华南农大高数第2章中值定理及导数的应用4

1、第四节 导数的应用 函数的单调性的判别函数的单调性的判别学习重点学习重点函数极值及最值的确定方法函数极值及最值的确定方法曲线凹凸向的判别及拐点的确定曲线凹凸向的判别及拐点的确定函数的单调性函数的单调性 yxo( )yf xabyo( )yf xabx函数单调递增，则函数单调递增，则函数单调递减，则函数单调递减，则1212()()0f xf xxx1212()()0f xf xxx由由lagrange中值定理：中值定理：121212()()( ) f xf xfxxxx介于 与 之间于是有函数单调性的判别定理于是有函数单调性的判别定理函数单调性的判别定理函数单调性的判别定理（1） 如果函数如果函

2、数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递增的。上是单调递增的。( )f x( , )a b( )0fx , a b（2） 如果函数如果函数 在在 内有内有 ，则函数在，则函数在 上是单调递减的。上是单调递减的。( )f x( , )a b( )0fx , a b例例1 判别函数判别函数 的单调性。的单调性。arctanyx解解 因为因为210, (,)1yxx 所以，函数在所以，函数在 内是单调递增的。内是单调递增的。(,) 设函数设函数 在在 上连续，在上连续，在 内可导，则内可导，则( )f x , a b( , )a b例例2 求函数求函数 的单调区间的单调区间3226187

3、yxxx解解 因为因为261218631yxxxx 令令0y 得驻点得驻点121 3xorx 列表讨论列表讨论+0_0+3-1xyy, 1 1,33, 所以，函数在所以，函数在 及及 内单调增加，在内单调增加，在 内单调减少。内单调减少。, 1 3,1,3例例3 求函数求函数 的单调区间的单调区间32yx解解 因为因为1332233yxx 当当 时，时， 不存在不存在0 x y当当 时，时， ，当，当 时，时，0 x 0y0 x 0y 所以，函数在所以，函数在 内单调增加，在内单调增加，在 内单调减少。内单调减少。,00, 小结：驻点（使一阶导数为零的点）或一阶导数不存在小结：驻点（使一阶导数

4、为零的点）或一阶导数不存在的点可将单调区间分开。的点可将单调区间分开。例例4 求函数求函数 的单调区间的单调区间232 0yxaaxa解解 因为因为 2322332axyxaax 0y 令令12 3xa；得驻点得驻点23 , 2axxa当当 时，时，y不存在不存在列表：列表：000 xy ,2a 2,23aa2,3aa,a y 所以，函数在所以，函数在 及及 内单调递增，在内单调递增，在 内单调递减。内单调递减。2,3aa2,3a, a 续例续例4：小结：小结：求函数的单调区间的一般方法：求函数的单调区间的一般方法：（1）求函数的一阶导数；）求函数的一阶导数；（2）找出所有的）找出所有的驻点驻

5、点及及一阶导数不存在的点一阶导数不存在的点；（3）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；）将上述点插入到定义域，分区间确定一阶导数的符号；（4）根据单调性的判别定理，确定单调区间。）根据单调性的判别定理，确定单调区间。例例5 证明不等式证明不等式1 (0)xexx 证明证明 令令( )1xf xex 则则( )1xfxe0( )0,xfx当时，故函数在 0,+内单调增加0( )0,xfx当时，故函数在 - ,0 内单调递减0,( )(0)0 xf xf 所以，有0 ,( )(0)0 xf xf 所以， 有 1xex 即 1xex 即所以，当所以，当 时，不等式时，不等式 成立。成立。

6、1xex 0 x 函数的极值函数的极值极值的概念极值的概念：如果函数：如果函数 在点在点 的某邻域内有定义，对于的某邻域内有定义，对于该邻域内任意该邻域内任意异于异于 点的点的 ，都有，都有 ，则称，则称为函数的一个为函数的一个极小值极小值；如果有；如果有 ，则称，则称 为函数为函数的一个的一个极大值极大值。极大值和极小值统称为函数的。极大值和极小值统称为函数的极值极值。使函数取。使函数取得极值的点称为函数的得极值的点称为函数的极值点极值点。( )f x0 xx0( )()f xf x0( )()f xf x0 x0()f x0()f x 由于函数在不同的区间的单调性不同，由于函数在不同的区间

