【人教A版】高中数学必修二：全册作业与测评 课时提升作业(二十七) 4.2.2

1、人教版高中数学必修精品教学资料课时提升作业(二十七)圆与圆的位置关系(25分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2015·平顶山高一检测)圆x2+y2-2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是()a.外离b.外切c.相交d.内切【解析】选c.圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1;圆x2+y2+4y=0的圆心为(0,-2),半径为2.因为圆心距为5,且2-1<5<1+2,所以两圆相交.2.(2015·鄂州高一检测)过两圆x2+y2+6x+4y=0及x2+y2+4x+2y-4=0的交点的直线的方程是()a.x+y+2=0b.x+y-2

2、=0c.5x+3y-2=0d.不存在【解析】选a.将两圆的方程相减,可得直线方程x+y+2=0,此直线即为过两圆交点的直线方程.【补偿训练】已知两圆c1:x2+y2=10,c2:x2+y2+2x+2y-14=0.则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为()a.x+y=2b.x-y=2c.2x-y=1d.x-2y=1【解析】选a.将两圆c1与c2的方程相减,即得到经过两圆交点的公共弦所在的直线方程,即x+y=2.3.两圆c1:x2+y2+2x+2y-2=0,c2:x2+y2-4x-2y+1=0的公切线有且仅有()a.1条b.2条c.3条d.4条【解析】选b.两圆的圆心分别是(-1,-1),(2,1

3、),半径分别是2,2,两圆圆心距离|c1c2|=(-1-2)2+(-1-1)2=13,由于0<13<4,说明两圆相交,因而公切线只有两条.4.(2015·重庆高一检测)圆c1:(x+2)2+(y-m)2=9与圆c2:(x-m)2+(y+1)2=4外切,则m的值为()a.2b.-5c.2或-5d.不确定【解析】选c.圆c1:(x+2)2+(y-m)2=9的圆心为(-2,m),半径长为3,圆c2:(x-m)2+(y+1)2=4的圆心为(m,-1),半径长为2.依题意有(-2-m)2+(m+1)2=3+2,即m2+3m-10=0,解得m=2或m=-5.5.已知圆c:(x-3)2

4、+(y-4)2=1和两点a(-m,0),b(m,0)(m>0),若圆c上存在点p,使得apb=90°,则m的最大值为()a.7b.6c.5d.4【解题指南】点p在以ab为直径的圆上,此圆与圆c有公共点p,当圆半径最大时,m最大.【解析】选b.点p在以ab为直径的圆o:x2+y2=m2上,当圆o与圆c内切时,圆o的半径最大,m最大,此时m=5+1=6.二、填空题(每小题5分,共15分)6.(2015·长沙高一检测)圆c1:x2+y2=4和c2:x2+y2-6x+8y-24=0的位置关系是.【解析】圆c1的半径是2,圆心为(0,0),圆c2的半径是7,圆心为(3,-4),

5、所以两圆心之间的距离为5,半径差也为5,所以两圆关系为内切.答案:内切【补偿训练】圆o1:x2+y2-2x=0和圆o2;x2+y2-4y=0的位置关系是.【解析】化圆o1,圆o2方程为标准方程知,它们的圆心分别为o1(1,0),半径为1;圆o2(0,2),半径为1,因为o1o2=5,r+r=3,r-r=1,所以1<o1o2<3,故圆o1、圆o2相交.答案:相交7.两圆x2+y2=1和(x+4)2+(y-a)2=25相外切,则常数a的值为.【解析】两圆的圆心距为d=42+(-a)2,半径分别为1和5.由于两圆外切,则42+(-a)2=1+5,解得a=±25.答案:±

6、;25【补偿训练】(2015·保定高一检测)若x2+y2-2ax+4y+a2+3=0与x2+y2-14x-2y+14=0所表示的曲线相互内切,则a的值为.【解析】由x2+y2-2ax+4y+a2+3=0可得(x-a)2+(y+2)2=1,圆心为(a,-2),半径为1.由x2+y2-14x-2y+14=0可得(x-7)2+(y-1)2=36,圆心为(7,1),半径为6,由于两圆相互内切,故(7-a)2+(1+2)2=6-1,解得a=11或a=3.答案:11或38.(2015·徐州高一检测)圆x2+y2-16=0与圆x2+y2-4x+4y-12=0的公共弦长为.【解析】因为两圆

7、公共弦所在的直线方程为x-y-1=0,由于圆x2+y2-16=0的圆心(0,0)到直线x-y-1=0的距离为d=-11+1=22,该圆的半径为4,则公共弦长为242-222=62.答案:62三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知圆c1:x2+y2+2x+6y+9=0,圆c2:x2+y2-6x+2y+1=0,试确定两圆公切线的条数.【解析】两圆化为标准方程分别为:圆c1:(x+1)2+(y+3)2=1,圆c2:(x-3)2+(y+1)2=9,所以两圆圆心为c1(-1,-3),c2(3,-1).半径r1=1,r2=3.因为|c1c2|=25>1+3,所以两圆相外离,故两圆有四条公切线.

