多元微分学应用无约束极值与有约束极值

1、一、无约束极值一、无约束极值二、条件极值二、条件极值上一页上一页下一页下一页返回返回实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每实例：某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价瓶进价1元，外地牌子每瓶进价元，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖计，如果本地牌子的每瓶卖 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶卖每瓶卖 元，则每天可卖出元，则每天可卖出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益为每天的收

2、益为 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求二元函数的最大值求最大收益即为求二元函数的最大值.问题的提出上一页上一页下一页下一页返回返回的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放一、无约束极值上一页上一页下一页下一页返回返回 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内的某邻域内有定义，对于该邻域内异于有定义，对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式若满足不等式),(),(00yxfyxf ，则称函数，则称函数在在),(00yx有 极 大 值 ； 若 满 足 不 等 式有 极 大 值 ；

3、若 满 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有极有极小值；小值；1 1、二元函数极值的定义、二元函数极值的定义极大值、极小值统称为极值极大值、极小值统称为极值. .使函数取得极值的点称为极值点使函数取得极值的点称为极值点. .上一页上一页下一页下一页返回返回(1)(2)(3)例例1 1处有极小值处有极小值在在函数函数)0 , 0(4322yxz 例例处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 例例处无极值处无极值在在函数函数)0 , 0(xyz 上一页上一页下一页下一页返回返回定理定理 1 1（必要条件）（必要条件）设函数设函数),(

4、yxfz 在点在点),(00yx具有偏导数，且具有偏导数，且在点在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏导数必处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：然为零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、多元函数取得极值的条件、多元函数取得极值的条件不妨设不妨设),(yxfz 在点在点),(00yx处有极大值处有极大值,则则对对于于),(00yx的的某某邻邻域域内内任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,证证上一页上一页下一页下一页返回返回故故当当0yy ，0 xx 时时，有有 ),(0yxf),(00yxf,说明一元函数说明一元函数),(0

5、yxf在在0 xx 处有极大值处有极大值,必必有有 0),(00 yxfx;类类似似地地可可证证 0),(00 yxfy.推广推广 如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxp具有偏导数，则它在具有偏导数，则它在),(000zyxp有极值的必要条有极值的必要条件为件为 0),(000 zyxfx， 0),(000 zyxfy， 0),(000 zyxfz.上一页上一页下一页下一页返回返回例如例如, 点点)0 , 0(是函数是函数xyz 的驻点，的驻点，但但不不是是极极值值点点. 仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函

6、数的的点，均称为函数的驻点驻点.驻点驻点极值点极值点问题：如何判定一个驻点是否为极值点？问题：如何判定一个驻点是否为极值点？定理定理 2 2（充分条件）（充分条件）设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内连续，的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，有一阶及二阶连续偏导数，注意：注意：上一页上一页下一页下一页返回返回又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 ayxfxx ),(00， byxfxy ),(00， cyxfyy ),(00，则则),(yxf在点在点),(00yx处是否取得极值的条件如下：处是否取得极值的条件如下：（1 1）02 bac

7、时具有极值，时具有极值， 当当0 a时有极大值，时有极大值， 当当0 a时有极小值；时有极小值；（2 2）02 bac时没有极值；时没有极值；（3 3）02 bac时可能有极值时可能有极值, ,也可能没有极值，也可能没有极值，还需另作讨论还需另作讨论上一页上一页下一页下一页返回返回例例 4 4 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z确确定定的的函函数数),(yxfz 的的极极值值将方程两边分别对将方程两边分别对yx,求偏导求偏导 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函数数取取极极值值的的必必要要条条件件知知,驻驻点点为为)1, 1( p,将将上上方方程程组组再再分分别

8、别对对yx,求求偏偏导导数数,解解上一页上一页下一页下一页返回返回,21|, 0|,21|zzczbzzapyypxypxx 故故 )2(0)2(122 zzacb,函函数数在在p有有极极值值.将将)1, 1( p代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz,当当21 z时时，041 a,所所以以2)1, 1( fz为为极极小小值值；当当62 z时时，041 a,所以所以6)1, 1( fz为极大值为极大值.上一页上一页下一页下一页返回返回求函数求函数),(yxfz 极值的一般步骤：极值的一般步骤：第第一一步步 解解方方程程组组, 0),( yxfx0),( yxfy求出实数解，得驻点求出实数

9、解，得驻点.第二步第二步 对于每一个驻点对于每一个驻点),(00yx，求出二阶偏导数的值求出二阶偏导数的值 a、b、c.第三步第三步 定出定出2bac 的符号，再判定是否是极值的符号，再判定是否是极值.上一页上一页下一页下一页返回返回求最值的一般方法求最值的一般方法： 将函数在将函数在d d内的所有驻点处的函数值及在内的所有驻点处的函数值及在d d的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值大者即为最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小

10、值极值来求函数的最大值和最小值.3 3、多元函数的最值、多元函数的最值上一页上一页下一页下一页返回返回例例 5 5 求求二二元元函函数数)4(),(2yxyxyxfz 在在直直线线6 yx，x轴轴和和y轴轴所所围围成成的的闭闭区区域域d上上的的最最大大值值与与最最小小值值.解解先先求求函函数数在在d内内的的驻驻点点，xyo6 yxdd如图如图,上一页上一页下一页下一页返回返回解方程组解方程组 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得区区域域d内内唯唯一一驻驻点点)1 , 2(,且且4)1 , 2( f,再再求求),(yxf在在d边边界界上上的的最最值值，

