天津理工大学大学物理：静电场

1、1122122112erqqkf库仑定律内容库仑定律内容 在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其在真空中，两个静止的点电荷之间的相互作用力，其大小与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的大小与点电荷电量的乘积成正比，与两点电荷之间距离的平方成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷平方成反比，作用力在两点电荷之间的连线上，同号电荷互相排斥，异号电荷互相吸引。互相排斥，异号电荷互相吸引。121212/rre表示单位矢量表示单位矢量库仑力满足牛顿第三定律库仑力满足牛顿第三定律1221ff2041k式中比例系数式中比例系数212120mnc1085. 8122122101241er

2、qqf所谓所谓点电荷点电荷就是相互之间距离远大于其本身线度的带电体。就是相互之间距离远大于其本身线度的带电体。122122112erqqkf真空中的介电常数真空中的介电常数3 +2+4+6-2pfq电场强度电场强度 electric field intensity 按照库仑定律，在电场中的任一固定点按照库仑定律，在电场中的任一固定点p，试验电，试验电荷受到的作用力是和试验电荷的电量成正比的。如果把荷受到的作用力是和试验电荷的电量成正比的。如果把试验电荷的电量增大到试验电荷的电量增大到2、3、4n倍（但仍满足试验电倍（但仍满足试验电荷条件），将看到同一地点的荷条件），将看到同一地点的f也增大到也

3、增大到2、3、4n倍，倍，而力的方向不变。若把而力的方向不变。若把q0换成等量异号电荷，则力的大换成等量异号电荷，则力的大小不变方向反转。因此对于电场中的固定点来说，比值小不变方向反转。因此对于电场中的固定点来说，比值f/ q0 是一无论大小和方向都与试验电荷无关的矢量，是一无论大小和方向都与试验电荷无关的矢量，它是反映电场本身性质的，把它定义为电场强度，即它是反映电场本身性质的，把它定义为电场强度，即erqqkf200qfe 4 电场中某点的电场强度在数值上等于位电场中某点的电场强度在数值上等于位于该点的单位正试验电荷（于该点的单位正试验电荷（q q0 0= =1 1）所受的电）所受的电场力

4、。电场强度的方向与电场力的方向一致场力。电场强度的方向与电场力的方向一致（当（当q q0 0为正值时）。为正值时）。单位：单位：n.c-1或或v.m-1 电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否电场强度是电场的属性，与试验电荷的存在与否无关，并不因无试验电荷而不存在，只是由试验电荷无关，并不因无试验电荷而不存在，只是由试验电荷来反映。来反映。0qfe 5电场电场 电场强度电场强度 凡有电荷的地方，四周就存在着电场，即凡有电荷的地方，四周就存在着电场，即任何电荷都任何电荷都在自己周围的空间激发电场在自己周围的空间激发电场，而电场的基本性质是，它对，而电场的基本性质是，它对处在其中的任何其它电荷

5、都有作用力，称为处在其中的任何其它电荷都有作用力，称为电场力电场力。因此。因此电荷与电荷之间是通过电场发生相互作用的。电荷与电荷之间是通过电场发生相互作用的。0qfe 6 0+qrpq0e点电荷电场电场中的场强点电荷电场电场中的场强 在真空中，点电荷在真空中，点电荷q放在坐标原点，试验电荷放在放在坐标原点，试验电荷放在r 处，由库仑定律可知试验电荷受到的处，由库仑定律可知试验电荷受到的电场力电场力为为rerqqf2004点电荷场强公式点电荷场强公式rerqqfe2004q0，电场强度，电场强度e与与er同向同向q0，电场强度，电场强度e与与er反向反向。7rerqqfe2004说明：说明：(1

6、)点电荷电场是非均匀电场；点电荷电场是非均匀电场；(2)点电荷电场具有球对称性；点电荷电场具有球对称性；(3)e与与r2成反比，当成反比，当r时，时，e0。(4)若若r0，则，则e，这是不可能的。对于距离点电荷，这是不可能的。对于距离点电荷太近的点就需要考虑点电荷的大小和形状，就不能再太近的点就需要考虑点电荷的大小和形状，就不能再把它看作点电荷了。把它看作点电荷了。+-8场强迭加原理场强迭加原理 电场强度是矢量，它服从于电场强度是矢量，它服从于矢量迭加原理。即如果我们以矢量迭加原理。即如果我们以nfff21,分别表示点电荷分别表示点电荷q1 、 q2 、 qn单独存在时电场施于空间同一单独存在

7、时电场施于空间同一点试验电荷点试验电荷q0的力，则它们同时存在时，电场施于该点试验电的力，则它们同时存在时，电场施于该点试验电荷的力为荷的力为nffff21将此式除以将此式除以q0002010qfqfqfqfn即得到即得到neeee21 电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在电场中任一点处的总场强等于各个点电荷单独存在时在该点各自产生的场强的矢量和。这就是该点各自产生的场强的矢量和。这就是场强迭加原理场强迭加原理。9 同理，在点电荷系同理，在点电荷系q1,q2,qn的电场中，在的电场中，在p点放一试点放一试验电荷验电荷q0，根据库仑力的叠加原理，可知试验电荷受到的，根据库仑力的叠加原

8、理，可知试验电荷受到的作用力为作用力为iiiierqqff2004p点的电场强度点的电场强度iiiierqqfe2004点电荷系电场中的场强点电荷系电场中的场强10体密度定义：体密度定义：单位单位体积内的电荷体积内的电荷dvdqvqve0lim面密度定义：面密度定义：单位单位面积上的电荷面积上的电荷dsdqsqse0lim线密度定义：线密度定义：单位单位长度上的电荷长度上的电荷dldqlqle0lim电荷的连续分布电荷的连续分布 从微观结构看，电荷是集中在一个个的微观粒子（如电子、从微观结构看，电荷是集中在一个个的微观粒子（如电子、原子核等）上边。但从宏观效果看，人们往往把电荷看成是连原子核等

