定积分的应用91598

1、第八节第八节 定积分的应用定积分的应用 平面图形的面积平面图形的面积 体积体积 经济应用经济应用 小结小结xyo)(xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 badx)x( fs一、平面图形的面积一、平面图形的面积1.选选x为积分变量为积分变量xyo)(1xfy )(2xfy ab曲边梯形的面积曲边梯形的面积 ba12dx)x(f)x(f s1a2a3a4aacdeb beeddccadx)x( fdx)x( fdx)x( fdx)x( fs badx)x( f dcdy)y(sxyo)y(x1 ) y(x2 abcdxyoab)y(x cd dc12dy)y()y(s2.选选y为积分变量为积

2、分变量例例 1 1 计计算算由由两两条条抛抛物物线线xy 2和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解dxxxa)(210 10333223 xx.31 2xy 2yx (1,1)例例 2 2 计计算算由由曲曲线线xxy63 和和2xy 所所围围成成的的图图形形的的面面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).9 , 3(),4 , 2(),0 , 0( 236xyxxy2xy xxy63 于是所求面积于是所求面积21aaa dxxxxa)6(2023 dxxxx)6(3230 .12253 例例 3 3 计计算算由由曲曲线线xy22 和和直直线线4 xy所所围围成成的的图图形形的的面

3、面积积.解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 yxy22 4 xy 422dy)y214y(s234211(4)|1826yyy 选选x为积分变量为积分变量 20dx)x2(x2s 82dx)4x(x2例例 4 4 求椭圆求椭圆12222 byax的面积的面积.解解由对称性知总面积等于由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积倍第一象限部分面积 a022dxxaab4a.ab 2a41ab4 a,)0a(axy0y, 0 x,1 , 0 x,x-1y 522求求分成相等的两部分分成相等的两部分被被围成的区域围成的区域设设例

4、例 s21s:1 解解21sss 102dx)x1(s32 a110221dx)axx1(s3a31a1132 1s2s2x1y 2axy 最大最大时时最小最小时时问问在图中在图中设设例例2121sss?t )2(sss?t )1(,20,xsinx,y 6 2tt0dx) tsinx(sindx)xsint(sins:解解2tt0| ) tsinxxcos(| )xcostsinx( 1tsin2tcos2tsint2 2 coscos0,242stttt (0)1,()21,()1422sss,;t0,.4tss 最最小小最最大大.y)0 , 3(3x4xy 72轴围成图形的面积轴围成图形

5、的面积与与处的切线处的切线及其点在及其点在求抛物线求抛物线例例 2)3(y, 4x2y: 解解6x2y: 切线为切线为9dx)3x4x(6x2s302 .2x3xy 83成区域的面积成区域的面积线围线围和它的右极值点处的切和它的右极值点处的切求求例例 033xy :2解解1x x6y 06(1)y , 06)1(y 0y,1x 切线为切线为为右极值点为右极值点 123dx)2x3x(s427 旋转体旋转体就是由一个平面图形绕这平面内就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴旋转轴圆柱圆柱圆锥圆锥圆台圆台二、体积二、体积1、旋转体的

6、体积、旋转体的体积取取积积分分变变量量为为x，,bax 在在,ba上任取小区上任取小区间间,dxxx ，取取以以dx为为底底的的窄窄边边梯梯形形绕绕x轴轴旋旋转转而而成成的的薄薄片片的的体体积积为为体体积积元元素素，dxxfdv2)( xdxx xyo旋转体的体积为旋转体的体积为)(xfy 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为围成图形绕围成图形绕xbx, ax),x( fy )1( ba2xdx)x(fv轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为围成图形绕围成图形绕xbx, ax),x(gy),x( fy )2(21 ba22xdx)x(g)x(f (vxyo)(yx cd轴旋转而成的体积为轴旋转而

7、成的体积为围成图形绕围成图形绕ydy, cy),y(x )3( dc2ydy)y(v轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为围成图形绕围成图形绕ydy, cy),y(x),y(x )4(21 dc22ydy)y()y(vdxxfxvbay| )(|2 轴旋转而成的体积为轴旋转而成的体积为围成图形绕围成图形绕y0y,bx, ax),x( fy )5( 生生的的旋旋转转体体体体积积轴轴旋旋转转产产绕绕轴轴绕绕求求例例y(2),x(1) 1byax 12222 轴轴绕绕解解x)1(:22xaaby aa2xdxyv a02222dx)xa(ab22ab34 轴轴绕绕y)2(法一法一22ybbax bb2

8、22ydy)ybba(v b02222dy)yb(ba2ba342 法二法二dx| )x( f |x2vaay a02222dxxaxab4ba342 a03222| )x31xa(ab2 .y,x1xy,x1-xy 3积积轴旋转而成的旋转体体轴旋转而成的旋转体体轴轴平面图形分别绕平面图形分别绕围成围成轴轴的过原点的切线与的过原点的切线与求求例例 .xyx,xy 222而成的旋转体体积而成的旋转体体积轴旋转轴旋转围成平面图形绕围成平面图形绕求求例例 10222xdx)x()x(v 1010524| x51x21dxxx(103 ,1x21y: 解解x1a21y,)0 , 0( 则切线方程为则切

