定积分分部积分法

1、 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv一、分部积分公式一、分部积分公式例例1 211xxe dx2211xxxee dx2212xeee 2222eeeee定积分的分部积分法21xxde已积出的部分已积出的部分 要求值要求值 2402tanxxdx240sec1xxdx24400tan2xxdx24400tantan32xxxdx240ln co

2、s432x 22ln4232 定积分的分部积分法已积出的部分要求值已积出的部分要求值 220cos212xxed 22220011cos2cos2( 2)22xxexx edx 22011122sin2xeedx2222001111sin2sin2222xxeexxde220112sin2xexdex2201sin214xexdxe 2203sin2xexdx vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa 分部积分过程： 解 (4) 例 1 计算xdxarcsin210 解 xdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210)1 (112112162122

3、2102210 xdxdxxx123121122102xxdxarcsin210 xxdxxarcsinarcsin210210 )1 (1121121621222102210 xdxdxxx 123121122102x 解 例2 计算10dxex (5) vdxuuvvduuvudvdxvubabababababa 分部积分过程： 解 10101022 tttxxtdetdtedxe令2 222 2101010ttteedtete10101022 tttxxtdetdtedxe令10101022 tttxxtdetdtedxe令10101022 tttxxtdetdtedxe令 2 222

4、2101010ttteedtete 例例2 2 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 21021x . 12312 则则例例3 3 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例4 4 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2

5、()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例5 5 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10 dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)

6、(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例6 6 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossinxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxx

7、ninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式ni4223 nninni,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202immmmim ,3254761222122112immmmim ), 2 , 1( m,2200 dxi, 1sin201 xdxi,221436522322122 mmmmim.325476122212212 mmmmim于是于是定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式 . bababavduuvudv二、小结二、小结（注意与不定积分分部积分法的区别）（

8、注意与不定积分分部积分法的区别）思考题思考题设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arct

9、an xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题题3 3、 0sin)(xdxxmjm， （m为自然数）为自然数）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0( ff证证明明：3sin )()(0 xdxxfxf .一、一、1 1、! !)!1(nn ； 2 2、2! !)!1( nn； 3 3、e21 ； 4 4、)1(412 e； 5 5、23ln21)9341( . .二、二、1 1、211cos1s