高中数学人教A版浙江专版必修4讲义：复习课二　三角函数的图象与性质 含答案

1、人教版高中数学必修精品教学资料复习课(一)任意角的三角函数及三角恒等变换三角函数的定义三角函数的定义1题型多以选择题、填空题为主题型多以选择题、填空题为主,一般难度较小主要考查三角函数的定义的应用一般难度较小主要考查三角函数的定义的应用,多多与求三角函数值或角的大小有关与求三角函数值或角的大小有关2若角若角的终边上任意一点的终边上任意一点 p(x,y)(原点除外原点除外),r|op| x2y2,则则 sin yr,cos xr,tanyx(x0) 典例典例 已知角已知角的终边过点的终边过点 p(3cos ,4cos ),其中其中2，,则则 sin _,tan_.解析解析2，,cos 0,r x

2、2y2 9cos216cos25cos ,故故sin yr45,tan yx43.答案答案4543类题通法类题通法利用三角函数定义求函数值的方法利用三角函数定义求函数值的方法当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时当已知角的终边所经过的点或角的终边所在的直线时,一般先根据三角函数的定义求这一般先根据三角函数的定义求这个角的三角函数值个角的三角函数值,再求其他但当角经过的点不固定时再求其他但当角经过的点不固定时,需要进行分类讨论需要进行分类讨论求与正切函数有关问题时求与正切函数有关问题时,不要忽略正切函数自身的定义域不要忽略正切函数自身的定义域题组训练题组训练1已知角已知角的终边上一点的坐

3、标为的终边上一点的坐标为sin56，cos56 ,则角则角的最小正值为的最小正值为()a.56b.23c.53d.116解析：解析：选选 c由三角函数的定义知：由三角函数的定义知：tan cos56sin56cos6sin63212 3.又又 sin560,cos560.所以所以是第四象限角是第四象限角,因此因此的最小正值为的最小正值为53.2已知角已知角的顶点与原点重合的顶点与原点重合,始边与始边与 x 轴的正半轴重合轴的正半轴重合,终边在直线终边在直线 y2x 上上,则则 cos 2()a45b35c.35d.45解析：解析：选选 b在角在角的终边上任取一点的终边上任取一点 p(a,2a)

4、(a0)则则 r2|op|2a2(2a)25a2.所以所以 cos2a25a215,cos 22cos2125135.3若若是第四象限角是第四象限角,则点则点 p(sin ,tan )在第在第_象限象限解析：解析：因因是第四象限角是第四象限角,则则 sin 0,tan 0,点点 p(sin ,tan )在第三象限在第三象限答案：答案：三三同角三角函数间的基本关系及诱导关系同角三角函数间的基本关系及诱导关系1题型既有选择题、填空题题型既有选择题、填空题,又有解答题主要考查三角函数式的化简与求值又有解答题主要考查三角函数式的化简与求值,利用公利用公式进行恒等变形以及基本运算能力式进行恒等变形以及基

5、本运算能力2(1)牢记两个基本关系式牢记两个基本关系式 sin2cos21 及及sin cos tan ,并能应用两个关系式进行三并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明角函数的求值、化简、证明(2)诱导公式可概括为诱导公式可概括为 k 2(kz)的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶的各三角函数值的化简公式记忆规律是：奇变偶不变不变,符号看象限其中的奇、偶是指符号看象限其中的奇、偶是指2的奇数倍或偶数倍的奇数倍或偶数倍,变与不变是指函数名称的变化变与不变是指函数名称的变化 典例典例 已知已知2tan 1tan 2 4,求求(sin 3cos )(cos sin )的值的值解解法一

6、法一：由已知：由已知2tan 1tan 4,2tan 4(1tan ),解得解得 tan 2.(sin 3cos )(cos sin )4sin cos sin23cos24sin cos sin23cos2sin2cos24tan tan23tan218434115.法二：法二：由已知由已知2tan 1tan 4,解得解得 tan 2.即即sin cos 2,sin 2cos .(sin 3cos )(cos sin )(2cos 3cos )(cos 2cos )cos2cos2sin2cos21tan2115.类题通法类题通法三角函数式的求值、化简、证明的常用技巧三角函数式的求值、化简、