9、线方程为点点过过代入方程有代入方程有设切点为设切点为),b, a(x21y2a 切线为切线为 202122xdx)1x(dx)x21(v6| )xx21(|12x212203 10222ydy)y2()1y(v 158| yy32y511035旋转体体积旋转体体积旋转而成的旋转而成的绕绕求求例例)0ab(bxayx 4222 解解:将将y轴平移到轴平移到x=-b处处yy,bxx 令令22222yabxayx 化为化为则则22yabx 即即 10222222ydy)yab()yab(v a022dyyab8ba2a41b8222 xoab2、平行截面面积为已知的立体的体积、平行截面面积为已知的立

10、体的体积xdxx 如果一个立体不是旋转体，但却知道该立如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算个立体的体积也可用定积分来计算.)(xa表表示示过过点点x且且垂垂直直于于x轴轴的的截截面面面面积积，)(xa为为x的的已已知知连连续续函函数数,)(dxxadv .)( badxxav立体体积立体体积三、经济应用三、经济应用0 x0cdx)x(c)x(c 1。已知生产某产品固定成本为。已知生产某产品固定成本为 ,边际成本为边际成本为 x为产量，则总成本函数为为产量，则总成本函数为)x(c 0c2

11、。已知销售某产品的边际收益为。已知销售某产品的边际收益为 ，x为销售量，为销售量，则总收益函数为则总收益函数为)x(r x0dx)x(r)x(r3。已知某产品总产量。已知某产品总产量q的变化率为的变化率为 ，则，则（1）总产量函数为）总产量函数为（2）从）从 的总产量的总产量) t (q 时间内时间内到到21tt t0dt) t (q)x(q 21ttdt) t (q)x(q4.已知设利润函数的变化率为已知设利润函数的变化率为 ，则，则（1）总利润函数为）总利润函数为（2）从）从 的利润增量为的利润增量为)x(l 时时变到变到产量产量21xx0 x0cdx)x(l)x(l 21xxdx)x(l

12、)x(l试试确确定定厂厂商商的的最最大大利利润润万万元元设设固固定定成成本本为为例例,11q14q(q)c2q,-100(q)r,50 12 ?t18) t (r),/(2t6(t)ct,2000 23232为多少为多少最大利润最大利润产方可获最大利润产方可获最大利润试确定该矿何时停止生试确定该矿何时停止生增加收益为增加收益为年年百万元百万元的追加成本为的追加成本为在时刻在时刻万元建成万元建成某煤矿投资某煤矿投资例例 求在直角坐标系下、参数方程形式求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的（注意恰当的选择积分变量选择积分变量有助于简化有

13、助于简化积分运算）积分运算）四、小结四、小结旋转体的体积旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积 绕绕 轴旋转一周轴旋转一周x绕绕 轴旋转一周轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周绕非轴直线旋转一周6 6 曲曲线线2xy 与与它它两两条条相相互互垂垂直直的的切切线线所所围围成成平平面面图图 形形的的面面积积s，其其中中一一条条切切线线与与曲曲线线相相切切于于点点 ),(2aaa，0 a，则则当当 a_ _ _时时，面面积积s最最小小 . .二、二、 求由下列各曲线所围成的图形的面积：求由下列各曲线所围成的图形的面积：1 1、xy1 与直线与直线xy 及及2 x；2 2、

14、 y2x与直线与直线xy 及及xy2 ；3 3、 )cos2(2 ar；4 4、摆线、摆线)cos1(,)sin(tayttax )20( t及及x轴；轴；5 5、 cos3 r及及 cos1 r的公共部分；的公共部分；6 6、笛卡尔叶形线、笛卡尔叶形线axyyx333 . .一、一、 填空题：填空题：1 1、 由曲线由曲线eyeyx ,及及y轴所围成平面区域的面积轴所围成平面区域的面积是是_ . .2 2、 由曲线由曲线23xy 及直线及直线xy2 所围成平面区域的所围成平面区域的面积是面积是_ ._ .3 3、 由曲线由曲线 1,1,1,12 xxyxxy所围成所围成平面区域的面积是平面区域的面积是_ ._ .4 4、 计算计算xy22 与与4 xy所围的区域面积时，选用所围的区域面积时，选用_作变量较为简捷作变量较为简捷 . .5 5、 由曲线由曲线xxeyey ,与直线与直线1 x所围成平面区所围成平面区域的面积是域的面积是_ _ . .练练 习习 题题三、三、 求抛物线求抛物线342 xxy及其在点及其在点)3,0( 和和)0,3(处的切线所围成的图形的面积处的切线所围成的图形的面积 . .四、四、 求位于曲线求位于曲线xey 下方，该曲线过原点的切线的下方，该曲线过原点的切线的左方以左方以轴轴及及 x上方之间的图形的面积上方之