9、）上边。但从宏观效果看，人们往往把电荷看成是连续分布的。根据不同情况，有时把电荷看成在一定体积内连续续分布的。根据不同情况，有时把电荷看成在一定体积内连续分布（体分布）；有时把电荷看成是在一定曲面上连续分布的分布（体分布）；有时把电荷看成是在一定曲面上连续分布的（面分布）；有时又把电荷看成是在一条曲线上连续分布（线（面分布）；有时又把电荷看成是在一条曲线上连续分布（线分布）等等。与此相应的就需要引入电荷的分布）等等。与此相应的就需要引入电荷的体密度、面密度、体密度、面密度、线密度线密度等概念。等概念。11dqpr任意带电体电场中的场强任意带电体电场中的场强 对于任意带电体来讲，它的全部电荷分布

10、，都可以被看对于任意带电体来讲，它的全部电荷分布，都可以被看作是许多极小的电荷元作是许多极小的电荷元dq的集合。在电场中任一点的集合。在电场中任一点p处，每一处，每一个电荷元在个电荷元在p点产生的场强都可用点电荷的场强公式计算点产生的场强都可用点电荷的场强公式计算rerdqed204 要计算带电体的全部电荷分布在要计算带电体的全部电荷分布在p点产生的场强，就要对点产生的场强，就要对所有的电荷元产生的场强求矢量和，由于电荷可以看成是连续所有的电荷元产生的场强求矢量和，由于电荷可以看成是连续分布的，所以可用积分代替求和，即分布的，所以可用积分代替求和，即rerdqede204此关系式无论对于体分布

11、、面分布还是线分布的带电体都可应此关系式无论对于体分布、面分布还是线分布的带电体都可应用，只不过在具体应用时把电荷元用，只不过在具体应用时把电荷元dq带入相应的量就可以了。带入相应的量就可以了。12电场强度的计算电场强度的计算点电荷系：点电荷系：riierqee204rerdqede204计算的步骤大致如下：计算的步骤大致如下：任取电荷元任取电荷元dq，写出，写出dq在待求点的场强的表达式；在待求点的场强的表达式；选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式；选取适当的坐标系，将场强的表达式分解为标量表示式；进行积分计算；进行积分计算；写出总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小写出

12、总的电场强度的矢量表达式，或求出电场强度的大小和方向；和方向；在计算过程中，可以根据对称性来简化计算过程。在计算过程中，可以根据对称性来简化计算过程。带电体带电体dqpr13xdlrdexdeydexr0p例例1、 均匀带电圆环轴线上一点的场强。均匀带电圆环轴线上一点的场强。设正电荷设正电荷q均匀地分布均匀地分布在半径为在半径为r的圆环上。计算在环的轴线任一点的圆环上。计算在环的轴线任一点p的电场强度。的电场强度。首先在环上任取一长度元首先在环上任取一长度元dl，所带电量为，所带电量为线密度线密度dldqrqlq2dllqdlrqdldq214xdlrdexdeydexr0pdldqrq2dl

13、rqdldq2设设p点与点与dq的距离为的距离为r， dq 在在p点产生的场强大小为点产生的场强大小为204rdqderrqdl242015xdlrdexdeydexr0p 各电荷元在各电荷元在p点产生的场强，方向各不相同。根据其对称点产生的场强，方向各不相同。根据其对称性，各电荷元的场强在垂直于性，各电荷元的场强在垂直于x轴的那些分矢量轴的那些分矢量dey相互抵消，相互抵消，所以所以p点的合场强是平行于点的合场强是平行于x轴的那些分矢量轴的那些分矢量dex的总和的总和cos24cos20rrqdldedeellx此积分要遍布整个圆环，因此积分要遍布整个圆环，因r与与 都不是变量，因此有都不是

14、变量，因此有ldlrqre2cos4120rrqr22cos4120204cosrq16xdlrdexdeydexr0p204cosrqe因因rxcos222rxr得到得到2322030)(44rxqxrqxe17xdlrdexdeydexr0p23220)(4rxqxe环心处，环心处，x=0，e=0极远处，极远处，xr32322)(xrx则有则有203044xqxqxe 此时，环上电此时，环上电荷可视为全部集中荷可视为全部集中在环心处的一个点在环心处的一个点电荷。电荷。18例例2 2、均匀带电圆盘轴线上一点的场强。设圆盘带电量为、均匀带电圆盘轴线上一点的场强。设圆盘带电量为q q，半，半径为

15、径为r r。解：带电圆盘可看成许多同心的圆环组成，取一半径为解：带电圆盘可看成许多同心的圆环组成，取一半径为r，宽，宽度为度为dr 的细圆环带电量的细圆环带电量drrdq2圆环面积圆环面积由前题知，此带电圆环的场强由前题知，此带电圆环的场强23220)(4xrxdqderxxpedr0dr19rxxpedr0dr由于各带电圆环在由于各带电圆环在p点产生的场点产生的场强方向相同，均指向强方向相同，均指向x轴的正方轴的正方向，所以总场强就是各细圆环在向，所以总场强就是各细圆环在p点产生的场强的矢量和点产生的场强的矢量和dee e的方向垂的方向垂直于盘面并沿直于盘面并沿x轴轴的正方向。的正方向。dr

