向量值函数在定向曲线上的积分

1、第三节第三节 向量值函数在定向曲线上的积分向量值函数在定向曲线上的积分( (第二类曲线积分第二类曲线积分) )二、问题的提出二、问题的提出四、第二类曲线积分的计算四、第二类曲线积分的计算三、第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的概念一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量一、定向曲线及其切向量1、 带有确定走向的曲线称为定向曲线带有确定走向的曲线称为定向曲线ab 用用 表示起点为表示起点为 a , 终点为终点为 b 的定向的定向曲线曲线(弧弧).的反向曲线记为的反向曲线记为定向曲线定向曲线 .代表两条不同的曲线代表两条不同的曲线与与曲线曲线 的参数方程写作：的参数方

2、程写作：定向曲线定向曲线ab ,:, )(, )(, )(battzztyytxx .,btbata 对对应应终终点点对对应应其其中中起起点点表示：表示：的参数方程也可用向量的参数方程也可用向量定向曲线定向曲线ab ,:,)()()()(batktzjtyitxtrr .)(的的点点的的向向径径上上对对应应参参数数表表示示其其中中ttr 2、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是、定向光滑曲线上各点处的切向量的方向总是与曲线的走向相一致与曲线的走向相一致 .切向量为：切向量为：在其上任一点处的在其上任一点处的曲线曲线由参数方程给出的定向由参数方程给出的定向 )(, )(, )(tztytx .

3、,取取负负号号时时当当取取正正号号时时其其中中当当 baba一、一、 对坐标的曲线积分的概念与性质对坐标的曲线积分的概念与性质1. 引例引例: 变力沿曲线所作的功.设一质点受如下变力作用在 xoy 平面内从点 a 沿光滑曲线弧 l 移动到点 b, 求移cosabfw “(分割)大化小” “(近似)常代变”“(求和)近似和” “取极限”变力沿直线所作的功解决办法:动过程中变力所作的功w.abf abfablxyo( , )( , )( , )f x yp x y iq x y j1kmkmabxy1) “(分割分割)大化小大化小”.2) “(近似近似)常代变常代变”l把l分成 n 个小弧段,有向

4、小弧段kkmm1),(kkyx近似代替, ),(kk则有kkkkyqxp),(),(kk所做的功为,kwf 沿kkmm1kkkkmmfw1),(k),(kkfnkkww1则用有向线段 kkmm1kkmm1上任取一点在kykxo3) “(求和求和)近似和近似和”4) “取极限取极限”nkw1kkkkkkyqxp),(),(nkw10limkkkkkky)q(x)p,(其中 为 n 个小弧段的 最大长度)1kmkmabxyl),(kkfkykxo2. 定义定义. 设 l 为xoy 平面内从 a 到b 的一条有向光滑有向光滑弧弧,若对 l 的任意分割和在局部弧段上任意取点, 都存在,在定向曲线弧 l

5、 上 对坐标的曲线积分坐标的曲线积分,lyyxqxyxpd),(d),(kkkxp),(kkkyq),(nk 10lim则称此极限为向量值函数或第二类曲线积分第二类曲线积分.在l 上定义了一个向量函数极限记作记作),(yxf( , )( , )( , )f x yp x y iq x y jlxyxpd),(,),(lim10nkkkkxplyyxqd),(,),(lim10nkkkkyq称为对称为对 坐标坐标x 的曲线积的曲线积分分;称为对坐标称为对坐标 y 的曲线积分的曲线积分. lryxfd),( lyyxqxyxpd),(d),(,称为定向积分曲线称为定向积分曲线l.d),(d),(称

6、为积分表达式称为积分表达式yyxqxyxp ,d称为定向弧元素称为定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素称为定向弧称为定向弧的坐标的坐标为为lrd若记, 对坐标的曲线积分也可写作rd)d,d(yx lryxfd),( lyyxqxyxpd),(d),(oxyabl二、问题的提出二、问题的提出1 nmim1 im2m1mix iy 实例实例: : 变力变力 f 沿曲线沿曲线 l 所作的功所作的功,:bal平面光滑曲线弧平面光滑曲线弧 jyxqiyxpyxf),(),(),(力力常力所作的功常力所作的功分割分割.),(,),(,1111110bmyxmyxmmannnn .)()(1 j

