A1(910)连续函数性质与闭区间上连续函数的性质

1、9. 连续函数的运算连续函数的运算 与初等函数的连续性与初等函数的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性一、连续函数的和、差、积、商的连续性定理：定理：设设 f (x), g (x) 在点在点 x0 处连续，则处连续，则(1) f (x) g (x) 在点在点 x0 处也连续处也连续 ；(2) f (x) g (x) 在点在点 x0 处也连续处也连续 ；)0)()()()3(0 xgxgxf在点在点 x0 处也连续。处也连续。例：例： 讨论讨论 (1) y = x n, (2) y = tan x 的连续性。的连续性。(1) y = x 在其定义域在其定义域 ( -,+) 连续，连续， y

2、 = x n = x x x (有限个有限个 x 的乘积的乘积) 在在 ( -,+) 也连续。也连续。(2) y = sin x , y = cos x 在其定义域在其定义域 ( -,+) 连续连续,在其定义域在其定义域xxxycossintan 内也连续。内也连续。), 2, 1, 0)(2,2( kkk 幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的。幂函数、三角函数在其定义域内都是连续的。二、反函数与复合函数的连续性二、反函数与复合函数的连续性定理（定理（2）( p. 65 )若若f为单调连续函数，则其反函数必存在，为单调连续函数，则其反函数必存在，且也单调且连续。且也单调且连续。例：例：上上在

3、在2,2sin xy单值、单调且连续，单值、单调且连续，上上，在对应区间在对应区间则其反函数则其反函数11arcsin xy也单值、单调且连续。也单值、单调且连续。反三角函数在其定义域上都是连续函数。反三角函数在其定义域上都是连续函数。定理（定理（3）( p. 66 ) )(lim),(0 xxuxx 且且设设);()(limafufau 又又. )()(lim)(lim00afxfxfxxxx 则则 复合函数的极限存在性复合函数的极限存在性定理（定理（4）( p. 66 ) )(lim),(0 xxuxx 且且设设a ; )(0 x );()(lim00ufufuu 又又.)()(lim)(

4、lim000 xfxfxfxxxx 则则 复合函数的连续性复合函数的连续性连续的复合函数仍为连续函数。连续的复合函数仍为连续函数。例例1：的连续性。的连续性。讨论讨论xy1cos 解：解：,1,cos1cosxuuyxy 连续；连续；在在),(cos uuy连续；连续；在在), 0(),0,(1 xu也连续。也连续。在在), 0(),0,(1cos xu例例2：讨论讨论 y = a x , y = log a x (a 0, a 1)， y = x ( 为一切实数为一切实数 ) 的连续性。的连续性。axxealn axueyuln, 均在其定义域连续，均在其定义域连续，也在其定义域连续。也在其

5、定义域连续。)1, 0( aaayx其反函数其反函数 y = log a x 也在其定义域连续。也在其定义域连续。xexln xueyuln, 均在其定义域连续，均在其定义域连续， y = x ( 为一切实数为一切实数 )也在其定义域连续。也在其定义域连续。解：解：三、初等函数的连续性三、初等函数的连续性基本初等函数基本初等函数在它们的在它们的定义域定义域内都是连续的内都是连续的。一切初等函数一切初等函数在它们的在它们的定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的。定义区间定义区间： 指包含在定义域内的区间。指包含在定义域内的区间。1.初等函数在其定义区间内任何一点的初等函数在其定义区间内任何一点

6、的 极限值极限值就是函数在该点的就是函数在该点的函数值函数值。2.初等函数的初等函数的定义区间定义区间就是该函数的就是该函数的 连续区间连续区间。例题讨论例题讨论例例1：的连续区间。的连续区间。求求23)1ln(2 xxxy解：解：,)2( )1()1ln( xxxy,012, 1 xx且且 连续区间为：连续区间为：.), 2()2, 1()1, 1( 例例2：的连续性。的连续性。讨论讨论 1,10,0,12xxxxxxy解：解：时，时，当当1, 10, 0 xxx连续。连续。均为初等函数，故均为初等函数，故xxx,12 例例3：,1, )ln(ln11,arctan)(2 xxxxxxaxx

