D13函数的极限94630

1、目录 上页 下页 返回 结束 第一章 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限第三节, )(xfy 对0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自变量变化过程的六种形式:二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限本节内容本节内容 :函数的极限 目录 上页 下页 返回 结束 一、自变量趋于有限值时函数的极限一、自变量趋于有限值时函数的极限1. 0 xx 时函数极限的定义时函数极限的定义引例引例. 测量正方形面积.面积为a )边长为(真值:;0 x边长面积2x直接观测值间接观测值任给精度 , 要求 ax2确定直接观测值精度 :0 x

2、x0 xax目录 上页 下页 返回 结束 定义定义1 . 设函数)(xf在点0 x的某去心邻域内有定义 ,0,0当00 xx时, 有 axf)(则称常数 a 为函数)(xf当0 xx 时的极限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf当即,0,0当),(0 xux时, 有若记作 axf)(axfxx)(lim0极限存在函数局部有界(p36定理2) 这表明: aa几何解释几何解释:oax0 xy)(xfy 目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 证明)(lim0为常数cccxx证证:axf)(cc 0故,0对任意的,0当00 xx时 , 0cc因此ccxx0lim总有目录 上页 下页 返回

3、 结束 例例2. 证明1)12(lim1xx证证:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2则当10 x时, 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)12(lim1xx目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 证明211lim21xxx证证:axf)(2112xx21 x故,0取,当10 x时, 必有2112xx因此211lim21xxx1 x目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 证明: 当00 x证证:axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx时00 xxxx故取

4、,min00 xx则当00 xx时,00 xxx保证 .必有ox0 xx目录 上页 下页 返回 结束 2. 保号性定理保号性定理定理定理1 . 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0时使当xux. 0)(xf)0)(xf证证: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 xu当时, 有.)(axfa当 a 0 时, 取正数,a则在对应的邻域上. 0)(xf( 0)(a则存在( a 0 ),(0 xu),(0 xux),(0 xu(p37定理3)0(aa0 x0 xax0 xy)(xfy o目录 上页 下页 返回 结束 axfa)(:0a:0a若取,2a则在对应的邻域上 若,0)(

5、lim0axfxx则存在使当时, 有.2)(axf推论推论:23)(2axfa2)(23axfa),(0 xu, ),(0 xu),(0 xux(p37定理3)分析分析:aa0 x0 xax0 xy)(xfy o目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 2 . 若在0 x的某去心邻域内0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx则. 0a)0(a证证: 用反证法.则由定理 1,0 x的某去心邻域 , 使在该邻域内,0)(xf与已知所以假设不真, .0a(同样可证0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的条件改为, 0)(xf是否必有?0a不能不能! 0lim20 xx存在如 假设 a

6、0 , 条件矛盾,故时,当0)(xf目录 上页 下页 返回 结束 3. 左极限与右极限左极限与右极限左极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf右极限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0当),(00 xxx时, 有.)( axf定理定理 3 .axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p39 题*11 )目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 给定函数0,10,00, 1)(xxxxxxf讨论 0 x时)(xf的极限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因为)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(li

7、m0 xfx) 1(lim0 xx1显然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyo11 xy11 xy目录 上页 下页 返回 结束 xxaaoxy)(xfy a定义定义2 . 设函数xxf当)(大于某一正数时有定义,若,0x,)(,axfxx有时当则称常数时的极限,axfx)(lim)()(xaxf当或几何解释几何解释:axfa)(xxxx或记作直线 y = a 为曲线)(xfy 的水平渐近线 .,0 xxf当)(a 为函数二、自变量趋于无穷大时函数的极限二、自变量趋于无穷大时函数的极限目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 证明. 01limxx证证:01xx1取,1x,

8、时当xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平渐近线为xyyoxyxy1目录 上页 下页 返回 结束 oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直线 y = a 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .两种特殊情况两种特殊情况 :axfx)(lim,0,0x当xx 时, 有 axf)(axfx)(lim,0,0x当xx时, 有 axf)(几何意义几何意义 :例如，都有水平渐近线;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平渐近线. 1y又如，oxyx21x21目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1. 函数极限的或x定义及应用2. 函数极限的性质:保号性定理与左右极限等价定理思考与练习思考与练习1. 若极限)