16、rdq223220)(4rxxdq23220)(42rxrdrxrrxrxdx02322220)(2)(2)1 (2220rxx23220)(4xrxdqde20 xxpedrr0dr)1 (2220rxxe 如果如果rx，即对于，即对于p点来说，均匀带电圆盘可视为无点来说，均匀带电圆盘可视为无限大时，限大时，p点的场强点的场强02e这表明在无限大这表明在无限大均匀带电平面的电场均匀带电平面的电场中各点场强均相等，中各点场强均相等，方向都与平面相垂直，方向都与平面相垂直，正负由电荷的符号决正负由电荷的符号决定。即此电场为定。即此电场为匀强匀强电场电场。21例例3 均匀带电直线外任一点场强。均匀

17、带电直线外任一点场强。 设直线长设直线长l，带电总量，带电总量q，电，电荷线密度为荷线密度为 ，直线外一点，直线外一点p离开直离开直线的垂直距离为线的垂直距离为a，p点和直线两端点和直线两端的连线与直线之间的夹角分别为的连线与直线之间的夹角分别为 1和和 2 。 以以0为坐标原点，取坐标为坐标原点，取坐标如图。在直线上任一点处取长如图。在直线上任一点处取长度元度元dl，此点到原点的距离是，此点到原点的距离是l，dl上所带电量是上所带电量是dq。0dlxar12 /2lyp 由于电荷是连续分布的，可由于电荷是连续分布的，可把整个电荷分布划分成许多电荷把整个电荷分布划分成许多电荷元，先求出每一电荷

18、元在给定点元，先求出每一电荷元在给定点p产生的场强，再通过积分再求出产生的场强，再通过积分再求出总场强。总场强。22带电直线的线密度带电直线的线密度dldqlq 设设dl 到到p点的距离是点的距离是r，可知，可知dq 在在p点处产生的场强点处产生的场强de 的大小为的大小为202044rdlrdqde由图中可看出由图中可看出atgatgl)2(微分后得到微分后得到dadl2csc而而222222ctgaalar0dlxar12 /2lyedxedyed2222csc)1 (actga230dlxar12 /2lyedxedyed由于由于de与与x之间的夹角是之间的夹角是 ，所以，所以de沿沿x

19、轴和轴和y轴的两个分量为轴的两个分量为cosdedexdadl2csc222cscar coscsccsc42220adada04coscos420rdl204rdlde240dlxar12 /2lyedxedyedsindedeydadl2csc222cscar 204rdldesin420rdlda04sin25将此两式积分，就得到将此两式积分，就得到xxdeeyydee)sin(sin4120a21cos40dadadex04cosdadey04sin21sin40da)cos(cos4210a可由可由ex和和ey来确定出来确定出e的大小和方向。的大小和方向。22yxeee26adlxr

20、120 /2lyedxedyed 特殊情况下，如果此带电直特殊情况下，如果此带电直线是无限长的，那么由线是无限长的，那么由 10， 2 ，可得到，可得到aeeeyx020)sin(sin4120aex)cos(cos4210aey27三三 高斯定理高斯定理 gauss theorem电力线电力线 line of electric force 为形象地了解电场分为形象地了解电场分布，通常引入电力线的概布，通常引入电力线的概念。利用电力线可对电场念。利用电力线可对电场中各处场强的分布情况给中各处场强的分布情况给出较直观的图像。出较直观的图像。 前面讲过电场中的前面讲过电场中的每一点的场强每一点的场

21、强e都有一定都有一定的方向，使这些的方向，使这些曲线上曲线上的每一点切线方向都与的每一点切线方向都与该点处的场强该点处的场强e的方向一的方向一致致，这些曲线就叫做电，这些曲线就叫做电力线。力线。abcaebece28电力线的数密度电力线的数密度 为使电力线不只是表示出电场中场强的方向的分布情况，为使电力线不只是表示出电场中场强的方向的分布情况，且表示出场强的大小的分布情况，可引入电力线数密度的概念。且表示出场强的大小的分布情况，可引入电力线数密度的概念。在电场中任取一小面积元在电场中任取一小面积元 s与该点场强方向垂直。设穿过与该点场强方向垂直。设穿过 s的电力线有的电力线有 n根，则比值根，

22、则比值 n/ s就叫做该点电力线的数密度。就叫做该点电力线的数密度。它的意义就是它的意义就是该点附近单位垂直截面的电力线根数该点附近单位垂直截面的电力线根数。在作电力。在作电力线图时总是使电场中任一点的电力线数密度与该点场强大小成线图时总是使电场中任一点的电力线数密度与该点场强大小成正比，即正比，即sesne 电力线稀疏的地方表示场强小，电力线稠密的地方表示电力线稀疏的地方表示场强小，电力线稠密的地方表示场强大。场强大。29 电力线可以借助于一些实验方法显示出来，例如在水电力线可以借助于一些实验方法显示出来，例如在水平玻璃板上撒上一些细小的石膏颗粒，或在油上浮些草粒，平玻璃板上撒上一些细小的石

23、膏颗粒，或在油上浮些草粒，它们就会沿着电力线排列起来。下面给出的是几种常见的电它们就会沿着电力线排列起来。下面给出的是几种常见的电场的电力线图。场的电力线图。303132电力线的性质电力线的性质电力线总是起始于正电荷（或来自无穷远处），终止于负电电力线总是起始于正电荷（或来自无穷远处），终止于负电荷（或伸向无穷远），但不会在没有电荷的地方中断。荷（或伸向无穷远），但不会在没有电荷的地方中断。在没有点电荷的空间里，任何两条电力线都不会相交。在没有点电荷的空间里，任何两条电力线都不会相交。电力线不会形成闭合曲线。电力线不会形成闭合曲线。 注意：描绘电力线的目的是在于能形象地反映电场中场注意：描绘电

