[研究生入学考试]线性代数练习册答案

1、习题1-1答案1.用消元法求解线性方程组 ：（1）解：对方程组的增广矩阵进行初等变换这样就得出方程组的一般解 其中c为任意常数（2）解：将线性方程组的增广矩阵化为行简化阶梯形矩阵 线性方程组的一般解为 其中，为任意常数2. 将下列矩阵化成最简形矩阵：（1）解：（2）解： A=（3）解： （4）解：（5）解： 第一章 复习题答案 1.选择题解（1）:A.解（2）：A.解（3）：D.2.解：因为 所以方程组无解3.将下列矩阵化成最简形矩阵：（1）解：（2）解： (3)解： (4)解：第二章 行列式 Cramer 法则 第一节 n阶行列式的定义一 填空题1 9； 奇 ， 2 ， 3 正 ， 4 正

2、， 5 6 7 二利用定义计算下列行列式的值1 由定义知其任意一项由组成，由于后三行每行至多只有两个非零数，故中必至少有一个为0，因此每一项都为0，故值为02 由定义知任意一项由组成，且只需要找非零项，显然每行只有一个非零元素，分别取之即，列标排列的逆序数为3，故带负号，最后值为3 此行列式中仅有一个非零项即4.显然仅有一个非零项，即，观察其列标排列，排序为，逆序数为，所以最后值为5 做法类似上题，只是列标排序不同为23.n1,逆序数为n-1，最后的结果为 第二节 行列式的性质一 利用行列式的性质计算下列各题1 将行列式按第二行展开2将行列式按第一列展开3下面都将所求行列式的值设为D.因为第1

3、行加到第2行以后, 第2行将和第4行相等, 因此行列式的值D=0;4首先从第1,2,3行分别提取公因子a,d,f, 再从第1,2,3列提取公因子b,c,e, 得5将行列式按第一列展开得6解 2，,4列都展开, 并统统减去第1列, 得再将第3列减去2倍的第2列, 第4列减去3倍的第2列, 得7 二解 行列式的性质（2）1解  2解3解 二 计算下列行列式1解设此行列式的值为D, 将第2,3,n列均加于第一列, 则第一列的所有元素均为, 将此公因式提出, 因此有再令第n行减去第n-1行, 第n-1行减去第n-2行, , 第2行减去第1行, 可得2 解 3解简单的解法，观察教材24页例3，

4、比较可知，在这里,套用例3结论可得 4解 第三节 Cramer 法则一1解 由Cramer 法则可求出系数行列式2 解 方法同上 x1=3,x2=4,x3=53 解: 此方程组的系数矩阵A为要使方程组有非零解, 必须有det(A)=0.而因此, 只有当k=5或者k=2或者k=8时, 此方程组才有非零解.4 解: 此方程组的系数矩阵A为, 要使方程组有非零解, 必须det(A)=0, 而因此, 只有当=1或者=0时, 方程组才有非零解. 第二章 复习题一 选择题1 d 2 b 3 b,d 4 c,d 5 a b d二填空题1. 12246000 2. 2;1 3 0；0 4. -12 5. 0三

5、计算行列式1 解2解 从第n1行开始，第n1行经过n次相邻对换，换到第1行，第n行经n1次对换换到第2行，贯穿次行交换得到 此行列式为范德蒙行列式所以3解：4解： 将按第一列拆成两个行列式的和，即再将上式等号右端的第一个行列式第i列（，3，n）减去第一列的i倍；第二个行列式提出第一列的公因子，则可得到当时，当时，5 解： = =6 解：由递推关系有7解：8 解: 按第一行展开，再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到三证明题1 解： 用数学归纳法做 当n2时，即仅为二阶行列式，取前两行两列构成行列式显然满足结论设对于阶行列式命题成立，即则 将行列式按第一列展开2 证: 3证: ，于