8、10.(2015·舟山高一检测)圆o1的方程为x2+(y+1)2=4,圆o2的圆心o2(2,1).(1)若圆o2与圆o1外切,求圆o2的方程.(2)若圆o2与圆o1交于a,b两点,且|ab|=22,求圆o2的方程.【解析】(1)圆o2半径为r1.由两圆外切,所以|o1o2|=r1+2,r2=|o1o2|-2=2(2-1),故圆o2的方程是(x-2)2+(y-1)2=4(2-1)2.(2)设圆o2的方程为(x-2)2+(y-1)2=r22,因为圆o1的方程为x2+(y+1)2=4,将两圆的方程相减,即得两圆公共弦ab所在直线的方程:4x+4y+r22-8=0.作o1hab,则|ah|=

9、12|ab|=2,o1h=2,由圆心o1(0,-1)到直线4x+4y+r22-8=0的距离得|r22-12|42=2,得r22=4或r22=20,故圆o2的方程为:(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.(20分钟40分)一、选择题(每小题5分,共10分)1.圆:x2+y2-4x+6y=0和圆:x2+y2-6x=0交于a,b两点,则ab的垂直平分线的方程是()a.x+y+3=0b.2x-y-5=0c.3x-y-9=0d.4x-3y+7=0【解析】选c.将两圆方程相减,得公共弦ab所在直线的方程为x+3y=0,ab的垂直平分线的斜率为3且过圆心(3,0),所以其方程为y

10、=3(x-3),即3x-y-9=0.【拓展延伸】求解相交弦问题的技巧把两个圆的方程进行相减得:x2+y2+d1x+e1y+f1-(x2+y2+d2x+e2y+f2)=0,即(d1-d2)x+(e1-e2)y+(f1-f2)=0,当两圆c1,c2相交时,方程表示两圆公共弦所在的直线方程;当两圆c1,c2相切时,方程表示过圆c1,c2切点的公切线方程.2.(2015·温州高一检测)圆c1:(x+2)2+(y-2)2=m(m>0)与圆c2:x2+y2-4x-10y+13=0有3条公切线,则m=()a.1b.2c.3d.4【解题指南】因为两圆有3条公切线,由此可知两圆外切,则两圆的圆心

11、距应等于两圆半径之和,建立等式求解m.【解析】选a.c1(-2,2),r1=m;c2(2,5),r2=4.因为两圆有3条公切线,所以两圆外切,即|c1c2|=r1+r2,所以(-2-2)2+(2-5)2=4+m,解得m=1.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2015·青岛高一检测)若a2+b2=4,则两圆(x-a)2+y2=1与x2+(y-b)2=1的位置关系是.【解析】因为两圆的圆心分别为o1(a,0),o2(0,b),半径r1=r2=1,所以o1o2=a2+b2=2=r1+r2,故两圆外切.答案:外切4.(2015·滁州高一检测)集合a=(x,y)|x2+y2=4

12、,b=(x,y)|(x-3)2+(y-4)2=r2,其中r>0,若ab中有且仅有一个元素,则r的值是.【解题指南】明确两集合的含义,由ab中有且仅有一个元素,可知两圆相切,可分为外切和内切.【解析】因为ab中有且仅有一个元素,所以圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2相切.当内切时,32+42=|2-r|,解得r=7.当外切时,32+42=2+r,解得r=3.答案:3或7【延伸探究】若本题中将“ab中有且仅有一个元素”改为“ab中有两个元素”,又如何求r的范围?【解析】因为ab中有两个元素,所以圆x2+y2=4与圆(x-3)2+(y-4)2=r2相交.则有r-2<32

13、+42<r+2,解得3<r<7.三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2015·哈尔滨高一检测)已知圆m:x2+y2-2mx-2ny+m2-1=0与圆n:x2+y2+2x+2y-2=0交于a,b两点,且这两点平分圆n的圆周,求圆心m的轨迹方程.【解题指南】将两圆方程相减,可得公共弦ab所在的直线方程,又a,b两点平分圆n的圆周,则直线ab经过圆n的圆心.【解析】两圆方程相减,得公共弦ab所在的直线方程为2(m+1)x+2(n+1)y-m2-1=0,由于a,b两点平分圆n的圆周,所以a,b为圆n直径的两个端点,即直线ab过圆n的圆心n,而n(-1,-1),所以-2

14、(m+1)-2(n+1)-m2-1=0,即m2+2m+2n+5=0,即(m+1)2=-2(n+2)(n-2),由于圆m的圆心m(m,n),从而可知圆心m的轨迹方程为(x+1)2=-2(y+2)(y-2).【补偿训练】求圆心在直线x-y+1=0上,且经过圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点的圆的方程.【解析】设圆x2+y2+6x-4=0与圆x2+y2+6y-28=0的交点为a,b,解方程组:x2+y2+6x-4=0,x2+y2+6y-28=0x=-1,y=3或x=-6,y=-2,不妨设a(-1,3),b(-6,-2),因此直线ab的垂直平分线方程为x+y+3=0,x-y

15、+1=0与x+y+3=0联立,解得:x=-2,y=-1,即所求圆心c为(-2,-1),半径r=|ac|=17.故所求圆c的方程为:(x+2)2+(y+1)2=17.6.(2015·金华高一检测)已知圆o:x2+y2=1和定点a(2,1),由圆o外一点p(a,b)向圆o引切线pq,切点为q,pq=pa成立.(1)求a,b间关系.(2)求pq的最小值.(3)以p为圆心作圆,使它与圆o有公共点,试在其中求出半径最小的圆的方程.【解析】(1)连接oq,op,则oqp为直角三角形,又pq=pa,所以op2=oq2+pq2=1+pa2,所以a2+b2=1+(a-2)2+(b-1)2,故2a+b-3=0.(2)由(1)知,p在直线l:2x+