24、力线的目的是在于能形象地反映电场中场强的分布情况，并非电场中真有这些实在的线。强的分布情况，并非电场中真有这些实在的线。33电通量电通量 利用电力线的图像有助于对电通量的理解。在作电力线利用电力线的图像有助于对电通量的理解。在作电力线图时，应使电场中任一点的电力线数密度图时，应使电场中任一点的电力线数密度 n/ s与该点场强大与该点场强大小成正比，即小成正比，即snees这里这里 s与与e垂直。若规定其比例系数为垂直。若规定其比例系数为1，则可写成下列等式，则可写成下列等式sne或或sen34enss 当所取的面元当所取的面元 s 与该处场强与该处场强e不垂直时，则需考虑面不垂直时，则需考虑面

25、元元 s在垂直于在垂直于e方向上的投影面积方向上的投影面积 s。设。设n为面元法线方为面元法线方向的单位矢量，向的单位矢量，n与与e间夹角为间夹角为 ，于是有，于是有cosss由图中可看出，通过由图中可看出，通过 s和和 s的电力线根数相等。而通过的电力线根数相等。而通过 s的电力线根数为的电力线根数为cossese所以通过倾斜面元所以通过倾斜面元 s的电力线的电力线根数为根数为cossensen35cossen 上式右方的物理量称为电通量：通过一面元上式右方的物理量称为电通量：通过一面元 s的电的电通量定义为该点场强通量定义为该点场强e与与 s在垂直于场强方向的投影面在垂直于场强方向的投影面

26、积积 s = s cos 的乘积。的乘积。今后，用今后，用 e表示通过表示通过 s的电通量，即的电通量，即cossee 为锐角时，为锐角时，cos 0， e为正；为正； 为钝角时，为钝角时，cos 0 ， e为负；为负； = /2时，时，cos = 0，e =0。36 对于非无限小的曲面来说，曲面上场强的大小和方向一对于非无限小的曲面来说，曲面上场强的大小和方向一般是逐点变化的，要计算电通量，就需要把这曲面分割成许多般是逐点变化的，要计算电通量，就需要把这曲面分割成许多小面元小面元 s ，并按前式计算通过每一个小面元的电通量，并按前式计算通过每一个小面元的电通量 e后后再迭加起来，得到通过整个

27、曲面再迭加起来，得到通过整个曲面s的总通量的总通量 e 。用数学公式来。用数学公式来表示则有表示则有sseesecos 当所有的面元当所有的面元 s 趋于无趋于无限小时，上式的求和即化为限小时，上式的求和即化为沿曲面的积分沿曲面的积分sedsecos37enn 一曲面有正反两面，与此对应，它一曲面有正反两面，与此对应，它的法线矢量也有正、反两种取法。对于的法线矢量也有正、反两种取法。对于单个曲面或不闭合的曲面，法线矢量的单个曲面或不闭合的曲面，法线矢量的正向取在朝哪一面无关紧要。但闭合曲正向取在朝哪一面无关紧要。但闭合曲面则把整个空间划分成内、外两部分，面则把整个空间划分成内、外两部分，其法线

28、矢量正方向的两种取向就有了特其法线矢量正方向的两种取向就有了特定的含义：定的含义：指向曲面外部空间的叫外法指向曲面外部空间的叫外法线矢量，指向曲面内部空间的叫内法线线矢量，指向曲面内部空间的叫内法线矢量矢量。对于一闭合曲面，有对于一闭合曲面，有sedsecoscossee38enn 指向曲面外部空间的叫外法线矢量，指向曲面外部空间的叫外法线矢量，指向曲面内部空间的叫内法线矢量指向曲面内部空间的叫内法线矢量。cossee规定：对于闭合曲面，总是取它的外法线矢量为正。规定：对于闭合曲面，总是取它的外法线矢量为正。在电力线穿出曲面的地方，在电力线穿出曲面的地方， 90o，cos 0, e0,在电力线

29、进入曲面的地方，在电力线进入曲面的地方， 90o，cos 0, e 0。 sedsecos39高斯定理的表述高斯定理的表述:通过一个任意闭合曲面通过一个任意闭合曲面s的电场的电场强度的通量强度的通量 e ，等于该曲面所包，等于该曲面所包围的所有电荷电量的代数和围的所有电荷电量的代数和q除除以以0，与闭合面外的电荷无关。，与闭合面外的电荷无关。用公式来表示，则有用公式来表示，则有)(01cos内siseqdse这闭合曲面这闭合曲面s习惯上叫做高斯面。习惯上叫做高斯面。40高斯定理常写成矢量形式，令高斯定理常写成矢量形式，令dsnsd面元矢量面元矢量单位法线矢量单位法线矢量电通量可写电通量可写成成

30、sdedsedecos高斯定理可写成高斯定理可写成)(01内siseqsde41高斯定理的应用高斯定理的应用 下面我们举一些应用高斯定理求场强的例题。在使下面我们举一些应用高斯定理求场强的例题。在使用高斯定理时我们一定要注意，高斯定理中的用高斯定理时我们一定要注意，高斯定理中的e是带电是带电体系中所有电荷（无论是在你所取的高斯面内还是高斯体系中所有电荷（无论是在你所取的高斯面内还是高斯面外）产生的总场强，而面外）产生的总场强，而q只是对高斯面内的电荷求和。只是对高斯面内的电荷求和。这是因为高斯面外的电荷对总通量这是因为高斯面外的电荷对总通量 e没有贡献，但不是没有贡献，但不是对总的场强没有贡献