6、是，当为奇数时有，故4 证明 按第一列展开，得其中，等号右边的第一个行列式是与有相同结构但阶数为的行列式，记作；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与有相同结构但阶数为的行列式，记作这样，就有递推关系式：因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的当时，结论正确当时，结论正确设对的情形结论正确，往证时结论也正确由可知，对n阶行列式结果也成立 根据归纳法原理，对任意的正整数n，结论成立 第三章 矩阵的运算第一节一 ，二（1）（2）（3）（4）（5）（6）三（1）两矩阵为同阶方阵。（2）（和可交换）四和有意义。五证：因为：，所以：若若，则六解：设，则，所以应

7、该选择公司乙。第二节一（1）B（2）D（3）A（4）C（5）A二（1）（2），而.所以三解：，所以：四（1）证：为同阶对称矩阵，所以 ：所以：也是对称矩阵。（2）证明：其主对角线上的元素为 又，是实对称矩阵 即第三节一（1） （2）9 （3） （4）-8 （5） （6）0 （7） （8）1二（1）D（2）A（3）B三（1）解：（2）解：， （3）解：容易证明矩阵都可逆，所以：，（4）解：（5）解：可逆。又从而得到：所以：四（1）证：所以：可逆，且其逆阵为。（2）证：因为，所以：（3）证明：因为矩阵为非奇异矩阵，所以，即：因为矩阵为对称矩阵，所以，则有：所以：，即也是对称矩阵.。（4）证：因为，

8、又因为，所以：，显然可逆，且。（5）证：有得：所以：假设不可逆，则，所以：所以，这与题目是阶非零矩阵矛盾，所以可逆。第四节一（1）1 （2）0 （3）6 （4）100 （5）二（1）解：，则为分块对角矩阵。所以：，显然也是分块矩阵，很容易可以得到：，所以（2）解：令， 即所以：由于，所以所以：（3）设是阶可逆矩阵，是矩阵，且，用分块矩阵的乘法，求一个矩阵，使得解：将的矩阵分块为：，是阶可逆矩阵，是矩阵，所以，令，则，所以可以求一个的矩阵。第五节1 2 解：，很容易得到：是可逆的。所以：所以：3解：可逆。所以：，得4解：由 知可逆，且 由 所以：5解：由，有 所以 由 所以 。 第六节一（1）0

9、 （2） 1 （3） 3 （4） 2 （5）3二（1） A （2） B （3）D三（1）解：对矩阵施行初等行变换所以：（2）解：因为：矩阵的秩为 2，所以（3）解答：要使得矩阵的秩有最小秩，则（4）解：，所以四解：因为是由矩阵的代数余子式组成，但是，所以其代数余子式全部为0，所以：，则第三章复习题一（1）A（2）D（3）A（4）B（5）D（6）C（7）B（8）C二（1）-3（2）-6（3）-32（4）4（5）（6）3三（1）（2），所以（3）所以：所以：（4）（5）。可得（6），所以：四略。练习4-11.B 2.B 3.C 4.D 5.B 6. -1 7. n 8.9.解: 所以， 当时，无解

10、； 当时，=，有唯一解； 当时，有无穷多个解； 当时，无解。10.解: 所以，从而当时有解；通解为，其中为任意常数11.解:它们的联立方程组也和它们同解,从而系数矩阵的秩和这两个方程组的系数矩阵的秩相等,为2.设这两个方程组的系数矩阵分别为A,B,则联立方程组的系数矩阵为 1 2 3 1 2 3 1 2 3A = 2 3 5 0 1 -1 0 1 -1B 1 1 a ® 0 -1 a-3 ® 0 0 a-2 , 1 b c 0 b-2 c-3 0 0 c-b-1 2 b2 c+1 0 b2-4 c-5 0 0 c-b2-1 则a=2,并且c-b-1=c-b2-1=0