7、的单调性不同，因而在图象上会出现因而在图象上会出现“峰峰”与与“谷谷”，使函数，使函数值在局部范围内出现值在局部范围内出现“最大最大”、“最小最小”，称，称之为函数的极大、极小值。之为函数的极大、极小值。3226187yxxx例如例如-13 函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性函数的极值是一个局部特性，最值是全局特性（1）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值；）函数在某个区间内可能既无极大值，也无极小值； 如函数如函数y=x 在区间在区间 1，2 内既无极大值，也无极小值。内既无极大值，也无极小值。（2）可以缺少其一；）可以缺少其一； 如如 y=x2 在区间在区间 -1，2 内，只有

8、极小值。内，只有极小值。（3）极小值可以大于极大值极小值可以大于极大值，如某种股票的交易价格函数；，如某种股票的交易价格函数；（4）极值一定在区间内部取得。）极值一定在区间内部取得。函数的极值说明函数的极值说明极值存在的必要条件（费马定理）极值存在的必要条件（费马定理） 如果函数如果函数 在点在点 处可导，且在点处可导，且在点 处有极值，处有极值，则则( )yf x0 x0 x0()0.fxabcdexy导数为零的点称为函数的驻点。导数为零的点称为函数的驻点。函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于函数在可导点取得极值时，则在该点的切线平行于x轴。轴。,a b d 是极值点，导数为零e 是

9、极值点，但导数不存在c 点导数为零，但不是极值点函数的极值点是驻点或导数不存在的点。费马定理的逆定理不成立。极值存在的第一充分条件极值存在的第一充分条件设函数设函数 在点在点 的某个邻域内可导（点的某个邻域内可导（点 可除外）可除外）( )yf x0 x0 x00,xxx00,xx x( )0fx则则 在点在点 处取得处取得极大值极大值；( )yf x0 x( )0fx1（ ）( )0fx00,xxx( )0fx00,xx x则则 在点在点 处取得处取得极小值极小值；( )yf x0 x2（ ）00,xxx00,xx x( )fx同号则则 在点在点 处处无极值无极值；( )yf x0 x3（

10、）0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy0 x0 x0 xxy例例1 求函数求函数 的极值的极值3226187yxxx解解 因为因为261218631yxxxx 令令0y 得驻点得驻点121 3xorx 列表讨论列表讨论+极小值极大值0_0+3-1xyy, 1 1,33,所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。( 1)3f (3)61f 一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，一阶导数由正到负，函数过极大值；一阶导数由负到正，函数过极小值。函数过极小值。例例2 求函数求函数 的极值的极值32yx解解 因为因为1332233yxx 当当 时，时， 不存在不存

11、在0 x y当当 时，时， ，当，当 时，时，0 x 0y0 x 0y 小结：驻点或一阶导数不存在的点小结：驻点或一阶导数不存在的点，可能可能是函数的极值点，是函数的极值点，必须必须按第一充分条件进行按第一充分条件进行判别判别。所以，函数有极小值所以，函数有极小值 。(0)0f例例3 求函数求函数 的极值的极值3yx解解 因为因为230 , yxxr 所以，函数无极值。（虽然有所以，函数无极值。（虽然有 ）(0)0f x)(xf )(xf极小值极小值-1/2-1/2极大值极大值0 0+ +0 0_ _不存在不存在+ +(1,+)(1,+)1 1(0,1)(0,1)0 0(-,0)(-,0)单调