31、。对总的场强没有贡献。)(01内siseqsde 能够直接运用高斯定理求出场强的情形，都必须具有能够直接运用高斯定理求出场强的情形，都必须具有一定的对称性。所以在下面的几个例子里，我们首先要作一定的对称性。所以在下面的几个例子里，我们首先要作对称性分析。解题中要求我们特别注意掌握的也正是这个对称性分析。解题中要求我们特别注意掌握的也正是这个问题。问题。42均匀带正电球壳内外的场强（半径均匀带正电球壳内外的场强（半径r，带电，带电q） 因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷因为球壳很薄，其厚度可忽略不计，电荷q近似地近似地认为均匀分布在球面上。由于电荷分布是球对称的，所认为均匀分布在球面上。由于电

32、荷分布是球对称的，所以电场强度的分布也是球对称的。因此在空间中任意点以电场强度的分布也是球对称的。因此在空间中任意点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的电场强度的方向沿径矢，大小则依赖于从球心到场点的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相的距离。即在同一球面上的各点的电场强度的大小是相等的。等的。根据电场球对称性的特点，以球心到场点根据电场球对称性的特点，以球心到场点的距离为半径作一同心球面，则通过此球的距离为半径作一同心球面，则通过此球面的电通量为面的电通量为erdseedssdessse24qrr043 上述分析对于球面内外的场点都是适用的，所以上上述分析对于球面内外

33、的场点都是适用的，所以上式对于比球壳小的高斯面也是适用的。式对于比球壳小的高斯面也是适用的。rr0qrrr024qere204rqe 均匀带电球壳在外部空间所均匀带电球壳在外部空间所产生的电场，与其上电荷全部集产生的电场，与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样；其中在球心时产生的电场一样；其球壳内部空间的场强处处为零。球壳内部空间的场强处处为零。rr042ere0e44rr0qr0er 可以画出场强的大可以画出场强的大小随半径小随半径r的变化情况，的变化情况，由图可看出，场强在球由图可看出，场强在球壳上（壳上（r=r）的数值有）的数值有个突变。个突变。45 均匀带正电球体内外的场强分布。球体

34、带电均匀带正电球体内外的场强分布。球体带电q，半径为，半径为r。 在此例里，电场的分布也是球对称的。我们可把此带电球在此例里，电场的分布也是球对称的。我们可把此带电球体分割成一层层的同心带电球壳，这样就可以利用上题的结果了。体分割成一层层的同心带电球壳，这样就可以利用上题的结果了。 如图，取高斯面为同心球面包围球体，如图，取高斯面为同心球面包围球体，即场点即场点p在球外，这时各层球壳上的电荷在球外，这时各层球壳上的电荷好象全部集中在球心一样，从而有好象全部集中在球心一样，从而有204rqe外或或0204rrqe外rrq0p 如果场点如果场点p在球内，则所有半径大于在球内，则所有半径大于r=0p

35、的那些球壳上的电荷对的那些球壳上的电荷对p都不起作用，都不起作用，只有半径小于只有半径小于r的球壳对的球壳对p点有贡献，而它点有贡献，而它们上面的全部电荷们上面的全部电荷q又好像集中在球心处又好像集中在球心处一样，从而有一样，从而有204rqe内0rrqp460rrqp半径为半径为r的高斯面包围的体积是的高斯面包围的体积是334r其中的电量其中的电量33333433434rrqrqrrqe场强场强302044rqrrqe内下面来计算下面来计算q ，因为，因为带电球体的体积为带电球体的体积为故电荷体密度为故电荷体密度为334334rqrqe334r204rqe内470rrqp0rre 球体内外球

36、体内外e的变化的变化情况如图。可以看出在情况如图。可以看出在球体内部球体内部e与与r成正比地成正比地增加；在增加；在r=r处，球体处，球体内外场强大小趋于同一内外场强大小趋于同一数值，即场强是连续的，数值，即场强是连续的，并且数值最大。并且数值最大。rrrr204rqe外304rqre内48 均匀带正电的无限长圆柱面的场强（半径均匀带正电的无限长圆柱面的场强（半径r，电荷，电荷面密度面密度 ）。）。 可以看出，这个体系具可以看出，这个体系具有轴对称性，即在任何垂直有轴对称性，即在任何垂直于圆柱面的平面内的同心圆于圆柱面的平面内的同心圆周上场强的大小都一样，而周上场强的大小都一样，而且由于圆柱面

37、是无限长，只且由于圆柱面是无限长，只要是离开轴线的距离比柱面要是离开轴线的距离比柱面的长度小得多的地方，这个的长度小得多的地方，这个带电圆柱面所产生的电场的带电圆柱面所产生的电场的方向都垂直于圆柱面，向外方向都垂直于圆柱面，向外呈辐射状。只要保持呈辐射状。只要保持r的大小的大小不变，场强的数值也不变。不变，场强的数值也不变。rr49rrl 根据上面的分析，高斯面应取一圆柱面。设此面长为根据上面的分析，高斯面应取一圆柱面。设此面长为l，半，半径为径为r，轴线和无限长圆柱面的轴线重合，上下两底用垂直于柱，轴线和无限长圆柱面的轴线重合，上下两底用垂直于柱面的平面封口，形成闭合面。这样通过这闭合面的电

