定积分的应用06377

1、回顾回顾曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfa)(ab xyo)(xfy 微元法微元法面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下:（n. iiixfa )( iix （3 3）求和，得）求和，得a的近似值的近似值.)(1iinixfa i1）把区间）把区间,ba分成分成个长度为个长度为的小区间，相的小区间，相应的曲边梯形被分为应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第 个小窄个小窄曲边梯形的面积为曲边梯形的面积为 niiaa1则则,ia ix （4 4） 求极限，得求极限，得a的精确值的精确值 badxxf)(iinixfa )(lim10 y提示提示

2、xdxx ab xo)(xfy .)( badxxfiinixfa )(lim10 da面积元素面积元素微元法微元法的一般步骤：的一般步骤：这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法应用定积分的微元法解决问题应用定积分的微元法解决问题时，关键在于确定时，关键在于确定微元微元f(x)dx 和积分区间和积分区间a ,b。直角坐标系下的平面图形的面积直角坐标系下的平面图形的面积1、 由由x=a ， x= b ,y=0 及及 y= f (x) 所围成的平面图形的面积为所围成的平面图形的面积为 )( baaf x dxab2、由、由x=a ， x=b ,y=f (x) 及及 y=g (x) 所围平面图

3、形的面积为所围平面图形的面积为( ( )( )( ),)baaf xgf xxgaxdxbxyo)(xfy abxxx xyo( )yg x( )yf xabxx 解解两曲线的交点两曲线的交点)1 , 1()0 , 0(选选 为积分变量为积分变量x1 , 0 x面积元素面积元素dxxxda)(2 dxxxa)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx 22xyxy练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。,yx yx（1） ,0 xye yex（2） 22,3yxxx（3） 10 xx dax1610 xeeadx112

4、33 2x xadx323练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。102axx dx32123axxdx 2212xxdx223,xxyy（4） 2,2yxyxyx（5） 83763、 由由y= c ， y= d ,x=0 及及 x= (y) 所围平面图形的面积为所围平面图形的面积为 )( dcaycdyd4 如右图中的阴影部分的面积为如右图中的阴影部分的面积为 dcafyg ydy例例2 计算由计算由 和和 所围成的图形的面积。所围成的图形的面积。 22yx4yx解一解一两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 4

5、22xyxy1228022(2 )2(4)18aaaxxdxxxdx 解二解二xy22 4 xy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 ydyyyda 24242daa42224dyyy182 2222202axxdx12221xdx练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。练习写出下列给定曲线所围成的图形面积的定积分表达式。222,1yxyxy10()2yaydy或或 22(1)32旋转体旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台旋转体的体积旋转体的体积xy

6、xydxxfdv2)( 旋转体的体积为旋转体的体积为dxxfvba2)( ,bax xdxx xyo)(xfy aby=f (x)dcx=g (y)旋转体的体积计算公式旋转体的体积计算公式1、旋转轴为、旋转轴为 x 轴轴 由由x=a , x= b ，y=0, y=f (x) （a0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22( )bbxaavf xdxdyx 由由y= c , y= d , x=0, x=g (y) （ c0)所围成的曲边所围成的曲边梯形绕梯形绕 y 轴旋转一周而成的旋转体的体积为轴旋转一周而成的旋转体的体积为22

7、( )ddyccvg ydydxy2、旋转轴为、旋转轴为 y 轴轴a aoyx解解,323232xay 332322 xay,aax dxxavaa33232 .105323a , 0hx yrhpxo解解xhry 直线直线opop的方程为的方程为dxxhrdv2 dxxhrvh20 hxhr03223 .32hr 例例5 计算由曲线计算由曲线 y=x2 与与 x=y2 所围成的平面图形绕所围成的平面图形绕 y 轴旋转轴旋转一周而成的立体的体积。一周而成的立体的体积。解解 如图所示如图所示v2v112yvvv11221200 x dyx dy11400ydyy dy31021 226,21xyxyy2222011yvydyydy练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式绕绕y轴旋转一周轴旋转一周 32练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式练习：写出下列旋转体体积的定积分表达式 31,1,0yxxy160 xvx dx11600 xvdxx dx 32,1,0yxyxx1y=x31xy=x31绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 绕绕x轴旋转一周轴旋转一周 1767