7、yixmmiiii . abfw,),(),(),( jqipfiiiiii 取取,),(1 iiiiimmfw ,),(),(iiiiiisefw 即即oxyabl1 nmim1 im2m1m),(iif ix iy ,d),(),( lsyxeyxf ,coscos),( jiyxe 若记若记,dcos),(cos),( lsyxqyxpw 则则,),(),(1 niiiiiisefw ,),(),(lim10 niiiiiisefw 三、第二类曲线积分的概念三、第二类曲线积分的概念,),(dcos),(cos),(,dcos),(dcos),(,),(coscos),(,),(),(),

8、(,上的积分上的积分在定向曲线弧在定向曲线弧为向量值函数为向量值函数则称积分则称积分同时存在同时存在与与若积分若积分处的单位切向量处的单位切向量上点上点是定向弧是定向弧有界有界上上在在向量值函数向量值函数线弧线弧面上一条光滑的定向曲面上一条光滑的定向曲为为设设lyxfsyxqyxpsyxqsyxpyxljiyxeljyxqiyxpyxfxoyllll 1.定义定义记为：记为： lryxfd),(即：即： lsyxeyxfd),(),( lsyxqyxpdcos),(cos),( lryxfd),( , )d( , )cosd ,( , )d( , )cosd ,llllp x yxp x ys

9、q x yyq x ys若记则：则： lryxfd),( lyyxqxyxpd),(d),( lryxfd),( lyyxqxyxpd),(d),(rdsyxed),( )dcos,d(cosss )d,d(yx ,d称为定向弧元素称为定向弧元素ryx d,d.,的投影元素的投影元素称为定向弧称为定向弧的坐标的坐标为为lrd.d),(d),(分分也称为对坐标的曲线积也称为对坐标的曲线积 lyyxqxyxp,称为定向积分曲线称为定向积分曲线l.d),(d),(称为积分表达式称为积分表达式yyxqxyxp 3. 第二类曲线积分存在的充分条件：第二类曲线积分存在的充分条件：4.4.第二类曲线第二类曲

10、线积分的性质积分的性质1) 第二类曲线积分具有线性性质第二类曲线积分具有线性性质.d),(,)(),(必存在必存在第二类曲线积分第二类曲线积分连续时连续时上上的曲线弧的曲线弧或分段光滑或分段光滑在光滑在光滑当当 lryxflyxf lllyqxpyqxpyqxpyqxpdddd)dd()dd(22112211 2) 对于定向积分曲线弧的可加性对于定向积分曲线弧的可加性.d),(d),(d),(d),(d),(d),(,2121 lllyyxqxyxpyyxqxyxpyyxqxyxplll则则则则有向曲线弧有向曲线弧方向相反的方向相反的是与是与是有向曲线弧是有向曲线弧设设,)3lll 即对坐标的

11、曲线积分与曲线的方向有关即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关. llyyxqxyxpyyxqxyxpd),(d),(d),(d),(二、第二类曲线积分的计算二、第二类曲线积分的计算,d),(d),(,0)()(,)(),(,),(, ),(:, )(, )(22存在存在则第二类曲线积分则第二类曲线积分且且一阶连续导数一阶连续导数为端点的闭区间上具有为端点的闭区间上具有及及以以在在上有定义且连续上有定义且连续在在的参数方程为的参数方程为平面光滑定向曲线弧平面光滑定向曲线弧 lyyxqxyxptytxbatytxlyxqyxpbattyytxxl定理定理ttytytxqtxtytxpyyxqxyxp

12、bald)()(),()()(),(d),(d),( 且且基本思路基本思路:计算定积分计算定积分转转 化化求曲线积分求曲线积分特殊情形特殊情形.:)(:)1(baxxyyl .d)()(,)(,ddxxyxyxqxyxpyqxpbal 则则.:)(:)2(dcyyxxl .d),()(),(ddyyyxqyxyyxpyqxpdcl 则则例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算baxylxxyl 解一：解一：)1 , 1(b)1,1( aoyx1,的定积分的定积分化为对化为对 y,2yx ablxxyxxydd 1122d)(yyyy.

