空间角的求法

1、空间角的求法（一）求异面直线所成的角：解题步骤：一找（作）：利用平移法找出异面直线所成的角；（1）可固定一条直线平移另一条与其相交；（2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角）。常需要证明线线平行；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；【例题】1如图，在正方体中，分别是中点，求异面直线与所成角的角. 【答案】 60°. 2. 如图所示，已知正四棱锥侧棱长为，底面边长为，E是的中点，则异面直线与所成角的余弦值.【答案】 【练习】1.正方体中,异面直线和所成的角的度数是_. 2如图9-1-3，在长方体中，已

2、知，则异面直线与所成的角是_，异面直线与所成的角的度数是_ 3. 如图9-1-4，在空间四边形中， ,分别是AB、CD的中点，则 与所成角的大小为_.（二）求直线与平面所成的角：关键找“两足”：垂足与斜足解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用）；二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角）（常需证明线面垂直）；三计算：常通过解直角三角形，求出线面角。在实际解题的过程中，根据不同的已知条件，常有下列方法。 1直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂

3、线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。【例1 】（ 如图 ）四面体中， 两两垂直，,=45°, =60°, 求（1）与平面所成的角。（2）与平面所成角的正弦值。 【解析】:（1） , 平面 故B是斜线 在平面上的射影， 是直线与平面所成的角为60°。（2） 取的中点,连结，则,又,平面,面面 过作于, 则平面即为 在面内的射影。 为与平面所成的角。 sin 与平面所成的角的正弦值为【练习】1、已知面，、与平面所成角分别为、，且。求与平面所成角的正切值2 、如图，在长方体中，的比为3：2：1，为上底面的中心。（1）求与平面所成的角；（2）求与平面所成的

4、角；ABCDPO(第3题图)3、如图，在四棱锥中，底面，与交于点，（）证明：平面；（）求直线与平面所成的角的正弦值4 如图所示，是边长为的正方形，是以角为直角的等第4题腰三角形，为上一点，且平面。（）求证：平面平面；（）求直线与平面所成角的余弦值。5、如图，在四棱锥中，底面为正方形， 平面， 的余弦值为， .（）若为的中点，求证：平面；（）求直线与平面所成角的正弦值6P B O AC D6、如图，在矩形中，沿对角线把折起到位置，且在面内的射影恰好落在上（1）求证： ；（2）求与平面所成的角的正弦值. 7、如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1C1DBAC(第7题图)BAC90°

5、;，ABACAA1() 求证：AB1平面A1BC1；() 若D为B1C1的中点，求AD与平面A1BC1所成的角 2、利用公式其中是斜线与平面所成的角， 是 垂线段的长，是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积相等来求垂线段的长。对于不太容易找到斜线在平面内的射影，但是比较容易求出三棱锥体积的条件下用此公式可以大大简化解题过程。【例2 】（ 如图) 长方体 , , ，求与面 所成角的正弦值。解：设点 到的距离为,1，易得 设 与 面 所成的角为,则.【练习】 1、（如图）四棱锥SABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC底面ABCD.

6、已知ABC45°，AB2，BC=2，SASB.()证明：SABC；()求直线SD与平面SAB所成角的正弦值（）答案：。2、已知直三棱柱，底面是等腰三角形，, 点分别是的中点.（）求证：直线平面；（）求直线与平面所成角的正弦值.PABDCO第3题3、如图所示，已知圆的直径长度为4，点为线段上一点，且，点为圆上一点，且点在圆所在平面上的正投影为点，（）求证：平面；（）求与平面所成的角的正弦值。4、如图，已知平面与直线均垂直于所在平面，且, QPABC（）求证：平面； （）若，求与平面所成角的正弦值. 5、（2014年浙江高考.文科20）如图，在四棱锥中，ADEBC平面平面；，。（1）证明

7、：平面；（2）求直线与平面所成的角的正切值。3. 利用公式 （如图） 若为平面的一条斜线，为斜足，为在面内的射影，为内的一条直线，其中为与所成的角， 为与所成的角，即线面角，为与所成的角，那么，它揭示了斜线和平面所成的角是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角（常称为最小角定理）.证明如下：设，则，使于，则，又，所以.【例3】（如图） 已知直线 两两所成的角为60°, ，求直线 与 面所成的角的余弦值。解：= 在面 内的射影在 的平分线上，则即为与面所成的角，可知 =30° ,cos=cos·cos cos60°=cos·cos30&

8、#176; cos 与 面所成的角的余弦值为。【练习】 1、如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，求斜线和平面所成角。解：，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角， 又，即斜线和平面所成角为 2、已知空间四边形的各边及对角线相等，求与平面所成角的余弦值。 解：过作平面于点，连接，是正三角形的外心，设四面体的边长为，则，即为与平面所成角，所以，与平面所成角的余弦值为 3、如图，是平面的斜线，在平面内，且满足，又已知，求和平面所成的角。 4、如图，已知正方形所在平面，且，求和平面所成的角。4、 向量法空间中的角大多能用向量方法求解，凡可建立空间直角坐标系的，既可以用向量方法

