域的概念0p ),(0 pu |0ppp .)()(| ),(2020 yyxxyx 8 8.2.2多元函数的概念多元函数的概念 设设p0(x0, y0)是是xoy平面上的一个点平面上的一个点, 是某一是某一正数正数, 与点与点p0(x0, y0)距离小于距离小于 的的点点p(x, y)的全的全体体, 称为点称为点p0的的 邻域邻域, 记记u(p0, ) (或或d (p0). 即即1. 邻域邻域x0 x0 x 0 x 一元一元: : 到点到点x0的距离小于的距

2、离小于 的点的集合的点的集合2021-11-13微积分-多元函数32. 内点、边界点、开集内点、边界点、开集ep 例例41),(221 yxyxe为开集为开集1p 设设e是平面上的一个点集是平面上的一个点集, p为平面上一点为平面上一点. e的内点属于的内点属于e.如果点如果点p的任一个邻域内既有属于的任一个邻域内既有属于e的点的点,也有不属于也有不属于e的点的点, 则称则称p为为e的边界点的边界点.边界点边界点p可以属于可以属于e, 也可以不属于也可以不属于e.如果存在点如果存在点p的某一个邻域的某一个邻域u(p) e, 则称则称p为为e的内点的内点. e的边界点的全体称为的边界点的全体称为

3、e的边界的边界. 如果点集如果点集e的点都是内点的点都是内点, 则称则称e为开集为开集.xyo 设设d是开集是开集. 如果对于如果对于d内任何内任何两点，都可以用折线连结起来，两点，都可以用折线连结起来，且该折线上的点都属于且该折线上的点都属于d, 则称则称开集开集d是连通的是连通的.连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.41| ),(22 yxyx例如例如,xyo.41| ),(22 yxyx例如例如,xyo开区域连同它的边界一起称为闭区域开区域连同它的边界一起称为闭区域.3. 连通、开区域、闭区域连通、开区域、闭区域2021-11-13微积分-多元函数50| ),( yxy

4、x有界闭区域有界闭区域;无界开区域无界开区域xyo例例41| ),(22 yxyx4. 有界点集、无界点集有界点集、无界点集对于点集对于点集e，如果存在正数，如果存在正数k，使一切点，使一切点pe与与某一定点某一定点a的距离的距离|ap|不超过不超过k, 即即|ap|k，则称，则称e为有界点集为有界点集. 否则称为无界点集否则称为无界点集.2021-11-13微积分-多元函数6二、多元函数的定义二、多元函数的定义类似地可定义三元及三元以上函数类似地可定义三元及三元以上函数当当n2时，时， n元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数. 多元函数中同样有定义域、值域、自变量、多元函数中同样有定义域

5、、值域、自变量、因变量及多元函数的两要素等概念因变量及多元函数的两要素等概念.例例: 在生产中在生产中, 产量产量y与投入的资金与投入的资金k和劳力和劳力l之间之间有如下关系有如下关系 其中其中, 为正的常数为正的常数.西方经济学里称之为西方经济学里称之为cobb-douglas生产函数。生产函数。.yak l ,a 设设d是平面上的一个点集是平面上的一个点集, 如果对于每个如果对于每个点点p(x, y)d, 变量变量z按照一定的法则总有唯一确定按照一定的法则总有唯一确定的值和它对应的值和它对应, 则称则称z是变量是变量x, y的二元函数的二元函数, 记记zf (x, y) 或或 zf (p

6、)2021-11-13微积分-多元函数7例例1 1 求求 的定义域的定义域222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 013222yxyx 22242yxyx所求定义域为所求定义域为222( , )|24,.dx yxyxy22(,)( , );(,)yf xyxyf x yf xy xyx设，求设，求例例2 2xyuyvx 解解 设设11uxvuvyv 则得则得 2221( , )111uvuuvf u vvvv 21( , ),1xyf x yy 21(,)1xyxyf xy xyxy 由此由此因而因而2021-11-13微积分-多元函数9例例3 关于关于k次齐次函数次齐次函数 设

7、函数设函数z = f (x, y)的定义域的定义域为为d, 且当且当p(x, y)d时时, 对对tr, 仍有仍有(tx, ty)d . 一般地，设产出为一般地，设产出为y，投入要素为，投入要素为x1, x2, , xn (资资本本,劳力劳力,)，描述它们之间关系的生产函数为，描述它们之间关系的生产函数为如果存在常数如果存在常数k, 使对任意的使对任意的(x, y)d, 恒有恒有则称函数则称函数z = f(x, y)为为k次齐次函数次齐次函数.f (tx, ty) =t k f (x, y)前述前述cobb-douglas生产函数就是生产函数就是 次齐次函数次齐次函数. y=f (x1, x2,

8、 , xn )通常假定其为齐次函数，即有通常假定其为齐次函数，即有1212(,)(,)knnfxxxf xxx k=1:产出与生产规模成比例，称为规模报酬不变或固定规产出与生产规模成比例，称为规模报酬不变或固定规模报酬；模报酬； k1称为规模报酬递增；称为规模报酬递增； k1称规模报酬递减。称规模报酬递减。2021-11-13微积分-多元函数10二元函数二元函数z = f (x, y)的图形的图形设设z = f (x, y)定义域定义域d, 任意取定任意取定p(x, y)d, 对应函对应函数值数值z = f(x, y). 以以x为横坐标、为横坐标、 y为纵坐标、为纵坐标、 z为竖为竖坐标在空间