12、增区间为单调增区间为(-,0)(-,0)和和(1,+)(1,+)单调减区间为单调减区间为(0,1)(0,1)f (0)=0为极大值；为极大值；f (1)=-1/2 为极小值为极小值 323( )2yf xxx求的单调区间和极值(,) 函数定义域为333111)(xxxxf( )0fx令x得驻点 =1；0 x 时，( )fx不存在xyo112练习练习解解极值存在的第二充分条件极值存在的第二充分条件000()0),(0( ),fxfxyf xx 设函数在点 处具有二阶导数，且则001 ()0 () ( ) fxf xf x（）当时，为的极小值；002 ()0 () ( ) fxf xf x（ ）当

13、时，为的极大值；0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )0fx0 ()0fx( )fx是增函数0 ()0fx0 x0 x0 xxy( )0fx( )0fx( )fx是减函数例例4 求函数求函数 的极值的极值3226187yxxx解解 因为因为261218631yxxxx 1212yx 所以，函数有驻点所以，函数有驻点121 3xorx 而而所以所以( 1)240,(3)240yy 所以，函数有极大值所以，函数有极大值 ，有极小值，有极小值 。( 1)3f (3)61f 注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，注意：当函数的二阶导数较易求，且二阶导数不为零时，使用第二充分条

14、件判别极值较易；使用第二充分条件判别极值较易；而二阶导数为零的点，必而二阶导数为零的点，必须用第一充分条件判别。须用第一充分条件判别。函数的最大值与最小值函数的最大值与最小值由极小值的特性，可知：由极小值的特性，可知：极小值极小值 最小值；极大值最小值；极大值 最大值最大值 已有结论：如果函数在已有结论：如果函数在 a,b上连续，则函数在该区间上上连续，则函数在该区间上一定有最大值和最小值。一定有最大值和最小值。求函数最值的一般步骤与方法求函数最值的一般步骤与方法（1）求函数的导数；）求函数的导数；（2）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻点及一阶导数不存）在给定区间（或定义域）内找出所有的驻

15、点及一阶导数不存 在的点；在的点；（3）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并）计算函数在上述点处的函数值，以及在端点处的函数值，并比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即比较其大小，其中最大者即为函数在区间上的最大值；最小者即为函数在区间上的最小值。为函数在区间上的最小值。例例5 求函数求函数 在在 上的最值。上的最值。32392yxxx0,4解解 因为因为23693(1)(3)yxxxx 令令0y 得得121,3xx （舍去）而而(3)29,(0)2,(4)22fff 所以函数所以函数 在在 上的最大值是上的最大值是32392yxxx0,4(3)29f (0)

16、2f ；最小值是最小值是例例6（应用题）某细菌群体的数量（应用题）某细菌群体的数量n(t)是由下列函数模型确定：是由下列函数模型确定： 其中其中t是时间，以周为单位。试问细菌的群体在是时间，以周为单位。试问细菌的群体在多少周后数量最大，其最大数量的多少？多少周后数量最大，其最大数量的多少？25000( )50tn tt解解 因为因为222500050( )50tn tt令令( )0n t得得5 2t （舍去负值）（舍去负值）由问题的实际意义，可知由问题的实际意义，可知 时，细菌群体的数量最大，时，细菌群体的数量最大，5 2t 250 2353.55其数量为其数量为 一般地，对于实际应用问题，如

17、果可以判断目标函数的最值一般地，对于实际应用问题，如果可以判断目标函数的最值存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。存在，函数在定义域内又只有唯一驻点，则该驻点即为最值点。 例例7 某厂生产某种商品，某年销售量为某厂生产某种商品，某年销售量为100万件，每批生产需万件，每批生产需增加准备费增加准备费1000元，而每件产品的库存费为元，而每件产品的库存费为0.05元，如果年销售元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存率是均匀的，且上批销售完后立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备费与库存费数为批量的一半），问应分

18、几批生产，能使生产准备费与库存费之和最小？之和最小？解解 设总费用为设总费用为y，共分，共分x批生产，由题设可得函数关系批生产，由题设可得函数关系10000002500010000.051000,02yxxxxx2250001000yx 令令0y 得唯一驻点得唯一驻点5x 由问题的实际意义，应分由问题的实际意义，应分5批生产，可使两种费用之和最小。批生产，可使两种费用之和最小。曲线的凹凸向及拐点曲线的凹凸向及拐点 yxo( )yf xabyo( )yf xabx 定义定义 如果曲线弧总位于它的每一点的切线的如果曲线弧总位于它的每一点的切线的上方上方，则称该，则称该曲线弧是曲线弧是（向上）凹的（

