143对数求导法

1、上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院11.4.3 对数求导法对数求导法一、幂指函数的对数求导法则一、幂指函数的对数求导法则二、乘积形式函数的对数求导法则二、乘积形式函数的对数求导法则三、小结三、小结上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院2观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 求导方法求导方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数. .-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :( )( ).v xu x多多个个函函数数相相乘乘和和幂幂指

2、指函函数数的的情情形形上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院3解解例例1sin(0),.xyxxy 设设求求等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln x上上式式两两边边对对 求求导导得得xxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一、幂指函数的对数求导法则一、幂指函数的对数求导法则上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院4(1sin ) ,xyx d_.y 例例2 设设则则分析分析 要求幂指函数要求幂指函数根据对数恒等式，先变换成根据对数恒等式，先变换成 ()ln

3、( )eg xf xy ( )ln( )e.g xf x (按复合函数求微分或导数按复合函数求微分或导数)或或 ( )lnln( )g xyf x ( )ln ( ).g xf x (按隐函数求微分或导数按隐函数求微分或导数) 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院5解解 恒等变形得恒等变形得 (1sin ) ,xyx lnln(1sin )yxx根据微分法则知根据微分法则知1ddln(1sin )yxxy1cos d1sinxx xx 因此因此 1ddln(1sin )cos d1sinyyxxxx xx cos(1sin )ln(1sin.)d1sinxxxxx

4、xx 上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院6对幂指函数对幂指函数,( ),( ),vyuuu x vv x其其中中可用对数可用对数lnln ,yvu 1yy lnvu ,u vu ln.vu vyuvuu lnvyuu v1.vvuu 求导法则求导法则: :按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式注注 求导法求导求导法求导: :上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院7幂指函数的求导公式幂指函数的求导公式:lnvyuu v1.vvuu 按指数函数求导公式按指数函数求导公式按幂函数求导公式按幂函数求导公式将幂指函

5、数当作幂函数求导将幂指函数当作幂函数求导加上加上将幂指函数将幂指函数当作指数函数求导当作指数函数求导.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院8sin(0)xyxx的导数的导数. . 例例3 利用求导公式利用求导公式求求 sin1sinsinlnsinxxyx xxxxx 解解 根据求导公式可得根据求导公式可得 sin1sinsinlncosxxx xxxx sinsinlncos.xxxxxx注注 结果与结果与例例1中利用对数求导法所得完全一致中利用对数求导法所得完全一致.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院9二、二、乘积形式函数的对数

6、求导法则乘积形式函数的对数求导法则乘积形式函数的求导法则：如果利用乘积形式函数的求导法则：如果利用来求导，理论上是可行的，但对于比较复杂的情来求导，理论上是可行的，但对于比较复杂的情形，例如形，例如uvu vuv32(1)1,(4)xxxyxe 则过程显得非常繁琐，因此也先取对数，再求导则过程显得非常繁琐，因此也先取对数，再求导.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院10例例4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式两边等式两边先取绝对值再取对数先取绝对值再取对数得得1lnln1ln12ln43yxxxxx上上式式两两边边对对 求求导导得

7、得142)1(3111 xxxyy32(1)1,.(4)xxxyyxe 设设求求上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院11(1)(2),(3)(4)xxyxx 1ln2y 对对 x 求导求导 12yy 1(1)(2)2(3)(4)xxyxx 1111.1234xxxx解解 等式两边等式两边先取绝对值再取对数先取绝对值再取对数得得ln1ln2xx ln3ln4xx11x 12x 13x 1,4x 例例5 设设.y 求求上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院12例例6 设设(0 ,0 ,1,0 ),xababxayabxbxab 解解 两边取对数两边取对数ln y 两边对两边对 x 求导求导yy lnabax ,bx xababxybxa lnabax bx lnaxb lnlnabx lnln ,bxa .y 求求上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院13三、小结三、小结对数求导法适用的函数类型：对数求导法适用的函数类型：1. 幂指函数；幂指函数；2. 乘积形式函数乘积形式函数.对数求导法则：对数求导法则：对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导对方程两边取对数，按隐函数的求导法则求导.上一页上一页下一页下一页返回首页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院143. ,( ).yyx 等等式式两两端端