高等数学II(微积分龚德恩范培华)34函数的微分

1、1 前面我们从前面我们从变化率变化率问题引出了问题引出了导数导数概念，概念，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，它是微分学的一个重要概念。在工程技术中，还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这还会遇到与导数密切相关的另一类问题，这就是当自变量有一个微小的增量时，要求计就是当自变量有一个微小的增量时，要求计算算函数的相应的增量函数的相应的增量。一般来说，计算函数。一般来说，计算函数增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑增量的准确值是比较繁难的，所以需要考虑用简便的计算方法来计算它的近似值。由此用简便的计算方法来计算它的近似值。由此引出了微分学的另一个基本概念引出了微分学的另一个基本概念 微分微

2、分23.4 函数的微分函数的微分1.1.微微分分的的定定义义2.2.微微分分的的几几何何意意义义3.3.基基本本微微分分公公式式4.4.微微分分法法则则5.5.微微分分在在近近似似计计算算中中的的应应用用3实例实例: :正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.,00 xxx 变到变到设边长由设边长由0 x0 xx x 20,sx 正正方方形形面面积积20 xa 2200()sxxx .)(220 xxx )1(xx 0 xx 0)2(2)( x 线线性性主主部部1.1.微微分分的的定定义义02xxs(1)(1)是是的的线线性性主主部部；02sxx2()xx(2)(2)

3、是是比比高高阶阶的的无无穷穷小小。|x 当当很很小小时时，问题问题: :这个线性函数这个线性函数(改变量的主要部分改变量的主要部分)是否所有是否所有 函数的改变量都有函数的改变量都有? 它是什么它是什么? 如何求如何求?既容易计算又是较好的近似值既容易计算又是较好的近似值401 ( )yf xxyx 若若函函数数在在的的改改变变量量与与定定自自变变量量义义的的改改变变量量x 有有下下列列关关系系，(,(1)ya xox 0()axxoxx其其中中是是仅仅依依赖赖于于而而与与无无关关的的常常数数，是是比比高高阶阶0( )( )xaxxyf xf 在在的的无无穷穷小小量量，则则称称函函数数，称称为

4、为函函可可微微数数000d |d |.x xx xyya xx在在点点处处的的微微分分，记记作作，即即dyy ：就就是是函函数数增增注注微微分分线线量量的的性性主主部部。( (微分的实质微分的实质) )a ? ?()ydyox dy 501 ( )( )yf xxf x 函函数数在在点点可可微微的的充充分分必必要要条条件件是是定定理理在在000d |().(2)xxxyfxx 点点可可导导，且且有有也就是说也就是说 , f (x) 在点在点 x0 处处的的可微性可微性与与可导性可导性是等价的是等价的 ,( ) ( ),11f xxfx ：由于当时，：由于当时，注注故故dxx d ,(2)xxx

5、 即即自自变变量量的的微微分分就就是是它它的的增增量量所所以以式式可可改改写写为为000d |()dd |xxxxfyfxx (1)(22)：由式可以得：由式可以得注计算函数增注计算函数增到到量的近似公式量的近似公式000()()()yf xxf xfxx 000()()()f xxf xfxx 或或601 ( )( )yf xxf x 函函数数在在点点可可微微的的充充分分必必要要条条件件是是定定理理在在000d |().(2)xxxyfxx 点点可可导导，且且有有也就是说也就是说 , f (x) 在点在点 x0 处处的的可微性可微性与与可导性可导性是等价的是等价的 ,)3,( xyf x ：

6、在任意一点函数：在任意一点函数注注的微分的微分d (d)dd)(f xfyyxxx 或或ddddyyxyx 从从而而导导数数可可以以看看成成函函数数的的微微分分与与自自变变量量之之商商，所以导数也称为“所以导数也称为“微商微商”。70,p qx 00()(),pqyf xxf x dtan ,tqyx d()(0).ptyyoxx 当当00 xpt 当当时时，可可以以近近似似的的用用切切线线来来代代替替:( ), cyf x 曲曲线线此此即即以以通通直直常常所所说说的的“代代曲曲”。切线纵坐标的增量切线纵坐标的增量x0 xx 0 xoy( )yf x 0pptq0d()yfxxtanxdyy

7、当当 很小时很小时,xdyy 2.2.微微分分的的几几何何意意义义83 3. .基基本本微微分分公公式式dc (1)(1)dux (2)(2)dxa (3)(3)dlogax (4)(4)dsin x (5)(5)dcos x (6)(6)dxe dln x 0();c为为常常数数1d ()uuxx u 为为实实数数 ；(ln )d(0,1),xaaxaad ;xex1d (0,1),lnx aaxa1d ;xxcos d ;x xsin d ;x x dxxfdy)( 求法求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.9darccot x (14)(14)22

8、1dcscd ;sinxx xx dcot x (8)(8)dsec x (9)(9)dcsc x (10)(10)darcsin x (11)(11)darccos x (12)(12)darctan x (13)(13)sectan d ;xx xcsccot d ;xx x 21d ( 11);1xxx 21d ( 11);1xxx 21d ;1xx 21d ;1xx dtan x (7)(7)221dsecd ;cosxx xx 10sin102yxxx 求求函函数数在在点点和和例例的的微微分分。解解0dsinxx 0cosxxdx dx 2dsinxx 2cosxxdx 0 112