11、9; b=b2, c=b+1,解出b=0,c=1或b=1,c=2.但是b=0,c=1时r(B)=1,应排除. 答案为a=2, b=1,c=2.(另一个做法:由r(A)=r(B)=2,先求出a,然后求第一个方程组的解,代入第二个方程组决定b,c.)练习4-21.D 2.C 3.D 4.A 5. 6.证明：设，则。否则可由，线性表示，与已知条件矛盾，所以。同理。所以，而，所以。因此，线性无关。7.解：设， 因为 ,因此方程组无解。所以对一切，不能由线性表示8(1),所以向量组线性相关(2)所以该向量组线性无关(3)所以该向量组线性无关练习4-31.D 2.D 3.A 4.解：设所以，所有极大线性无

12、关组为，5.解：令初等行变换 所以该向量组的秩等于，它是线性相关的它的极大无关组分别为和.6.解：由向量组为列向量组作矩阵当时，向量组线性相关。向量组的极大线性无关组是且7.解：且练习4-41.D 2.B 3. 1 4. n r. 5. 6.解: 所以，从而当时有解；通解为，其中为任意常数7.解：因为系数矩阵 所以一般解为 （其中，是自由未知量）8.解: 对进行初等行变换得 解为9. 正确总复习1.T 2.T 3.F 4.F 5.F 6.T 7.T 8.F 9.T10. 解：中至少有一个非零列向量， 所以方程组有非零解。于是，解得易知当时。所以方程组的基础解系含一个解向量，因此，即。11. 解

13、: 因为 所以 r(A) = 2，r() = 3. 又因为r(A) ¹ r()，所以方程组无解。12.(1) 不正确,定义中只是要求存在一组常数,并不要求这组常数不全为零(2) 不正确. 向量组是线性相关则其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示,但并不一定就是一定可由线性表示(3) 不正确,能使的并不一定满足(4) 不正确,例如存在不全为零的数1,1使,但线性相关.(5) 正确. 线性无关,则线性无关.而线性相关,则可由线性表示,若可由线性表示,则可由线性表示,与线性无关矛盾,所以不可由线性表示13. 证明：设，即，由于线性无关，故有 解之得， 故也线性无关 14.证明: 因为维向

14、量组可以由维单位坐标向量组线性表示,而已知维单位坐标向量组可以由维向量组线性表示,所以这两个向量组等价, ,所以向量组线性无关15.证明:充分性:若维向量组:线性无关,又个维向量线性相关,所以维向量可由维向量组:线性表示,故任一维向量组都可由它们线性表示必要性:用反证法: 若维向量组:线性相关,不妨设可由线性表示,且线性无关,于是存在维向量使线性无关,从而不能由线性表示,也就不能由线性表示,任一维向量组也就不能由它们线性表示. 与题设矛盾, 必须线性相关. 16.【分析】因为向量组中的向量个数和向量维数相同，所以用以向量为列向量的矩阵的行列式为零来确定参数；用初等变换求极大线性无关组. 【详解

15、】记以为列向量的矩阵为，则 . 于是当时，线性相关. 当时，显然是一个极大线性无关组，且； 当时， ，由于此时有三阶非零行列式，所以为极大线性无关组，且.17.解 故向量组的秩为3，是一个极大线性无关组，并且 ，18(1)解:对系数矩阵施行初等行变换,化为行最简形矩阵,有: 于是得同解方程组: 其中为任意常数.令有:从而得基础解系:.故原方程组的通解为(其中为任意常数.)(2)解 原方程可化为:令则有,从而得基础解系故原方程的通解为其中为任意常数.19. 证明:因为,有由第五节例2知.又 故所以.20(1)解:对增广矩阵B施行初等行变换: 取为自由未知量,原方程组的同解方程组为 令,得得非齐次