11、在边界在边界0 x和和0 y上上0),( yxf,上一页上一页下一页下一页返回返回在边界在边界6 yx上，即上，即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比较后可知比较后可知4)1 , 2( f为最大值为最大值,64)2 , 4( f为最小值为最小值.xyo6 yxd上一页上一页下一页下一页返回返回例例 6 6 求求122 yxyxz的的最最大大值值和和最最小小值值., 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得驻点得驻

12、点)21,21(和和)21,21( ,解解 由由上一页上一页下一页下一页返回返回即边界上的值为零即边界上的值为零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值为所以最大值为21，最小值为，最小值为21 .因为因为01lim22 yxyxyx无条件极值无条件极值：对自变量除了限制在定义域内对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件外，并无其他条件.上一页上一页下一页下一页返回返回实例：实例： 小王有小王有200元钱，他决定用来购买两元钱，他决定用来购买两种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他种急需物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买购买 张磁盘，张磁盘， 盒录音磁带达到最佳效果，盒

13、录音磁带达到最佳效果，效果函数为效果函数为 设每张磁设每张磁盘盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到最佳效果元以达到最佳效果xyyxyxulnln),( 问题的实质：求问题的实质：求 在条在条件件 下的极值点下的极值点yxyxulnln),( 200108 yx二、条件极值上一页上一页下一页下一页返回返回拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法 要找函数要找函数),(yxfz 在条件在条件0),( yx 下的下的可能极值点，可能极值点，先构造函数先构造函数),(),(),(yxyxfyxf ，其中其中 为某一常数，可由为某一常数，可由 . 0),(, 0),()

14、,(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的极值点的坐标就是可能的极值点的坐标.条件极值条件极值：对自变量有附加条件的极值：对自变量有附加条件的极值上一页上一页下一页下一页返回返回拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数要找函数),(tzyxfu 在条件在条件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的极值，下的极值， 先构造函数先构造函数 ),(),(tzyxftzyxf ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均为常数，可由均为常数，可由 偏导数为零及条件解出偏导

15、数为零及条件解出tzyx,，即得极值点的坐标，即得极值点的坐标.上一页上一页下一页下一页返回返回例例 7 7 将正数将正数 12 分成三个正数分成三个正数zyx,之和之和 使得使得zyxu23 为最大为最大.解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxf , 120020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx 解解得得唯唯一一驻驻点点)2 , 4 , 6(，.691224623max u则则故最大值为故最大值为上一页上一页下一页下一页返回返回例例 8 8 在在第第一一卦卦限限内内作作椭椭球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面与与三三个个坐坐标标面面

16、所所围围成成的的四四面面体体体体积积最最小小，求求切切点点坐坐标标.解解设设),(000zyxp为为椭椭球球面面上上一一点点,令令1),(222222 czbyaxzyxf,则则202|axfpx ， 202|byfpy ， 202|czfpz 过过),(000zyxp的切平面方程为的切平面方程为上一页上一页下一页下一页返回返回 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化简为化简为 1202020 czzbyyaxx,该切平面在三个轴上的截距各为该切平面在三个轴上的截距各为 02xax ，02yby ，02zcz ,所所围围四四面面体体的的体体积积 000222661z

17、yxcbaxyzv ,上一页上一页下一页下一页返回返回在条件在条件1220220220 czbyax下求下求 v 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxg 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxgggzyx上一页上一页下一页下一页返回返回当当切切点点坐坐标标为为(3a，3b，3c)时时,四面体的体积最小四面体的体积最小abcv23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz

18、 上一页上一页下一页下一页返回返回多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法（取得极值的必要条件、充分条件）（取得极值的必要条件、充分条件）多元函数的最值多元函数的最值四、小结上一页上一页下一页下一页返回返回思考题思考题 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx点均取得点均取得极值， 则极值， 则),(yxf在点在点),(00yx是否也取得极值？是否也取得极值？上一页上一页下一页下一页返回返回思考题解答思考题解答不是不是.例例如如 22),(yxyxf ,当当0 x时时，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取极极大大值值;当当0 y时，时，2)0 ,(xxf 在

19、在)0 , 0(取极小值取极小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不取极值不取极值.上一页上一页下一页下一页返回返回一、一、 填空题填空题: :1 1、 函数函数)4)(6(),(22yyxxyxf 在在_点取点取得极得极_值为值为_._.2 2、 函数函数xyz 在附加条件在附加条件1 yx下的极下的极_值值为为_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所确定的所确定的函数函数),(yxfz 的极大值是的极大值是_,_,极小值极小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 点点 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直线线的

20、的距距离离平平方方之之和和为为最最小小. .三三、 求求内内接接于于半半径径为为a的的球球且且有有最最大大体体积积的的长长方方体体. .练练 习习 题题上一页上一页下一页下一页返回返回四、四、 在第一卦限内作球面在第一卦限内作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小, ,求求切点的坐标切点的坐标. .上一页上一页下一页下一页返回返回一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、当当长长