7、f设设试选择试选择 a , 使使 f (x) 为连续函数。为连续函数。解：解： x 1 时时, f (x) 连续；连续；”“00 不定型不定型, 0)(lim, 0)()(lim00 xgaxgxfxxxx且且若若. 0)(lim0 xfxx则必有则必有例例1：的值。的值。求求设设kxkxxx, 113lim21 解：解：时，时，1x，分母分母01 x要使极限存在且为常数，要使极限存在且为常数，, 0)3(2 kxx必有必有, 031)3(lim21 kkxxx即即. 2 k例例2：的值。的值。求求设设baxbxaxx, 11lim21 解：解：，时，分母时，分母011 xx0)(lim21

8、bxaxx有有;01 ba),1( ab代入代入11lim21 xaxaxx有有1)1()1)(1(lim1 xxaxxx)1(lim1axx a 21 ,3 a. 2 b且且课外作业课外作业习题习题1-9(a)2、3 (2, 5, 8, 10, 11, 12)、5习题习题 1-9(b)1(2, 3, 5), 3(4, 7, 8), 410. 闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质一、最大值与最小值定理一、最大值与最小值定理定理定理 1：在在闭区间闭区间上上连续连续的函数必有的函数必有最大值与最小值。最大值与最小值。 (证略证略)即若即若 f (x) 在在 a, b 连续，则必存在两点连

9、续，则必存在两点有有对所有对所有使使,21baxba )()()(21 fxff m = m(最小值最小值)(最大值最大值)xy0ab1 2 说明：说明：闭区间，连续函数，缺一不可。闭区间，连续函数，缺一不可。若不是闭区间，若不是闭区间， 如：如：y = x 在在 (a, b) 内连续，内连续，xy0ab。无最小值无最小值无最大值无最大值若若 f (x) 不连续，如：不连续，如：,21,31,110,1 xxxxxyxy0112。.也无最大最小值。也无最大最小值。定理中两条件：定理中两条件：定理定理 2：作为推论，得作为推论，得 有界性定理有界性定理。在在闭区间闭区间上上连续连续的函数必在该区

10、间的函数必在该区间有界有界。由定理由定理 1，,)(mxfm 在该区间有在该区间有 ,maxmmk 取取有界。有界。则则)()(xfkxf 二、介值定理二、介值定理定理定理 3 ：( 零点定理零点定理 ) ( 根的存在定理根的存在定理 )且且 f (a) 与与 f (b) 异号，异号，( 即即 f (a) f (b) 0 )则至少存在一点则至少存在一点若若 f (x) 在在 a, b 连续，连续，.0)(),( fba使使xy0abf (a)f (b). xy0ab结论结论又为：又为：方程方程 f (x) = 0 在在 (a, b)内至少有一个根。内至少有一个根。1 2 3 定理定理 4 (

11、介值定理介值定理 )若若 f (x) 在在 a, b 连续，且连续，且 f (a) = a, f (b) = b, ab, 则对于则对于a、b 之间之间的任一数的任一数 c，至少存在一点，至少存在一点),(ba 使使 f ( ) = c .证：证：,)()(cxfx 令令且在且在 a, b 连续，连续，,)()(cacafa ,)()(cbcbfb 无论无论 a c b 或或 b c a , (a) (b) 0,由零点定理，由零点定理， 至少存在一点至少存在一点),(ba 0)( 使使.)(0)(cfcf 即即xy0abc .ab1 2 3 c . 推论：推论：在闭区间上连续的函数必取得介于在

12、闭区间上连续的函数必取得介于最大值最大值 m 与最小值与最小值 m 之间的任何值。之间的任何值。例题讨论例题讨论例例1： 证明证明内至少有一个根。内至少有一个根。在在, 00cos xex证：证：设设 f (x) = e x cos x ,内连续，内连续，且在且在, 0 , 01)0(0 ef,0cos)( eef由零点定理，由零点定理，至少存在一点至少存在一点), 0( ,0cos)( ef使使内至少有一个根。内至少有一个根。在在, 00cos)( xexfx例例2：的正根。的正根。至少有一个小于至少有一个小于 112 xx证明方程证明方程证：证：,12)( xxxf设设内连续，内连续，且在且在1, 0, 01)0( f,0112)1( f由零点定理，由零点定理， 至少存在一点至少存在一点),10( ,0)( f使使,012)( 至少有一个根至少有一个根即方程即方程 xxxf.10 且且 得证。得证。例例3：设设 f (x) 在在 0, 2a 连续连续, f (0) = f (2a),使使，上至少存在一点上至少存在一点则在则在 , 0a.)()(