9、求求下下列列函函例例数数的的微微分分：cot;xye (1)(1)ln|(0).yxx(2)(2)解解(1) y cotcot dcotcscxxexxedx (2) 1yx 1ln=dxdxxcotcotcscxxxe 124.4.微微分分法法则则a和和、差差、积积、商商. .函函数数的的的的微微分分法法则则( ),( )uu x vv x设设都都可可导导，则则有有(1)d()=dd ;uvuv(2)d()dd ;uvv uu v2dd(3)d( )(0).uv uu vvvv 13b. .复复合合函函数数的的微微分分法法则则( ),( ) ( )yf u ug xyf g x设设，则则对对

10、于于复复合合函函数数，有有dd d( ( )( )dddyyufg x g xxuxd( )d .( )yfu g xx 所以所以d( )( )d ,ug xxug x 而对于函数，其微分 故而对于函数，其微分 故dd( ( )( )dyf ufuu 1 uu注注自自变变这这说说明明，无无论论，还还是是作作为为量量中中间间变变量量，d( )dyfuu 其其形形式式是是不不变变的的，都都为为，这这一一性性质质dd. dd2yyxu 值值得得注注意意的的是是没没有有这这种种不不变变性性。即即注注导导数数微微分分形形式式称称为为不不变变性性。14 由微分形式不变性由微分形式不变性, , 再来看再来看

11、复合函数、反函数、复合函数、反函数、参数方程参数方程等的求导公式，就会有另一种感觉：等的求导公式，就会有另一种感觉：)(1dd1dd)( xfxyyxy反函数的导数)()(d)(d)(dd txtyttxttyxy参数方程的导数 , dddddd xuuyxy复合函数的导数153 求求下下列列函函例例数数的的微微分分：2cos;xya (1)(1)arctan;yx (2)(2)lncot3 ;yx (3)(3)tan.1xxye (4)(4)2cos2(1) ln d(cos)xdyaax 解解2cos2lncos d(cos )xaaxx 2cos2ln cossin dxaaxxx 2c

12、osln sin2 dxaxax 微微分分形形式式不不变变性性163 求求下下列列函函例例数数的的微微分分：2cos;xya (1)(1)arctan;yx (2)(2)lncot3 ;yx (3)(3)tan.1xxye (4)(4)(2) d(arctan)dyx 解解 21d() 1+xx 11d1+2xxx 173 求求下下列列函函例例数数的的微微分分：2cos;xya (1)(1)arctan;yx (2)(2)lncot3 ;yx (3)(3)tan.1xxye (4)(4)(3) d(lncot3 )dyx 解解1d(cot3 )cot3xx 2csc 3d(3 )cot3xxx

13、 113dsin3cos3xxx 16dsin6xx 6csc6 dx x 183 求求下下列列函函例例数数的的微微分分：2cos;xya (1)(1)arctan;yx (2)(2)lncot3 ;yx (3)(3)tan.1xxye (4)(4)解解tan(4) 1xxdyde xxxdxexdee2tan1tan11 xxxxedxxe dxe22sec1tan1 19(4)f u 设设函函数数可可微微，求求下下列列函函例例数数的的微微分分：(ln );yfx (1)(1)( )().f xxyef e (2)(2) (ln )dyd fx 解解 (1)(1) (ln ) (ln )fx

14、 dx 1(ln )fxdxx ( )()f xxdyd ef e (2)(2)( )( ) () ()f xxf xxd ef eed f e( )( ) ( ) ()() ()f xxf xxxed f xf eefed e ( )( )( ) ()()f xxf xxxefx f edxefee dx( )( ) ()()f xxxxefx f efeedx20222dsin.(:dd()d()5xxxxx 例例 求求注注意意解解:xxxxxx22sinddsind()d() （）sind2 dxxx x （）sindxx（）= =2d(sin )sin dxxx xx 2cos dsi

15、n dxx xx xx 2cossindxxxxx 2dsin d()xxx3cossin2xxxx 211、计计算算函函数数增增量量的的近近似似值值00( )()0,yf xxfxx 若若在在点点处处的的导导数数且且当当很很小小时时，000d()|.xx xxyyfxx 5.5.微微分分在在近近似似计计算算中中的的应应用用226 半半径径为为10cm10cm的的金金属属圆圆片片加加热热后后半半径径伸伸长长0.00.0例例5cm,5cm,问问面面积积增增加加的的近近似似值值？1010|d |(10)xxyyfx 2 yx 解解1020.05xx 200.05 232、计计算算函函数数的的近近似

16、似值值( )(0)(0)f xffx 00000,()()()xxxf xxf xfxx 令令因因为为，所所以以( )0f xx (2)(2)求求在在点点附附近近的的近近似似值值000()()()|f xxf xfxxx （很很小小）000()()|(|),yf xxf xfxxx 因因为为当当很很小小时时有有所所以以0( )f xxx (1)(1)求求在在点点附附近近的的近近似似值值|1 (1) 11;(2)sin; (3)tan; (4)1;(5)ln(1).nxxxxxxnxxexxx当当很很小小时时，有有下下列列常常用用近近似似公公式式：243710.003yxxx 求求函函数数在在点

17、点的的微微分分当当例例时时的的值值。yd2313xxd1d0.003xx0.001解解231130.003dxx1d0.003xx25sin381 求求的的例例近近似似值值。练练习习: : 求求下下列列数数的的近近似似值值: :3(1)1.02;(2)arctan1.05.000()()()f xxf xfxx 解解: 设设( )sin,f xx 取取300 x,6,31180 31=d180 xx 则则31180sin sin6 6cos230 0175. 485. 0180 31sin21261. 微分概念微分概念 微分的定义微分的定义 可导可导可微可微4. 微分运算法则微分运算法则微分形式不变性微分形式不变性 :d( )( )df ufuu