38、通量为面的平面封口，形成闭合面。这样通过这闭合面的电通量为下底上底侧面dsedsedsedsesecoscoscoscos在上下两底，在上下两底， = /2，cos =0。即通过上。即通过上下两底的电通量为零。在侧面上，各点下两底的电通量为零。在侧面上，各点e的大小相等，方向处处与面正交。且的大小相等，方向处处与面正交。且e是是常量，常量， cos =1。所以有。所以有rledsedsee2cos侧面侧面50rrlrledsedsee2cos侧面侧面这闭合面只包围长度这闭合面只包围长度l的一段圆柱面，其中的电荷是的一段圆柱面，其中的电荷是2 rl ，所所以按高斯定理有以按高斯定理有0022rl

39、qrle即即rre0如果我们在圆柱面内作同样的分析，由如果我们在圆柱面内作同样的分析，由于其内部不包围电荷，因此圆柱面内部于其内部不包围电荷，因此圆柱面内部的场强等于零。即的场强等于零。即0内errl51设圆柱面单位长度设圆柱面单位长度上的电荷为上的电荷为 ，则有，则有rdlrdldldsdsdqdldq22r2即即代入到代入到rre0得到得到re02 由此可见，无限长均匀带电圆柱面对由此可见，无限长均匀带电圆柱面对柱外各点的作用，就像所有电荷全部集中柱外各点的作用，就像所有电荷全部集中在其轴线上的均匀带电直线一样。在其轴线上的均匀带电直线一样。rrlrrl或或2r52 无限大均匀带正电平面薄

40、板的电场（电荷面密度无限大均匀带正电平面薄板的电场（电荷面密度 ）sssee 对于此例的对称性分析和上题有相似之处，可以看出：对于此例的对称性分析和上题有相似之处，可以看出：两侧距平板等远的点场强大小一样，方向处处与平板垂直。两侧距平板等远的点场强大小一样，方向处处与平板垂直。根据场强的特点，我们可以取高斯面如图：通过平面上一小根据场强的特点，我们可以取高斯面如图：通过平面上一小面积面积 s，取一封闭柱面，取一封闭柱面s，柱面的轴线和平面正交，两底面，柱面的轴线和平面正交，两底面的面积都等于的面积都等于 s，按高斯定理有，按高斯定理有ee+ s(b)53021coscoscoscosisqds

41、edsedsedse侧面底底侧面上侧面上 = /2，cos =0。即通过侧面的电通量是即通过侧面的电通量是零。零。s面内所包围的电荷面内所包围的电荷的代数和的代数和0cos侧面dsesssee n54底面上底面上 =0，cos =1，即，即sesesedsedseedsedsdsedse2coscos212121底底底底底底sssee 12sq因为因为所以所以02sse即即02e5502esssee- 12 如果板上所带的如果板上所带的是负电荷，上式也完是负电荷，上式也完全适用，只是场强方全适用，只是场强方向相反，从两侧指向向相反，从两侧指向平板。平板。56 利用上面的结果，我们也可以求出利用

42、上面的结果，我们也可以求出真空中带等量异号真空中带等量异号电荷的一对无限大平行平面之间的场强。电荷的一对无限大平行平面之间的场强。ab+-按场强迭加原理，有按场强迭加原理，有baeee 由对称性可知，除边缘附近以外由对称性可知，除边缘附近以外e分别为无限大均匀分别为无限大均匀带电平面的场强，场强的方向如图。带电平面的场强，场强的方向如图。两平面之间两平面之间00022baeee两平面外侧两平面外侧0baeee57ab+-两平面之间两平面之间0e两平面外侧两平面外侧0e 两平行平面均匀带有等值异号两平行平面均匀带有等值异号电荷时，如果平面线度远远大于两电荷时，如果平面线度远远大于两平面之间的距离

43、时，除边缘外，电平面之间的距离时，除边缘外，电场全部集中与两平面之间，而且是场全部集中与两平面之间，而且是均匀的。在实验室中我们常用此产均匀的。在实验室中我们常用此产生匀强电场。生匀强电场。581. 一一“无限大无限大”均匀带电平面均匀带电平面a的附近放一与它平行的的附近放一与它平行的“无限大无限大”均匀带电平面均匀带电平面b，如图所示。已知，如图所示。已知a上的电荷面密度为上的电荷面密度为 ，b b上的上的电荷面密度为电荷面密度为2 ，如果设向右为正方向，则两平面之间和平面，如果设向右为正方向，则两平面之间和平面b外的电场强度分别为外的电场强度分别为00023222e0002222e0000

44、00002,)(23,2)(,)(2,)(dcba2ab两平面之间两平面之间 c平面平面b外外592 在边长为在边长为b的正方形中心处放置一电荷为的正方形中心处放置一电荷为q的点电荷，则正的点电荷，则正方形顶角处的电场强度大小为方形顶角处的电场强度大小为20202020)(3)(2)(4)(bqdbqcbqbbqaqb245cos20bbx2020202424bqbqxqe b606. 一均匀电场一均匀电场e e的方向与的方向与x 轴同向，如图所示则通过图中半轴同向，如图所示则通过图中半径为径为r 的半球面的电场强度通量为的半球面的电场强度通量为 a.)(.2)(. 2/)(. 0)(222e

45、rdercerba x o e 通过半球面的通量通过半球面的通量与通过圆面的通量相等与通过圆面的通量相等,因此因此 =0.sedsecos0617.如果一高斯面所包围的体积内电荷代数和如果一高斯面所包围的体积内电荷代数和q8.850 10-12c，则可肯定：则可肯定： (a) 高斯面上各点场强均为零高斯面上各点场强均为零 (b) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为1nm2/c (c) 穿过整个高斯面的电场强度通量为穿过整个高斯面的电场强度通量为1nm2/c (d) 以上说法都不对以上说法都不对 ca：即使面内电荷代数和为零，高斯面上：即使面内电荷代数和

