二阶常系数线性微分方程62264

1、第四节第四节(2) 二阶常系数二阶常系数非齐次非齐次 线性微分方程线性微分方程小结小结 思考题思考题 作业作业xxpexflx cos)()( 型型)()(xpexfmx 型型sin)(xxpn 非齐次非齐次)(xfqyypy 二阶常系数非齐次线性方程二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程对应齐次方程, 0 qyypy通解结构通解结构, yyy 常见类型常见类型),(xpm,)(xmexp ,cos)(xexpxm ,sin)(xexpxm 难点：难点：如何求特解？如何求特解？方法：方法：待定系数法待定系数法. .设非齐方程特解为设非齐方程特解为xexqy )( 代入原方程代入原方程)()()(

2、)()2()(2xpxqqpxqpxqm 不是特征方程的根，不是特征方程的根，若若 )1(, 02 qp ),()(xqxqm 可可设设是特征方程的单根，是特征方程的单根，若若 )2(, 02 qp , 02 p ),()(xxqxqm 可设可设;)(xmexqy ;)(xmexxqy xmexpqyypy )( )()(xpexfmx 一一是特征方程的重根，是特征方程的重根，若若 )3(, 02 qp , 02 p ),()(2xqxxqm 可可设设综上讨论综上讨论, )(xqexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n n阶常

3、系数非齐次线性阶常系数非齐次线性微分方程（微分方程（k k是重根次数）是重根次数）. .)(2xmexqxy )()()()()2()(2xpxqqpxqpxqm xmexpqyypy )( .232的通解的通解求方程求方程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rr,221xxececy 是单根，是单根，2 ,)(2xebaxxy 设设代入方程代入方程, , 得得xabax 22,121 baxexxy2)121( 于是于是原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxececy 例例1 1型型二、二、sin)(c

4、os)()(xxpxxpexfnlx )(xfqyypy *(1)(2)( )cos( )sin,kxmmyx erxxrxx 次多项式，次多项式，是是其中其中mxrxrmm)(),()2()1( nlm,max ,10 是单根是单根不是根不是根 iik注意注意上述结论可推广到上述结论可推广到n n阶常系数非齐次线性微分方程阶常系数非齐次线性微分方程. .型型sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx )(xfqyypy 8.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解xcxcysincos21 例例(1) 求对应求对应齐次齐次方程方程 0 yy012 r特征根特征根ir 其通解其通解这

5、是二阶常系数非齐次线性方程这是二阶常系数非齐次线性方程.且且 .sin)(cos)()(型型属于属于xxpxxpexfnlx , 0( 其中其中特征方程特征方程, 1 , 0)( xpl)4)( xpn0 的通解的通解9xcxcysincos21 (2) 求求非齐次非齐次方程方程 xyysin4 i故设故设代入方程代入方程,比较系数比较系数.得得xxycos2 这里这里i 0asin x?1 yxxxcos2 , 0 1 特征根特征根ir 非齐次方程特解为非齐次方程特解为是特征根是特征根.原方程通解为原方程通解为b xcos 的特解的特解.sin4的通解的通解求方程求方程xyy 解解对应齐方通

6、解对应齐方通解,sincos21xcxcy 作辅助方程作辅助方程,4ixeyy ,是单根是单根i ,*ixaxey 故故代入上式代入上式, 42 ai,2ia ,)cos2(sin22*ixxxxixeyix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,cos2xxy 原方程通解为原方程通解为.cos2sincos21xxxcxcy （取虚部）（取虚部）例例2 2210rri .2cos的通解的通解求方程求方程xxyy 解解对应齐方通解对应齐方通解,sincos21xcxcy 作辅助方程作辅助方程,2ixxeyy ,2 不不是是特特征征方方程程的的根根i ,)(2*ixebaxy 设设代入辅助方程代

7、入辅助方程 13034abai,9431iba ，,)9431(2*ixeixy 例例3 3)2sin2)(cos9431(xixix 所求非齐方程特解为所求非齐方程特解为,2sin942cos31xxxy 原方程通解为原方程通解为.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy ,)2sin312cos94(2sin942cos31ixxxxxx （取实部）（取实部）注意注意xaexaexx sin,cos.)(的实部和虚部的实部和虚部分别是分别是xiae 三、小结三、小结可以是复数）可以是复数） (),()()1(xpexfmx );(xqexymxk ,sin)(cos)()(

8、)2(xxpxxpexfnlx ;sin)(cos)()2()1(xxrxxrexymmxk (待定系数法待定系数法)只含上式一项解法只含上式一项解法：作辅助方程作辅助方程,求特解求特解, 取取特解的实部或虚部特解的实部或虚部, 得原非齐方程特解得原非齐方程特解.思考题思考题写出微分方程写出微分方程xexyyy228644 的待定特解的形式的待定特解的形式. 思考题解答思考题解答设设 的特解为的特解为2644xyyy *1yxeyyy2844 设设 的特解为的特解为*2y*2y *1*yy 则所求特解为则所求特解为0442 rr特征根特征根22, 1 rcbxaxy 2*1xedxy22*2

9、（重根）（重根）*2y *1*yy cbxax 2.22xedx ,223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y解解对应对应齐次齐次方程通解方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特征根，2121 rrxxececy221 (1) 求对应求对应齐次齐次方程的通解方程的通解此题此题.)(2)(型型属属于于xmxexpexf )1, 0( m例例1988年考研数学一年考研数学一, 8分分二阶常系数线性非齐次方程二阶常系数

10、线性非齐次方程)1(是是单单根根 y设设(2) 求求非齐次非齐次方程的特解方程的特解axex解得解得2 a所以所以xxey2 xxececy221 (3) 求求原方程原方程的特解的特解得得由由, 12 xxy, 1)0( y得得的的坐坐标标代代入入通通解解将将点点,)1 , 0(211cc 即即11 r1 特征根特征根原方程通解为原方程通解为(求函数求函数y的解析表达式的解析表达式),223)(xeyyyxyy 满足微分方程满足微分方程设函数设函数在在处的切线与曲线处的切线与曲线其图形在点其图形在点1)1 , 0(2 xxy,该该点点处处的的切切线线重重合合.的的解解析析表表达达式式求求函函数数y且且xxe2 21,yx 得得求导求导将通解将