16、方程组得一个特解:.在其导出组中,令,则有从而得其基础解系为于是原方程组的通解为: (为任意常数)(2)解:对增广矩阵B施行初等行变换:取为自由未知量,原方程组的同解方程组为令,得得非齐次方程组得一个特解:在其导出组 中令,则有从而得其基础解系为于是原方程组的通解为:21.【分析】 本题是方程的个数与未知量的个数相同的齐次线性方程组，可考虑对系数矩阵直接用初等行变换化为阶梯形，再讨论其秩是否小于n，进而判断是否有非零解；或直接计算系数矩阵的行列式，根据题设行列式的值必为零，由此对参数a的可能取值进行讨论即可。【详解1】 对方程组的系数矩阵A作初等行变换，有 当a=0时， r(A)=1<n

17、，故方程组有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数.当时，对矩阵B作初等行变换，有 可知时，故方程组也有非零解，其同解方程组为 由此得基础解系为 ，于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数.【详解2】 方程组的系数行列式为 .当，即a=0或时，方程组有非零解.当a=0时，对系数矩阵A作初等行变换，有 ，故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 于是方程组的通解为 其中为任意常数.当时，对系数矩阵A作初等行变换，有 ，故方程组的同解方程组为 由此得基础解系为 ，于是方程组的通解为 ，其中k为任意常数.22.解：因为线性方程组（i）、（ii）有公共的非零解，所以

18、它们的联立方程组（iii）有非零解，即（iii）系数矩阵A的秩小于4。对矩阵A进行初等行变换，得，所以且此时可解方程组，得，即为（iii）的一个非零解又，所以构成（iii）的基础解系。因此，（i）和（ii）的全部公共解为（其中k为任意常数）习题5-1 预备知识1. （1）（2）2解： 3解：正交化 单位化 4解：方程组，即的基础解析为 再正交化得，5 （1）不是。 （2）是。6 证明：习题5-2 特征值和特征向量1. D. 2. C 3. C4. (1) 解: (2) 解: , 5解：由, 有特征值, 的一个特征值为6* 解：设的特征值对应的的特征值, 则, 即因为的属于的特征向量为，故的属于

19、的特征向量为，于是有 ,即 又由习题5-3 相似矩阵1. A 2.A 3.D 4.A 5.A 6.B7解： 由于A与B相似，则, 可得x2，所以矩阵A的特征值为 ，对于，A对应的特征值向量为 对于，A对应的特征值向量为 对于，A对应的特征值向量为 使得 8. 解：因为的特征值互异，故线性无关。于是令，则可逆， 且， 于是 用初等变换求的, 故 且 习题5-4 实对称矩阵的相似矩阵1 解： ，的特征向量,特征向量,特征向量单位化 ，正交矩阵，。2. 解： ，得当时，特征向量当时，特征向量 。3 解：，特征值1、1、2， ，特征向量，所以 4.解: 第五章 复习题1. 解：由特征方程得，特征值为。

20、且对应特征值，特征向量为；对应于特征值，特征向量为。将正交单位化得将单位化得，。 为正交矩阵。2. 解： 设 ，则 ，解得 故 3. 证: 因为，。所以，所以可逆，且，所以也是正交矩阵4.解：（1）设得方程组由于所以,（2）方法一，利用方法二6-1一、写出下列二次型的矩阵A，并求二次型的秩（1） 解 二次型的矩阵为. (2). 解 二次型的矩阵为. （）解 二次型的矩阵为. 二、写出下列各对称矩阵所对应的二次型（1）解 对应的二次型为（2）解 对应的二次型为三、已知二次型的秩为2，求的值 解 二次型的矩阵为，由知，即四、设二次型，分别作下列三个满秩变换，求新二次型（1） 解 二次型的矩阵为.满