13、 11到到从从 y 114d2yy.54 例例1.)1 , 1()1, 1(,d2的一段弧的一段弧到到上从上从为抛物线为抛物线其中其中计算计算baxylxxyl 解二：解二：)1 , 1(b)1,1( aoyx1,的定积分的定积分化为对化为对 xxy xy obaol 01:,: xxyao10:,: xxyob obaolxyxxyxxyxddd xxxd)(0154d21023 xxxxxd10 说明：说明：2) 第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，第二类曲线积分也是化为定积分进行计算，但此时定积分的上、下限要根据题目中给定但此时定积分的上、下限要根据题目中给定的定向曲线弧的起点和终点来

14、选定，的定向曲线弧的起点和终点来选定，下限不下限不一定小于上限一定小于上限 .3) 计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分计算第二类曲线积分时，由于涉及到积分曲线的定向问题，曲线的定向问题，要慎用对称性要慎用对称性. 一般地，一般地，在曲线积分化为定积分后在曲线积分化为定积分后再对定积分考虑能再对定积分考虑能否用对称性简化计算否用对称性简化计算 .,),(, ),()1方程代入方程代入要用曲线要用曲线上上定义在定义在yxlyxqyxp.)0 ,()0 ,()2(;)1(,d2的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点的上半圆周的上半圆周针方向绕行针方向绕行、圆心为原点、按逆时、圆心为原点、按逆时半

15、径为半径为为为其中其中计算计算abxaaalxyl 例例2ybaoaa x解解: : (1) l的参数方程为的参数方程为,0:,sin,cos ttaytaxxyld2 0ttad)sin( 334a 则则ta22sinybaoaa x(2) l 的方程为的方程为,:, 0aaxy xyld2 aaxd0.0 则则被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不被积函数相同，起点和终点也相同，但路径不同积分结果不同同积分结果不同.)0 ,()0 ,()2(的直线段的直线段轴到点轴到点沿沿从点从点abxaa 解解例例22222,.1.(fx y ixyjllxxy设有一平面力场一质点在场力作用沿曲线运动

16、 求场力所做的功为直线与抛物线所围区域的边界 按逆时针方向绕行）概念与性质可以推广到空间曲线概念与性质可以推广到空间曲线, 空间有向曲线弧空间有向曲线弧 kzyxrjzyxqizyxpzyxf),(),(),(),( rzyxfd),(.d),(d),(d),( zzyxryzyxqxzyxp概念与性质可以推广到空间曲线概念与性质可以推广到空间曲线, 空间有向曲线弧空间有向曲线弧 kzyxrjzyxqizyxpzyxf),(),(),(),(,),(),(处的单位切向量处的单位切向量上点上点是是zyxzyxe rzyxfd),( szyxezyxfd),(),(.d),(d),(d),( zz

17、yxryzyxqxzyxp srqpd)coscoscos(,),( 处的切向量的方向角为处的切向量的方向角为上点上点zyx:计算方法计算方法 zzyxryzyxqxzyxpd),(d),(d),(.:,)()()(:battzztyytxx ttztztytxrtytztytxqtxtztytxpbad)()(),(),()()(),(),()()(),(),( 例例422223()d2dd ,:, :01.yzxyz yxzxt ytzt t计算其中为的一段弧解解 ttttttttd322)(10223264 原式原式tttd)23(1046 .3515273 例例5)(.)0(:,ddd

