定积分换元积分法

1、定理定理 假假设设（1 1）)(xf在在,ba上上连连续续；（2 2）函函数数)(tx 在在, 上上是是单单值值的的且且有有连连续续导导数数；（3 3）当）当t在区间在区间, 上变化时，上变化时，)(tx 的值的值在在,ba上变化，且上变化，且a )( 、b )( ， 则则 有有dtttfdxxfba )()()(. .一、换元公式一、换元公式证证设设)(xf是是)(xf的的一一个个原原函函数数，),()()(afbfdxxfba ),()(tft dtdxdxdft )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一个个原原函函数数.a

2、)( 、b )( ,)()( )()( ff ),()(afbf )()()(afbfdxxfba )()( .)()(dtttf 注注意意 当当 时时，换换元元公公式式仍仍成成立立.应用换元公式时应注意应用换元公式时应注意:（1）（2）例例1 4 1ln1exdxx 4 1lnlnex dx51ln5115ex140u du 5151105u 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 lndxlnux例例1 830121dxx2013(1)1tdtt 2203ln12ttt 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 323, , 3txxtdxt dt则 0 0 8 ,2xtxt当时，；当时22

3、031tdtt3 22ln33ln3例例1 11354xdxx213542uuduu123158udu 133115836uu 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 21154(5),42xuxudxudu 令，则1311xuxu 当时，；当时，例例1 ln 3201!4!1xxnedxrnre12311duu321ln1uuln32ln 12 定积分的换元法换元必须换限换元必须换限 xue换元必须换限换元必须换限 ln 320( )1 ( )xxd eeln 320ln1 ( )xxeeln32ln 12例例2 (1) 2 (1) 计算计算.sincos205 xdxx解解令令,cosxt

4、 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015dtt1066t .61 ,sin xdxdt 例 2 计算xdxxsincos520 (2) 解 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 xxdxdxxcoscossincos520520 610cos612cos61cos6166206x610cos612cos61cos6166206x 6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令6161

5、106105015costdttdtttx令6161 106105015costdttdtttx令 xxdxdxxcoscossincos520520或提示：当 x0 时 t1 当2x时 t0 dtttfdxxftxba)()( )()(令(当 xa 时 t 当 xb 时 t) 提示：换元一定要换积分限 不换元积分限不变 20sin022coscos tdtatadxxataxa令 解 例 1 计算adxxa022(a0) (3) 提示：tataaxacossin22222 tataaxacossin22222 tdtadxcos 2022022)2cos1 (2cosdttatdta2202

6、412sin212atta2022022)2cos1 (2cosdttatdta 2202412sin212atta dtttfdxxftxba)()( )()(令(当 xa 时 t 当 xb 时 t) 20sin022coscos tdtatadxxataxa令20sin022coscos tdtatadxxataxa令 当 x0 时 t0 当 xa 时2t 例例3 3 计算计算解解.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sins

7、inxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 例例4 4 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 例例5 5 计算计算解解 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinl

8、n21221 tt.4 ( )()bbaaf x dxf abx dxabxtdtdx ()( )()baabf abx dxf tdt ,xatbxbta当时，；当时( )( )bbaaf t dtf x dx证证,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf在在 0)(adxxf中中令令tx , 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf为为偶偶函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf为为奇奇函函数数，则则),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(. 0 奇函数奇函数

9、例例6 6 计算计算解解.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx 11211cosdxxxx偶函数偶函数 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 单位圆的面积单位圆的面积 定积分的换元法例例1 222482y dy2202 24y dy4028 2cos xdx404 21 cos2x dx40114 2sin24 2242xx换元必须换限换元必须换限 2sinyx证证（1）设）设tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdt

10、tf;)(cos20 dxxf（2）设）设tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf几个特殊积分、定积分的几个等式几个特殊积分、定积分的几个等式定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(dtttf )()

11、(二、小结二、小结思考题思考题指指出出求求 2221xxdx的的解解法法中中的的错错误误，并并写写出出正正确确的的解解法法.解解 令令,sectx ,4332: t,sectantdttdx 2221xxdxtdtttttansectansec14332 dt 4332.12 思考题解答思考题解答计算中第二步是错误的计算中第二步是错误的.txsec ,43,32 t, 0tan t.tantan12ttx 正确解法是正确解法是 2221xxdxtxsec tdtttttansectansec14332 dt 4332.12 一、一、 填空题：填空题：1 1、 3)3sin(dxx_；2 2、

12、03)sin1(d_；3 3、 2022dxx_ _；4 4、 2121221)(arcsindxxx_；5、 55242312sindxxxxx_ .练练 习习 题题二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 203cossin d； 2 2、 31221xxdx；3 3、 14311xdx； 4 4、 223coscosdxxx；5 5、 02cos1dxx； 6 6、 224cos4 dx；7 7、 112322)11(dxxxxx；8 8、 203,maxdxxx；9 9、 20dxxx （为参数为参数 ）. .三、三、 设设 时，时，当当时，时，当当0,110,11)(xexxxfx求求 20)1(dxxf. .四、设四、设 baxf,)(在在上连续，上连续， 证明证明 babadxxbafdxxf)()(. .五、五、 证明：证明： 1010)1()1(dxxxdxxxmnnm. .六、证明：六、证明： aaadxxfxfdxxf0)()()(, , 并求并求 44sin1xdx. .七、设七、设 1,0)(在在xf上连续，上连续， 证明证明 2020)cos(41)cos(dxxfdxxf.练习题答案练习题答案一、一、1 1、0 0； 2 2、34