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1、一阶线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第四节一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程二、伯努利方程 第七章 一、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程方程方程)()(ddxqyxpxy 若若 q(x) 0, 若若 q(x) 0, 称为称为一阶线性非齐次方程一阶线性非齐次方程 .称为称为一阶线性齐次方程一阶线性齐次方程 ;机动 目录 上页 下页 返回 结束 称为称为一阶线性方程一阶线性方程 ;cot2 sinyyxxx sin()yxyxy (1)0yy x （一阶线性非齐次方程（一阶线性非齐次方程 ）（一阶线性齐次方程（一阶线性齐次方程 ）（不是一阶线性方程（不是一

2、阶线性方程 ）机动 目录 上页 下页 返回 结束 1. 求解公式求解公式 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 方程方程的通解为的通解为注：方程注：方程)()(ddyqxypyx 的通解为的通解为 cyeyqexyypyypd)(d)(d)(0)(dd yxpxy（1） 先解线性齐次方程先解线性齐次方程分离变量分离变量xxpyyd)(d 两边积分得两边积分得cxxpylnd)(ln 故通解为故通解为()depxxyc 2. 求解公式的推导（常数变易法）求解公式的推导（常数变易法）)()(ddxqyxpxy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 （2）再用）再用“

3、常数变易法常数变易法”解非齐次方解非齐次方程程)()(ddxqyxpxy ()d(),pxxyc x e 将其代入方程将其代入方程( )d( )p xxc x e )(xp ( )d( )p xxc x e )(xq 故原方程的通解故原方程的通解 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(即即 设解设解( )d( ) ( )p xxp x c x e ( )d( )( )p xxc xq x e ( )d( )( )dp xxc xq x exc 所以所以机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 解方程解方程 xxyy2sintan 解：解：d)(d)(d)(cxexqeyxxpxxp

4、tandtandesin 2edxxxxxxc ln cosln cose sin 2edxxxxc dcos2sincos1cxxxx cos32sec3cxx dcossin2sec2cxxxx cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 例例2.求解方程求解方程 0|0d)1(d)1(01xnxyxxenyyx解：解：de (1)d1xnynyxxx ( )d( )de( ) edp xxp xxyq xxc dd11ee (1) ednnxxxnxxxxc ln(1)ln(1)ee (1) ednxxnnxxxc (1) e dnxxxc (1) (e)nx

5、xc cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 原方程变形为原方程变形为例例3 解方程解方程4dd2yyxyx 解：解：4d2dxyxyy 即：即：32ddyxyyx 22dd3eedyyyyxyyc 521dyycy 62116ycy 所以所以 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)()()(ddxqyxpxy 原方程变形为原方程变形为二、伯努利二、伯努利 ( bernoulli )方程方程 )1,0()()(dd nyxqyxpxyn令令,1 nyz )()1()()1(ddxqnzxpnxz 求出此方程通解后求出此方程通解后, 换回原变量即得方程的通解换

6、回原变量即得方程的通解.2。解法。解法:(线性方程线性方程)伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 1。定义。定义:形如形如 的方程称为伯努利方程。的方程称为伯努利方程。原方程可变为原方程可变为例例4 解方程解方程43d23dyyx yxx 解解 令令13,zy 原方程变为原方程变为d2d3zzxxx 所以所以22dd33eedxxxxxxzc 21223333d4xxxcxcx 即即1223334yxcx 令令,1 nyz )()1()()1(ddxqnzxpnxz d( )( )dnyp x yq x yx22lnln33eedxxxxc 三、其它例题（练习册）三、其它例题（练习册）例例5

7、5. .求求22 (1)yxyy x 的通解的通解22(1)(1)yxyyxx 即即22()(1)(1)yxyxx 令令2,uy 则则( )(1)(1)uxuxx (1)(1)ln(1)1uc xxx 思考题思考题：解方程：解方程21yyx e yxe 解：原方程可化为解：原方程可化为2(1)(1)ln(1)1yc xxx 原方程的通解为原方程的通解为 cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(d( )( )dyp x yq xx 的通解：的通解：例例6 6. .设有连结设有连结o o(0,0)(0,0)、a a(1,1)(1,1)的一段向上凸的曲线弧的一段向上凸的曲线弧,oa所围成图形的面

8、积是所围成图形的面积是对弧上任意一点对弧上任意一点p ( x , y )，曲线弧，曲线弧 oa 与直线与直线op3,x求曲线弧求曲线弧 oa 的方程。的方程。oxyap(x,y)3x301( )d( )2xf ttx f xx 11xy 6yyxx ( 6)yxxc 解解 设所求曲线的方程为设所求曲线的方程为y = f ( x )则有则有上式两边对上式两边对x求导求导,简化得简化得解之得解之得由由得得7c ( 67)yxx x cxexqeyxxpxxpd)(d)(d)(d( )( )dyp x yq xx 的通解：的通解：例例7判别下列方程类型判别下列方程类型:dd(1)ddyyxyxyxx

9、d(2)(lnln )dyxyyxx3(3) ()d2 d0yxxx y3(4) 2 d()d0y xyxy(5) ( ln2) ddyxy xx y 提示提示:1ddyxyyx 可分离可分离 变量方程变量方程dlndyyyxxx 齐次方程齐次方程2d1d22yxyxx 线性方程线性方程2d1d22xyxyy 线性方程线性方程2d2lndyxyyxxx 伯努利伯努利方程方程令令,1 nyz d(1)( )(1)( )dzn p x zn q xxd( )( )dnyp x yq x yx例例8 求连续函数求连续函数 f ( x ), 使使20( )( )dln22xtf xft 解：解： 两边

10、求导，得两边求导，得0)2()22()( xxfxf记记(),yfx d2,dyyx xyyd2d ln2ln,yxc xcey2 由由2lnd)2()(20 ttfxfx得条件（得条件（注意：条件隐含在原来的积分方程中注意：条件隐含在原来的积分方程中）2ln)0( fxcey2 从而由通解从而由通解得：得： 2ln c特解为：特解为：2ln2 xey 例例8 求连续函数求连续函数 f ( x ), 使使2lnd)2()(20 ttfxfxxcey2 习题习题p269 5（2）（）（3）（）（5）；）；6（1） 3（4）提示。提示。 7（1）（）（2）例例1（欣赏）（欣赏）解方程解方程0d)1(d322 xyxyy