46、为零，高斯面上e也不一定处处为零。也不一定处处为零。)(01内siseqsdec：高斯面所包围的体积内电荷代数和：高斯面所包围的体积内电荷代数和q8.85 10-12c ，则，则穿过穿过整个高斯面整个高斯面的电场强度通量为的电场强度通量为1nm2/c 629.9.两个同心均匀带电球面，半径分别为两个同心均匀带电球面，半径分别为ra 和和rb( (ra rb),),所带所带电荷分别为电荷分别为qa和和qb，设某点与球心相距，设某点与球心相距r r，当，当r rb br时时rqdrrqur020440qrpr90rrrdrrqdrrqru203044 rrrqrrrrqe 4 430200qrpr

47、当当rr时时rqrrrq0302248)(91计算电势的方法有两种：计算电势的方法有两种：利用电势的定义式利用电势的定义式baabldeu$要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，要注意参考点的选择，只有电荷分布在有限的空间时，才能选无穷远点的电势为零；才能选无穷远点的电势为零；$积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。积分路径上的电场强度的函数形式要求已知或可求。利用电势的叠加原理利用电势的叠加原理rdqu04$要求电荷的分布区域是已知的；要求电荷的分布区域是已知的；$当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为当电荷分布在有限的区域内，可以选择无穷远点作为电势的零点的；而当

48、激发电场的电荷分布延伸到无穷远电势的零点的；而当激发电场的电荷分布延伸到无穷远时，只能根据具体问题的性质，在场中选择某点为电势时，只能根据具体问题的性质，在场中选择某点为电势的零点。的零点。92六六 电势的图示法电势的图示法 等势面等势面 我们知道，电场的分布可以借助于电力线图形象地我们知道，电场的分布可以借助于电力线图形象地描绘，那么电势的分布是否也可以形象地描绘出来呢？描绘，那么电势的分布是否也可以形象地描绘出来呢？实际上同样可以，这就是等势面图。实际上同样可以，这就是等势面图。 一般说来，静电场中的电势值是逐点变化的，但总有一般说来，静电场中的电势值是逐点变化的，但总有一些点的电势彼此相

49、同，而这些电势值相同的点，又往往处一些点的电势彼此相同，而这些电势值相同的点，又往往处在一定的曲面上。例如，点电荷在一定的曲面上。例如，点电荷q产生的电场中电势为产生的电场中电势为204rqu 电势电势u只与距离只与距离r有关，这就是说，距有关，这就是说，距q等远的点，电势值都相同。等远的点，电势值都相同。pqr93+点电荷e匀强电场带电体 如图，点电荷电场中那些电势相等的点都处在以如图，点电荷电场中那些电势相等的点都处在以q为中心为中心的球面上，我们把这些电势相等的点所组成的平面叫做的球面上，我们把这些电势相等的点所组成的平面叫做等势面等势面.所以点电荷的电场中所以点电荷的电场中,等势面就是

50、一系列以等势面就是一系列以q为中心的同心球面。为中心的同心球面。点电荷电场中的电力线是沿半径方向的一系列直线，很显然这点电荷电场中的电力线是沿半径方向的一系列直线，很显然这些电力线是与等势面处处正交的，电力线的方向指向电势降落些电力线是与等势面处处正交的，电力线的方向指向电势降落的方向。的方向。94纵观各种等势面图，可得出两点结论：纵观各种等势面图，可得出两点结论：静电场中，当电荷沿等势面移动时，电场力不会作功静电场中，当电荷沿等势面移动时，电场力不会作功。这。这是因为是因为)(0baabuuqa而在等势面上，任意两点之间的电势差而在等势面上，任意两点之间的电势差0bauu所以所以0abae9

51、5如图，设一试验电荷如图，设一试验电荷q0沿等势面作一任意元位移沿等势面作一任意元位移dl，于是电，于是电场力作功场力作功q0eld0cos0edlq这里这里q0 、e、dl都不为零所以必然有都不为零所以必然有0cos即即2 这就是说，要使得这就是说，要使得e与等势与等势面上的任意线元面上的任意线元dl都垂直，电场都垂直，电场强度（电力线）与等势面就必须强度（电力线）与等势面就必须处处正交。处处正交。 与电力线相似，从等势面的与电力线相似，从等势面的疏密程度也能表示出电场的强弱。疏密程度也能表示出电场的强弱。等势面较密集的地方场强大，较等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小稀疏的地方场强

52、小。静电场中，等势面与电力线处处正交，静电场中，等势面与电力线处处正交，e的方向指向电势降的方向指向电势降落的方向落的方向。96七七 电场强度与电势梯度之间的关系电场强度与电势梯度之间的关系电势梯度电势梯度 梯度一词，通常指梯度一词，通常指一个物理量的空间变化率一个物理量的空间变化率。用。用数学语言来说，就是这个物理量对空间坐标的微商。数学语言来说，就是这个物理量对空间坐标的微商。 任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电势任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电势u是个标量，它在空间每一点有一定的数值，所以电是个标量，它在空间每一点有一定的数值，所以电势是个标量场。在三维空间里，一个标量场沿不同