9、求解。直线和平面所成角的向量法求角的计算公式：。其中是直线的方向向量，是平面的法向量。（三）求二面角的平面角解题步骤：一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法）； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。求二面角的大小，关键是找二面角的平面角。找二面角的平面角的方法最常见的有定义法和三垂线法。1、 用定义法找二面角的平面角 【例题1】（2011浙江卷.文科20）如图，在三棱锥中，为的中点，平面，垂足落在线段上. （）证明：；（）已知，.求二面角的大小. 证明：由中点，得，又，得因为，所以，故 解：

10、如图，在平面内作于，连。因为所以故为二面角的平面角。在在，在中，所以在又故同理因为所以即二面角的大小为【例题2】如图，已知四边形是矩形，三角形是正三角形，且平面平面.（1）若是的中点，证明：;（2）求二面角的余弦值.【答案】（2）.【练习】已知四棱锥SABCD的底面ABCD是正方形，SA底面ABCD，E是SC上的任意一点(1)求证：平面EBD平面SAC；(2)设SA4，AB2，求点A到平面SBD的距离；(3)当的值为多少时，二面角BSCD的大小为120°？2、用三垂线法找二面角的平面角用三垂线法求二面角的平面角的步骤为三步：第一步找棱，第二步找面，第三步找其中一个面的垂线，然后根据三

11、垂线定理构造平面角。【例题1】(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形, , 分别是棱、的中点。（1） 证明：直线/平面；（2） 求二面角的余弦值。 【解】（1）证明：连，则，又，平面平面，从而直线/平面；（2）解：因为，, 是棱的中点,所以,为正三角形,取的中点,则,又因为直四棱柱,平面,所以,所以平面,过在平面内作,垂足为,连接,则为二面角的一个平面角, 在正三角形中，,在中, OPFCC1F, 在中,所以二面角的余弦值为.【例题2】（2014年宁波一模.理科20）如图，在四棱锥中，为上一点，平面，为上一点，且. （I）求证：平面； （II）若二面角为， 求的值.【解析】）

12、证明：连接交于点，连接.由，所以，.面，面，面.（）连，过作于，由于，故面.过作于，连，则即为二面角的平面角面角，.，.【例题3】如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，BCD60°，E是CD的中点，PA底面ABCD，PA2.ABCEDP （）证明：平面PBE平面PAB;（）求平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的正弦值.分析：本题的平面PAD和平面PBE没有明确的交线，依本法显然要补充完整（延长AD、BE相交于点F，连结PF.）再在完整图形中的PF.上找一个适合的点形成二面角的平面角解之。【解析】（）证略（）延长AD、BE相交于点F，连结PF.过点A作AHP

13、B于H，由（）知平面PBE平面PAB,所以AH平面PBE.在RtABF中，因为BAF60°，所以，AF=2AB=2=AP.在等腰RtPAF中，取PF的中点G，连接AG.ABCEDPFGH则AGPF.连结HG，由三垂线定理的逆定理得，PFHG.所以AGH是平面PAD和平面PBE所成二面角的平面角（锐角）.在等腰RtPAF中， 在RtPAB中， 所以，在RtAHG中， 故平面PAD和平面PBE所成二面角（锐角）的正弦值是【例4】如图，在四棱锥中，底面，,点为棱的中点.（1） 证明：；（2） 求直线与平面所成角的正弦值；（3） 若为棱上的点，且,求二面角的余弦值.【答案】（2）；（3）.【

14、练习】1、 如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BB1BC1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB(1)求证：平面EDB平面EBC；(2)求二面角EDBC的正切值.DBAEC2、如图与所在平面垂直，且， = =，求二面角 的余弦值。 3、在四棱锥中，是正方形，底面,分别是的中点. (1)求证：平面; (2)求二面角的正切值。答案： 4、（2013年浙江省高考压轴卷.文科20）（本小题满分14分）如图，在斜三棱柱中，侧面底面，侧棱与底面成60°的角，底面是边长为2的正三角形，其重心为点， 是线段上一点，且（1）求证：/侧面；（2）求平面与底面所成锐二面角的正切值

15、；（3）在直线上是否存在点T，使得？若存在，指出点T的位置；若不存在，说明理由DBDACBACMN5、已知正方体 ，、分别是'，DD'的中点，求截面 与面，所成的角。 6、如图，在底面是直角梯形的四棱锥ABCD中，ADBC，ABC90°，SA面ABCD，SAABBC，AD(1)求四棱锥SABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值(提示：延长 BA，CD 相交于点 E，则直线 SE 是所求二面角的棱.)7、(2013年浙江理科.20本小题满分15分)如图，在四面体中，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且.（1）证明：平面;（2）若二面角的大小为，

16、求的大小 8、（2014年浙江高考.理科20）（本题满分15分）如图，在四棱锥中，平面平面.ADEBC（1） 证明：平面;（2） 求二面角的大小用坐标法求二面角 PABCDQM【例题】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90°，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（I）求证：平面PQB平面PAD； （II）若二面角M-BQ-C为30°，设PM=tMC，试确定t的值【解析】（I）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90° AQB=90° 即QBAD又平面PAD平面ABCD 且平面PAD平面ABCD=AD， BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 5分（II）PA=PD，Q为AD的中点， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向