19、向上）凹的（concave)； 如果曲线弧总位于它的每如果曲线弧总位于它的每一点的切线的一点的切线的下方下方，则称该曲线弧是，则称该曲线弧是（向上）凸的（向上）凸的(convex)凹弧凹弧凸弧凸弧凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点凹、凸弧的分界点，称为曲线的拐点(inflection point)。 凹凸弧的判别定理凹凸弧的判别定理定理定理 设函数设函数 在区间在区间 上具有二阶导数上具有二阶导数 ，则在，则在该区间上：该区间上：（1）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凹的；是向上凹的；（2）当）当 时，曲线弧时，曲线弧 是向上凸的。是向上凸的。( )f x( , )a b( )fx( )0f

20、x( )0fx( )yf x( )yf xbaxy( )0f x( )0f x ( )0fx( )fx是增函数 ( )0fxbaxy( )0f x( )0f x( )fx是减函数例例1 试证明函数试证明函数 的图形是处处向上凹的。的图形是处处向上凹的。arctanyxx21arctan1yxxx 222222112201(1)(1)xxxyxxx 所以，函数的图形在所以，函数的图形在 内是向上凹的。内是向上凹的。(,) 证明证明 函数的定义域为函数的定义域为 (,) 判断曲线判断曲线 y=lnx 的凹凸性的凹凸性210yx 1yx 内是凸的。内是凸的。(0,)解答解答解解 函数的定义域为函数的

21、定义域为 (,) 例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。211yx222(1)xyx 22 32(31)(1)xyx 令令0y 得得1333x 列表列表因为因为333333 (,) (,) (,)333333 0 0 0 0 0 xyy 凹拐点凸拐点凹所以，曲线在所以，曲线在 及及 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的，有拐点内是向上凸的，有拐点 及及 。3(,)3 3(,)333(,)333 3(, )343 3(, )34解解 函数的定义域为函数的定义域为 (,) 例例2 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。211yx222(1)xyx 22 3

22、2(31)(1)xyx 令令0y 得得1333x 因为因为例例3 求曲线求曲线 的凹凸区间及拐点。的凹凸区间及拐点。 3yx解解 因为因为 523312 , 39yxyx 所以，当所以，当 时，时， ，当，当 时，时，0 x 0y 0 x 0y所以，曲线在所以，曲线在 内是向上凹的，在内是向上凹的，在 内是向上凸的。内是向上凸的。有拐点有拐点 。(,0)(0,)(0,0) 小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；小结：二阶导数为零或二阶导数不存在的点，是可能的拐点；这类点可能将凹凸区间分开，但不是绝对分开。这类点可能将凹凸区间分开，但不是绝对分开。如曲线如曲线 ，在，在 内是向上

23、凹的，虽然内是向上凹的，虽然但但 不是拐点。不是拐点。4yx(,) 00 xy(0,0)微分法作图微分法作图 曲线的渐近线：曲线的渐近线：如果曲线如果曲线 上的点上的点m沿曲线离坐标原沿曲线离坐标原点无限远移时，点点无限远移时，点m与某一条直线与某一条直线l的距离趋于零，则称直线的距离趋于零，则称直线l为为曲线曲线 的一条渐近线。的一条渐近线。( )yf x( )yf x （1）若）若 或或 则则 为曲线的为曲线的垂直渐近线垂直渐近线。lim( )xaf x lim( )xaf x xa （2）若）若 或或 则则 为曲线的为曲线的水平渐近线水平渐近线。 lim( )xf xalim( )xf xaya （3）若）若 ，则，则 为曲线的为曲线的斜渐近线斜渐近线。 ( )lim ,