7、证明的常用技巧(1)化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时化弦：当三角函数式中三角函数名称较多时,往往把三角函数化为弦往往把三角函数化为弦,再化简变形再化简变形(2)化切化切：当三角函数式中含有正切及其他三角函数时当三角函数式中含有正切及其他三角函数时,有时可将三角函数名称都化为正有时可将三角函数名称都化为正切切,再变形化简再变形化简(3)“1”的代换：在三角函数式中的代换：在三角函数式中,有些会含有常数有些会含有常数 1,常数常数 1 虽然非常简单虽然非常简单,但有些三角函但有些三角函数式的化简却需要利用三角函数公式将数式的化简却需要利用三角函数公式将“1”代换为三角函数式代换为三角函数式题

8、组训练题组训练1若若 sin()53且且，32 ,则则 sin2()a23b66c.66d.23解析：解析：选选 asin()sin 53,又又，32 ,所以所以 sin2cos 1sin22513 23.2如果如果 tan 2,那么那么 1sin cos ()a.73b.75c.54d.53解析：解析：选选 b1sin cos 1sin cos 1sin2cos2sin cos sin2cos2tan2tan 1tan21,又又 tan 2,所以所以 1sin cos 222122175.3计算：计算：sin43cos256_.解析：解析：因为因为 sin43sin3 sin332,cos2

9、56cos256cos46 cos632,所以所以 sin43cos256323234.答案答案：344已知已知 sin(180)1010,090,求求sin sin 90 cos 540 cos 270 的值的值解解：由由 sin(180)1010,090,得得 sin 1010,cos 3 1010,原式原式sin sin 90 cos 360180 cos 270 sin cos cos sin 10103 10103 101010102.简单的三角恒等变换简单的三角恒等变换1题型既有选择题、填空题题型既有选择题、填空题,又有解答题又有解答题,主要考查给角求值、给值求值、给值求角、主要考

10、查给角求值、给值求值、给值求角、三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等三角函数式的化简以及利用三角恒等变换研究函数的性质等2两角和与差的正弦、余弦、正切公式两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sin cos cos sin ；(2)cos()cos cos sin sin ；(3)tan()tan tan1 tan tan.3二倍角的正弦、余弦、正切公式二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 22sin cos ；(2)cos 2cos2sin22cos2112sin2；(3)tan 22tan 1tan2. 典例典例 (广东高考广东高考)已知已知 tan 2.(1

11、)求求 tan4 的值的值；(2)求求sin 2sin2sin cos cos 21的值的值解解(1)tan4 tan tan41tan tan4211213.(2)sin 2sin2sin cos cos 212sin cos sin2sin cos 2cos22tan tan2tan 2224221.类题通法类题通法解决条件求值应学会的三点解决条件求值应学会的三点(1)分析已知角和未知角之间的关系分析已知角和未知角之间的关系,正确地用已知角来表示未知角正确地用已知角来表示未知角(2)正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知

12、角的三角函数值来表示(3)求解三角函数中给值求角的问题时求解三角函数中给值求角的问题时,要根据已知求这个角的某种三角函数值要根据已知求这个角的某种三角函数值,然后结然后结合角的取值范围合角的取值范围,求出角的大小求出角的大小题组训练题组训练1(重庆高考重庆高考)若若 tan 13,tan()12,则则 tan ()a.17b.16c.57d.56解析：解析：选选 atan tan ()tan tan 1tan tan 12131121317.2计算：计算：cos12cos512_.解析解析：cos12cos512cos12sin1212sin614.答案答案：14.3已知已知 04,04,且且