9、确定一点坐标在空间确定一点m (x, y, z), 当当x取遍取遍d上一切上一切点时点时, 得空间点集得空间点集 (x, y, z)| z = f (x, y), (x, y)d，二元函数的图形二元函数的图形通常是一张曲面通常是一张曲面.其定义域就是该其定义域就是该曲面在平面上的曲面在平面上的投影投影. 这个点集称为二元这个点集称为二元函数的图形函数的图形.2021-11-13微积分-多元函数11xyzoxyzsin 例如例如,图形如右图图形如右图.2222azyx 例如例如,右图球面右图球面.),(222ayxyxd 222yxaz .222yxaz 单值分支单值分支:我们主要研究单值函数我

10、们主要研究单值函数2021-11-13微积分-多元函数12三、多元函数的极限三、多元函数的极限说明说明:（1）定义中）定义中 的方式是任意的；的方式是任意的；0pp （2）二元函数的极限也叫二重极限）二元函数的极限也叫二重极限);,(lim00yxfyyxx（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似）二元函数的极限运算法则与一元函数类似2021-11-13微积分-多元函数13例例4 4 求证求证 01sin)(lim222200 yxyxyx证证01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 取取当当 时时, 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxy

11、x故原结论成立故原结论成立要使得要使得 只要只要220 xy 215lim 1xxyxyax 例求例求1lim1xxxyxyax e222( , )(0,0)6limx yxyxy 例求例求 222,0,0 ,1,yx yxy 解解222yxy 有界.有界. ,(0,0)lim0 x yx 又，又，故故(x, y)(0, 0)时时,故故(x, y)(0, 0)时时, x是无穷小量。是无穷小量。由无穷小量的性质由无穷小量的性质, 当当(x, y)(0, 0)时时, 222xyxy 是无穷小量，是无穷小量，222( , )(0,0)lim0 x yxyxy 即即证证例例8 8 证明证明 不存在不存

12、在 36200limxyx yxy 取取,3kxy 26300limyxyxyx 6263303limxkxkxxkxyx ,12kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，故原极限不存在故原极限不存在例例7 7 讨论下述函数在讨论下述函数在(0,0)的极限的极限 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf解解取取kxy 2200limyxxyyx 22220limxkxkxkxyx 21kk 其值随其值随k的不同而变化，的不同而变化，极限不存在极限不存在2021-11-13微积分-多元函数16四、多元函数的连续性四、多元函数的连续性定义：定义：在在(0,0)处连续处连续(由例由

13、例6) 222,0,0( , )0,0,0 xyx yxyf x yx y 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf在在(0,0)处不连续处不连续(由例由例7)2021-11-13微积分-多元函数17闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，在上的多元连续函数，在d d上至少取得它的最大值和最小值各一次上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界闭区域在有界闭区域d d上的多元连续函数，如上的多元连续函数，如果在果在d d上取得两个不同的函数值，则它在上取得两个不同的函数值，则它在d d上上取得介于这两值之间的任何值至少一次取得介于

14、这两值之间的任何值至少一次（1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2）介值定理）介值定理 若二元函数若二元函数z = f (x, y)在某平面区域在某平面区域d内的任意内的任意一点都连续一点都连续, 则称函数是在此区域上的连续函数则称函数是在此区域上的连续函数. 其几何图形是空间中一张连续的曲面。其几何图形是空间中一张连续的曲面。 2021-11-13微积分-多元函数18多元函数极限的概念多元函数极限的概念多元函数连续的概念多元函数连续的概念闭区域上连续函数的性质闭区域上连续函数的性质（注意趋近方式的（注意趋近方式的任意性任意性）小结小结多元函数的定义多元函数的定义 若点若点),(yx沿

15、着无数多条平面曲线趋向于沿着无数多条平面曲线趋向于点点),(00yx时，函数时，函数),(yxf都趋向于都趋向于 a，能否，能否断定断定ayxfyxyx ),(lim),(),(00？思考题思考题解答解答不能不能.例例,)(),(24223yxyxyxf 取取,kxy 2442223)(),(xkxxkxkxxf 00 x但是但是 不存在不存在.),(lim)0,0(),(yxfyx原因为若取原因为若取,2yx 244262)(),(yyyyyyf .41(x, y)(0, 0)2021-11-13微积分-多元函数20一、偏导数一、偏导数8.38.3偏导数偏导数与全微分与全微分2021-11-

16、13微积分-多元函数21:说明 偏导数实质为一元函数的导数！说明 偏导数实质为一元函数的导数！00000000(,)x xxxyyx xx xyyyyzfzfxyxx ，或或00000000(,)x xyyyyx xx xyyyyzfzfxyyy ，或或2021-11-13微积分-多元函数22( , )xxzfzfx yxx， ，或， ，或( , )yyzfzfx yyy， ，或， ，或2. 偏导数的计算偏导数的计算2021-11-13微积分-多元函数23偏导数的概念可以推广到二元以上函数偏导数的概念可以推广到二元以上函数如如 在在 处处 ),(zyxfu ),(zyx0(, , )( , , )( , , )lim,xxf xx y zf x y zfx y zx 0( , )( , , )( , , )lim,yyf x yy zf x y zfx y zy 0( , ,)( , , )( , , )lim.zzf x y zzf x y zfx y zz 2021-11-13微积分-多元函数24例例 1 1 求求 223yxyxz 在点在点)2 , 1(处的偏导数处的偏导数解解