18、222222222取逆时针方向取逆时针方向的交线的交线与与为为其中其中计算计算axyxzazyxzxyzxy 解解: : 曲线曲线 的参数方程为的参数方程为,sin2,cos22taytaax , )20:(2sin ttaztttattatad2cos)cos1(8cos)cos1(4sin82023333 原式原式tttttad2cos4cos2cos2sin8205233 .43a 例例6., 2, 1:,d)(d)(d)(22为顺时针方向为顺时针方向轴正向看轴正向看从从其中其中计算计算czzyxyxczyxyzxxyzc ozyxc解解: : 曲线曲线 c 的参数方程为的参数方程为,s

19、in,costytx )02:(sincos2 tttz 02 原式原式tttcos)sincos22( tttttd )sin)(cossin(cos )sin)(cos2(tt .2 20d)12cos2cos2sin2(tttt例例7.d)2(d)1(,)0(sin)0 ,()0 , 0(3的值最小的值最小的积分的积分到到从从使该曲线使该曲线求一条曲线求一条曲线中中的曲线族的曲线族和和在过点在过点 lyyxxyaolaxayao 三、两类曲线积分之间的联系：三、两类曲线积分之间的联系：,)()( tytxl ：设有向平面曲线弧为设有向平面曲线弧为,),( 的的方方向向角角为为处处的的切切

20、向向量量上上点点yxl llsqpyqxpd)coscos(dd 则则其中其中,)()()(cos22ttt ,)()()(cos22ttt （可以推广到空间曲线上（可以推广到空间曲线上 ）例例.)1 , 1()0 , 0(,d),(d),(2的一段弧的一段弧到到从从为沿抛物线为沿抛物线其中其中积分积分化为对弧长的曲线化为对弧长的曲线把把yxlyyxqxyxpl 解解,10:,2 yyx l的方程为的方程为,412cos2yy ,411cos2y 原式原式 lsyyxqyyxyp.d41),(41),(222四、小结四、小结1、第二类曲线积分的概念、第二类曲线积分的概念2、第二类曲线积分的计算

21、、第二类曲线积分的计算3、两类曲线积分之间的联系、两类曲线积分之间的联系思考题思考题 当曲线当曲线l的参数方程与参数的变化范围给定的参数方程与参数的变化范围给定之后之后（例如（例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t，a是正常数），试问如何表示是正常数），试问如何表示l的方的方向向（如（如l表示为顺时针方向、逆时针方向）？表示为顺时针方向、逆时针方向）？思考题解答思考题解答曲线方向由参数的变化方向而定曲线方向由参数的变化方向而定.例如例如l：taxcos ，taysin ，2 , 0 t中中当当t从从 0 变变到到 2时时，l取取逆逆时时针针方方向向;反反之之当当t从从 2变变到

22、到 0 时时，l取取顺顺时时针针方方向向.一、一、 填空题填空题: :1 1、 对对_的曲线积分与曲线的方向有关；的曲线积分与曲线的方向有关；2 2、 设设0),(),( dyyxqdxyxpl, ,则则 lldyyxqdxyxpdyyxqdxyxp),(),(),(),(_；3 3、 在公式在公式 dyyxqdxyxpl),(),( dttttqtttp)()(,)()()(,)(中中, ,下下 限限对应于对应于l的的_点点, ,上限上限 对应于对应于l的的_点；点；4 4、两类曲线积分的联系是、两类曲线积分的联系是_ _. .练练 习习 题题二、二、 计算下列对坐标的曲线积分计算下列对坐标的曲线积分: : 1 1、 lxydx, ,l其中其中为圆周为圆周)0()(222 aayax及及 x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界( (按按 逆时针方向绕行逆时针方向绕行) )； 2 2、 lyxdyyxdxyx22)()(, ,l其中其中为圆周为圆周 222ayx ( (按逆时针方向饶行按逆时针方向饶行) )； 3 3、 ydzdydx, ,其中为有向闭折线其中为有向闭折线abcd, ,这里这里 的的cba,依次为