53、势是个标量场。在三维空间里，一个标量场沿不同方向的变化率不同。方向的变化率不同。97 在任一静电场中取两个彼此靠得很近的等势面，电势分在任一静电场中取两个彼此靠得很近的等势面，电势分别是别是u和和u+du，并设，并设du 0，即，即2上的电势比上的电势比1高。我们在高。我们在p1点处作等势面点处作等势面1的法线，并规定这法线的正方向指向电势增的法线，并规定这法线的正方向指向电势增加的方向。加的方向。n0表示法线方向的单位矢量；两等势面之间的距表示法线方向的单位矢量；两等势面之间的距离离p1p2用用dn表示，显然表示，显然dn是这两个等势面之间的最短距离。是这两个等势面之间的最短距离。等势面上的

54、其它各点，例如等势面上的其它各点，例如p1点到点到p3点的距离都恒大于点的距离都恒大于dn 。nd12ldele0nuu+dup1p2p3由图可知由图可知cosdldn 即即cosdndl 9812ldelend0nuu+dup1p2p3沿沿dl方向的电势增加率是方向的电势增加率是cosdndudldu其中其中du/dn是沿是沿n方向上的电势增加率。上式说明方向上的电势增加率。上式说明dndudldu 沿沿n0方向上的电势增加率大于沿其方向上的电势增加率大于沿其它任意方向上的电势增加率。它任意方向上的电势增加率。此式实际上是表明了一个矢量的投影此式实际上是表明了一个矢量的投影和它的绝对值之间的

55、关系：和它的绝对值之间的关系：dl方向上方向上的电势增加率的电势增加率du/dl就可以看作是矢量就可以看作是矢量du/dn在在dl方向上的分量，此矢量我们方向上的分量，此矢量我们就称它为就称它为p1点处的电势梯度矢量，通点处的电势梯度矢量，通常用常用gradu表示表示(gradient)。 电场中某点的电势梯度矢量，在电场中某点的电势梯度矢量，在方向上与该点处电势增加率最大的方方向上与该点处电势增加率最大的方向相同，在量值上等于沿该方向上的向相同，在量值上等于沿该方向上的电势增加率。电势增加率。99电场强度与电势梯度之间的关系电场强度与电势梯度之间的关系12ldelend0nuu+dup1p2

56、p3 由于电力线的方向亦即电场强度的方向恒与等势面由于电力线的方向亦即电场强度的方向恒与等势面正交，而且指向电势降落的方向，所以正交，而且指向电势降落的方向，所以p1点的电场强度矢点的电场强度矢量量e的方向应与的方向应与n0的方向相反。当单位电荷从电势为的方向相反。当单位电荷从电势为u的的p1点沿法线方向移到电势为点沿法线方向移到电势为u+du的的p2点时，应用电场力对点时，应用电场力对单位正电荷所作的功等于起点和终点之间的电势差的关系单位正电荷所作的功等于起点和终点之间的电势差的关系babaabuuldea知知duduuudnen)(所以有所以有dnduen式中的负号说明式中的负号说明e与与

57、n0的方向相反。的方向相反。100gradundndue0此式说明：此式说明：在电场中各点的电场在电场中各点的电场强度等于该点电势梯度的负值强度等于该点电势梯度的负值。如果对上式在任意方向如果对上式在任意方向dl上取分量，就有上取分量，就有dldudndugraduelcos)(亦即电场强度在亦即电场强度在dl方向上的分量方向上的分量el应等于电势梯度矢量在应等于电势梯度矢量在dl方向方向上的分量的负值。由此可知，在直角坐标系中场强上的分量的负值。由此可知，在直角坐标系中场强e沿沿x、y、z三个方向上的分量分别为三个方向上的分量分别为zueyuexuezyx, 可以看出，电势梯度的单位是伏特可

58、以看出，电势梯度的单位是伏特米米-1（vm-1），），所以所以场强也常用这个单位。场强也常用这个单位。10112.如图所示，在点电荷如图所示，在点电荷q的电场中，在以的电场中，在以q为中心、为中心、r为半径为半径的球面上，若选取的球面上，若选取p处作为电势零点，则与点电荷处作为电势零点，则与点电荷q距离为距离为r的的p点的电势为点的电势为 b.4)(.)(4)().11(4)().11(4)(0000rqudrrqucrrqubrrquaprqrprprprpldeqaupu0) ()11(44020rrqdrrqurrp10213.图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，图中实线为

59、某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出由图可看出cbacbacbacbacbacbacbacbauuueeeduuueeecuuueeebuuueeea,)(,)(,)(,)( dabc 电力线的方向指向电势降落的方向，电力线的方向指向电势降落的方向，因此因此a点的电势低，点的电势低，c 点的电势高。点的电势高。 电力线稀疏的地方表示场强小，电电力线稀疏的地方表示场强小，电力线稠密的地方表示场强大，因此力线稠密的地方表示场强大，因此a 点点场强大，场强大，c点场强小。点场强小。1036. 如图所示试验电荷如图所示试验电荷q， 在点电荷在点电荷+q产生的电场中，沿半产生的电场中，沿半

60、径为径为r的整个圆弧的的整个圆弧的3/4圆弧轨道由圆弧轨道由a点移到点移到d点的过程中电场点的过程中电场力作功为力作功为_；从；从d点移到无穷远处的过程中，点移到无穷远处的过程中，电场力作功为电场力作功为_ +q r q a d 作功与路径无关。作功与路径无关。011()4dadaadqqadarradrrr0a0011()44ddqqqqadarr01047 如图所示，在静电场中，一电荷如图所示，在静电场中，一电荷q=1.6 10-19c沿沿1/4圆弧轨道圆弧轨道从从a点移到点移到b点，电场力做功点，电场力做功3.2 10-15j。当质子沿。当质子沿3/4圆弧轨圆弧轨道从道从b点回到点回到a