13、 tan()2tan .4tan21tan22,则则_.解析解析：4tan21tan22,tan 2tan21tan222tan24tan212,tan()2tan 2121.04,04,0，2 ,4.答案答案：44在在abc 中中,sin bcos a,若若 sin csin acos b34,且且 b 为钝角为钝角,求求 a,b,c.解解：因为因为 sin csin acos bsin180(ab)sin acos bsin(ab)sin acos bsin acos bcos asin bsin acos bcos asin b,所以所以 cos asin b34.因因 sin bcos

14、 a,因此因此 sin2b34.又又 b 为钝角为钝角,所以所以 sin b32,故故 b120.由由 cos asin b32,知知 a30.从而从而 c180(ab)30.综上所述综上所述,a30,b120,c30.1若若 cos 32,且角且角的终边经过点的终边经过点 p(x,2),则则 p 点的横坐标点的横坐标 x 是是()a2 3b2 3c2 2d2 3解解：选选 drx222,由题意得由题意得xx22232,x2 3.故选故选 d.2若若232,则则1cos 2的值是的值是()asin2bcos2csin2dcos2解析解析：选选 d1cos 21cos 21cos 2|cos2|

15、,232,234,cos20,|cos2|cos2.3若若0，2 ,且且 sin2(3)cos 214,则则 tan 的值等于的值等于()a.22b.33c. 2d. 3解析解析：选选 dsin2(3)cos 214,sin2(12sin2)14, 即即 cos214. 又又0，2 ,cos 12,则则3,tan tan3 3,故选故选 d.4已知已知 sin cos 52,则则 tan 1tan 的值为的值为()a5b6c7d8解析解析：选选 dsin cos 52,12sin cos 54,sin cos 18,tan 1tan sin cos cos sin 1sin cos 8.5若若

16、 3sin cos 0,则则1cos2sin 2的值为的值为()a.103b.53c.23d2解析解析：选选 a3sin cos 0,tan 13,1cos2sin 2sin2cos2cos22sin cos tan2112tan故选故选 a.6已知已知 sin()35,cos()35,且且2，,2，,则则 cos 2的值为的值为()a1b1c.2425d45解析解析：选选 c由题意知由题意知 cos()45,sin()45,所以所以 cos 2cos()cos()cos()sin()sin()35 45 45352425.7在在 0720中与中与25角终边相同的角为

17、角终边相同的角为_解析：解析：因为因为252518072,所以终边与所以终边与25角相同的角为角相同的角为72k360(kz),当当 k0 时时,72；当当 k1 时时,432,所以在所以在 0720中与中与25角终边相同的角为角终边相同的角为 72,432.答案：答案：72,4328已知已知为钝角为钝角,sin434,则则 sin4_.解析：解析：因为因为 cos24sin434,所以所以 cos434.因为因为为钝角为钝角,即即2,所以所以3444,所以所以 sin40,则则 sin41cos2474.答案答案：749已知已知为第二象限角为第二象限角,tan 22 2,则则2cos22si

18、n tan542sin4_.解析解析：tan 22tan 1tan22 2,tan 22或或 tan 2.22k2k,kz,tan 0,tan 22,2cos22sin tan542sin 4 2cos22sin 12sin4cos sin cos sin 1tan 1tan 12212232 2.答案答案：32 210求值求值：cos 40sin 50 1 3tan 10 sin 70 1sin 50.解解：cos 40sin 50 1 3tan 10 sin 70 1sin 50cos 40sin 5013sin 10cos 10cos 20 1cos 40cos 40cos 402sin 1030 cos 102cos220cos 4012cos220 2.11已知已知 cos sin 325,且且32,求求sin 22sin21tan 的值的值解解：cos sin 3 25,12sin cos 1825,2sin cos 725.又又，32 ,sin cos 12sin cos 4 25,sin 22sin21tan 2sin cos 2sin2 cos cos sin 2sin cos cos sin cos sin 7254 253 252875.12已知向量已知向量 a(3sin ,cos ),b(2sin ,5