21、秩变换矩阵为.因为，所以于是新二次型为（2） 解 满秩变换矩阵为.于是新二次型为（3） 解 满秩变换矩阵为.于是新二次型为6-2一 求一个正交变换将下列二次型化成标准形 (1) 解 二次型的矩阵为. 由,得的特征值为。 当时, 解方程 , 由,得特征向量 。 取。 当时, 解方程, 由,得特征向量 ， 取. 当时, 解方程, 由,得特征向量 ， 取. 于是有正交矩阵和正交变换， 使 （2） 解 二次型的矩阵为. 由, 得的特征值为 对于, 解方程, 得特征向量，单位化得. 对于, 解方程，得特征向量，单位化得. 对于, 解方程，得特征向量，单位化得. 于是有正交矩阵, 使，从而有正交变换, 使

22、原二次型变为标准形 二用配方法化下列二次形成标准形, 并写出所用变换的矩阵. (1) 解 令 , 即, 二次型化为标准形所用的变换矩阵为.(2) 解 令 , 即, 二次型化为标准形所用的变换矩阵为 (3) 解：由于中不含平方项，而含有乘积项，故令记作 ，代入得 令，即，记作，其中即有 ，所用变换矩阵为（） 就把 f 化成标准形所用线性变换矩阵为三 已知在直角坐标系 o x1 x2中, 二次曲线的方程为试确定其形状解 先将曲线方程化为标准方程，也就是用正交变换把二次型化为标准形二次型 f 的矩阵为A的特征多项式为于是 A 的特征值为可求得对应的特征向量为将它们单位化得令就有故在新坐标系o y1

23、y2中该曲线的方程为这是一个椭圆其短、长半轴长分别为6-3一、填空题1二次型是正定的充要条件是存在可逆 的线性变换，使得 ，。2二次型是正定的充要条件是实对称矩阵的特征值都是 正数 。3实对称矩阵是正定的，则行列式必 大于零 。4如果实对称矩阵有一个偶数阶的主子式，那么 必既非正定，也非负定 。5判定一个二次型是否正定的，主要可用 化标准形, 确定正惯性指数 , 求特征值 , 求各阶主子式 等方法。 二. 选择题个变量的实二次型为正定的充要条件是正惯性指数（ C ） A B C D若二次型负定，则（ D ） A顺序主子式小于0 B奇阶顺序主子式大于0，偶阶顺序主子式小于0C顺序主子式大于0 D

24、奇阶顺序主子式小于0，偶阶顺序主子式大于0二次型的符号差为（ C ） A0 B1 C1 D24不能说明是正定矩阵的是（ D ） A的个特征值全为正 B的标准形的个系数全为正C与单位矩阵合同 D的正惯性指数大于05二次型是（ B ） A正定二次型 B半正定二次型 C负定二次型 D不定二次型三判别下列二次型的正定性 (1) 解 二次型的矩阵为. 因为, , ,所以为负定. (2) 解 二次型的矩阵为. 因为, , , ,所以为正定三. 设,证明：时，为正定二次型；时，为负定二次型 证明 ：二次型的矩阵为, 其主子式为 , , . 当时，为正定二次型，联立求解不等式组得；当时，为负定二次型，联立求解

25、不等式组得四、证明下列各题1. 设是正定矩阵，证明 、，也是正定矩阵。证 一： 因为是正定矩阵，故的特征值全大于0，设为，则（1）的特征值为也全大于0，故为正定矩阵。（2）由于为正定矩阵，所以也是正定矩阵（3）的特征值为也全大于0，故为正定矩阵。（4）的特征值为也全大于0，故为正定矩阵。2设对称矩阵为正定矩阵，证明：存在可逆矩阵，使证明正定，则矩阵满秩，且其特征值全为正不妨设为其特征值，由定理8知，存在一正交矩阵使又因为正交矩阵，则可逆，所以令，可逆,则五用正交变换化二次曲面方程为标准形，并指出它表示何种二次曲面。解：设 它对应的矩阵 由，得特征值。对于，解方程组得,对应的特征向量，单位化得 对于，解方程组得对应的特征向量，单位化得 对于，解方程组得对应的特征向量，单位化得 做正交变换，则可将二次曲面方程化为标准