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文档简介

1、一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程方程方程)()(ddxqyxpxy 若若 q(x) 0, 若若 q(x) 0, 称为称为一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程 .称为称为一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为称为一阶线性方程一阶线性方程 ;cot2 sinyyxxx sin()yxyxy (1)0yy x (一阶线性非齐次方程(一阶线性非齐次方程 )(一阶线性齐次方程(一阶线性齐次方程 )(不是一阶线性方程(不是一

2、阶线性方程 )机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求解公式求解公式 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 方程方程的通解为的通解为注:方程注:方程)()(ddyqxypyx 的通解为的通解为 cyeyqexyypyypd)(d)(d)(0)(dd yxpxy(1) 先解线性齐次方程先解线性齐次方程分离变量分离变量xxpyyd)(d 两边积分得两边积分得cxxpylnd)(ln 故通解为故通解为()depxxyc 2. 求解公式的推导(常数变易法)求解公式的推导(常数变易法))()(ddxqyxpxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (2)再用)再用“

3、常数变易法常数变易法”解非齐次方解非齐次方程程)()(ddxqyxpxy ()d(),pxxyc x e 将其代入方程将其代入方程( )d( )p xxc x e )(xp ( )d( )p xxc x e )(xq 故原方程的通解故原方程的通解 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(即即 设解设解( )d( ) ( )p xxp x c x e ( )d( )( )p xxc xq x e ( )d( )( )dp xxc xq x exc 所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解方程解方程 xxyy2sintan 解:解:d)(d)(d)(cxexqeyxxpxxp

4、tandtandesin 2edxxxxxxc ln cosln cose sin 2edxxxxc dcos2sincos1cxxxx cos32sec3cxx dcossin2sec2cxxxx cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 例例2.求解方程求解方程 0|0d)1(d)1(01xnxyxxenyyx解:解:de (1)d1xnynyxxx ( )d( )de( ) edp xxp xxyq xxc dd11ee (1) ednnxxxnxxxxc ln(1)ln(1)ee (1) ednxxnnxxxc (1) e dnxxxc (1) (e)nx

5、xc cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 原方程变形为原方程变形为例例3 解方程解方程4dd2yyxyx 解:解:4d2dxyxyy 即:即:32ddyxyyx 22dd3eedyyyyxyyc 521dyycy 62116ycy 所以所以 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 原方程变形为原方程变形为二、伯努利二、伯努利 ( bernoulli )方程方程 )1,0()()(dd nyxqyxpxyn令令,1 nyz )()1()()1(ddxqnzxpnxz 求出此方程通解后求出此方程通解后, 换回原变量即得方程的通解换

6、回原变量即得方程的通解.2。解法。解法:(线性方程线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 1。定义。定义:形如形如 的方程称为伯努利方程。的方程称为伯努利方程。原方程可变为原方程可变为例例4 解方程解方程43d23dyyx yxx 解解 令令13,zy 原方程变为原方程变为d2d3zzxxx 所以所以22dd33eedxxxxxxzc 21223333d4xxxcxcx 即即1223334yxcx 令令,1 nyz )()1()()1(ddxqnzxpnxz d( )( )dnyp x yq x yx22lnln33eedxxxxc 三、其它例题(练习册)三、其它例题(练习册)例例5

7、5. .求求22 (1)yxyy x 的通解的通解22(1)(1)yxyyxx 即即22()(1)(1)yxyxx 令令2,uy 则则( )(1)(1)uxuxx (1)(1)ln(1)1uc xxx 思考题思考题:解方程:解方程21yyx e yxe 解:原方程可化为解:原方程可化为2(1)(1)ln(1)1yc xxx 原方程的通解为原方程的通解为 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(d( )( )dyp x yq xx 的通解:的通解:例例6 6. .设有连结设有连结o o(0,0)(0,0)、a a(1,1)(1,1)的一段向上凸的曲线弧的一段向上凸的曲线弧,oa所围成图形的面

8、积是所围成图形的面积是对弧上任意一点对弧上任意一点p ( x , y ),曲线弧,曲线弧 oa 与直线与直线op3,x求曲线弧求曲线弧 oa 的方程。的方程。oxyap(x,y)3x301( )d( )2xf ttx f xx 11xy 6yyxx ( 6)yxxc 解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y = f ( x )则有则有上式两边对上式两边对x求导求导,简化得简化得解之得解之得由由得得7c ( 67)yxx x cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(d( )( )dyp x yq xx 的通解:的通解:例例7判别下列方程类型判别下列方程类型:dd(1)ddyyxyxyxx

9、d(2)(lnln )dyxyyxx3(3) ()d2 d0yxxx y3(4) 2 d()d0y xyxy(5) ( ln2) ddyxy xx y 提示提示:1ddyxyyx 可分离可分离 变量方程变量方程dlndyyyxxx 齐次方程齐次方程2d1d22yxyxx 线性方程线性方程2d1d22xyxyy 线性方程线性方程2d2lndyxyyxxx 伯努利伯努利方程方程令令,1 nyz d(1)( )(1)( )dzn p x zn q xxd( )( )dnyp x yq x yx例例8 求连续函数求连续函数 f ( x ), 使使20( )( )dln22xtf xft 解:解: 两边

10、求导,得两边求导,得0)2()22()( xxfxf记记(),yfx d2,dyyx xyyd2d ln2ln,yxc xcey2 由由2lnd)2()(20 ttfxfx得条件(得条件(注意:条件隐含在原来的积分方程中注意:条件隐含在原来的积分方程中)2ln)0( fxcey2 从而由通解从而由通解得:得: 2ln c特解为:特解为:2ln2 xey 例例8 求连续函数求连续函数 f ( x ), 使使2lnd)2()(20 ttfxfxxcey2 习题习题p269 5(2)()(3)()(5););6(1) 3(4)提示。提示。 7(1)()(2)例例1(欣赏)(欣赏)解方程解方程0d)1(d322 xyxyy

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