二阶常系数非齐次线性微分方程59487

1、1二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是二阶常系数非齐次线性微分方程一般式是 (1) xfqypyy其中其中p、q是常数。是常数。一一 、 型型 xmexpxf )()( 是是x 的一个的一个m 次多项式：次多项式： xpm其中其中为常数，为常数， .1110mmmmmaxaxaxaxp 对对 f(x) 的下面两种最常见形式，的下面两种最常见形式，采用采用待定系数法待定系数法来求出来求出 y*。由定理由定理3，只要求出，只要求出(1)的一个特解的一个特解 y*及及(1)对应的齐次方程对应的齐次方程0 qypyy的通解的通解y，.*yyy 即可求得即可求得(1)的通解的通解 :2 可能是方程可能是

2、方程(1)的特解的特解(其中其中q(x)是某个多项式是某个多项式).xexqy )(* )3()()()()( ) 2()(2xpxqqpxqpxqm 要使要使(3)成立，成立，q(x)应是一应是一 个个m 次多项式，次多项式， ,exq*yx 代入方程代入方程(1)并消去并消去,xe 为了确定为了确定q(x)，将，将 xqxqe*yx xqxqxqeyx 2*2得得（i）如果如果, 02 qp 即即不是特不是特 征根。征根。 mmmmmbxbxbxbxqxq 1110)(不妨设不妨设代入代入(3)式，比较两端同次幂的系数即可确定式，比较两端同次幂的系数即可确定,m,ibi210 进而得进而得

3、(1)的特解的特解.)(* xexqy xxxxexqxqexqexqexq )(003, 02 qp , 0 2 p （ii）如果如果且且即即是特征方程的单根。是特征方程的单根。)()(xxqxqm 同样可以定出同样可以定出 的系数的系数)(xqm,m,ibi210 令令（iii）如果如果 且且 ，02 qp 0 2 p 即即是特征方程的重根。是特征方程的重根。要使要使(3)成立，成立， )( xq应是一个应是一个m 次多项式次多项式,令令要使要使(3)式成立，式成立，)()(2xqxxqm 仍是比较仍是比较(3)式两端的系数来确定式两端的系数来确定 的系数。的系数。)(xqm)( xq应是

4、应是m次多项式次多项式. 4若若是特征方程的是特征方程的 s 重根，重根，k = s.上述结论可推广到上述结论可推广到 n 阶常系数非齐次线性微分方程，阶常系数非齐次线性微分方程，但但 k 是特征方程含根是特征方程含根的重复次数，即的重复次数，即若若不是特征方程的根，不是特征方程的根，k =0；2 是特征方程的重根是特征方程的重根k =0 不是特征根不是特征根1 是特征方程的单根是特征方程的单根其中其中总之，总之，当当 时，方程时，方程(1)具有形如具有形如xmkexqxy )(* 的特解，的特解，)(xqm)(xpm其中其中 是与是与 同次同次(m次次)的多项式，的多项式， xmexpxf

5、)()( (1) xfqypyy5代入所给方程，得代入所给方程，得13323100 xbbxb所以所以31 , 110 bb于是得原方程的一个特解为于是得原方程的一个特解为31* xy;31321 xececyxx所求通解为所求通解为于是齐次方程的通解为：于是齐次方程的通解为：xxececy321 3, 121 rr所以特征根为：所以特征根为：13)( xxf又又,) 13(0 xex=0不是特征根，不是特征根，故原方程特解设为：故原方程特解设为：xebxby010)(*10bxb 例例 1 求下列方程的通解求下列方程的通解.65)2( ;1332)1(2xxeyyyxyyy （1）对应齐次方

6、程的特征方程为）对应齐次方程的特征方程为0322 rr解解6.65)2(2xxeyyy 于是齐次方程的通解为于是齐次方程的通解为xxececy3221 ,)(2xxexf 由于由于=2是特征方程的单根，是特征方程的单根，对应齐次方程的特征方程为；对应齐次方程的特征方程为；0652 rr3, 221 rrxbbxb 10022代入所给方程，得代入所给方程，得1 ,2110 bb所以所以xexxy2)121(* 于是得原方程的一个特解为于是得原方程的一个特解为.)2(21223221xxxexxececy 所求通解为所求通解为xebxbxy210)(* 故原方程特解设为：故原方程特解设为：7例例

7、2 求解求解2, 1 52300 xxyyyyy解解于是齐次方程的通解为于是齐次方程的通解为xxececy221 ,exfx05由于由于=0不是特征方程的根，不是特征方程的根，对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为0232 rr2, 121 rr52 a代入方程，得代入方程，得,25 a所以所以25* y于是得原方程的一个特解为于是得原方程的一个特解为25221 xxececy所求通解为所求通解为ay *故原方程特解设为：故原方程特解设为：把把2, 1 00 xxyy代入上式，得代入上式，得27 521 cc所以原方程满足初始条件的特解为所以原方程满足初始条件的特解为2527532

8、xxeey8)(1xf)(2xfsin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 二二 、sin)(cos)()(xxpxxpexfnlx 型型由欧拉公式：由欧拉公式：,2sin2cos ieexeexixixixix变为：变为： xf把把xixiexpexp)()()()( ieepeepexixinxixilx22 xinlxinleippeipp 2222 xfxfqyypy21 9*1y*2y xxrxxrexymmxk sincos*21由第一种情形及由第一种情形及 定理定理 4 的结论，对于此种类型，特解可设为：的结论，对于此种类型，特解可设为： ximkximkexqxexqxy

9、)()(* 改写为如下形式：改写为如下形式： m=max l , n 。 ippxpnl22其中其中 ippxpnl22与与都是都是 m 次多项式，次多项式，其中其中 xr,xrmm21都是都是 m 次多项式，次多项式，0 i不是特征根不是特征根k =1 i是特征根是特征根m = max l , n ，且，且qyypy xixiexpexp)()()()( sin)(cos)(xxpxxpeqyypynlx 10代入所给方程，得代入所给方程，得xxxadcxxcbax2cos2sin)433(2cos)433( 所求通解为所求通解为.2sin942cos31sincos21xxxxcxcy 解

10、解对应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为012 rir 2, 1xcxcysincos21于是齐次方程的通解为于是齐次方程的通解为)10)(,)(, 2, 0( ,2cos)(mxpxxpxxxfnl即即 由于由于94, 0, 0,31 dcba所以所以xxxy2sin942cos31* 于是得原方程的一个特解为于是得原方程的一个特解为xdcxxbaxy2sin)(2cos)(* 故原方程特解设为：故原方程特解设为：i=2i不是特征方程的根，取不是特征方程的根，取, 0 k例例 3 求方程求方程xxyy2cos 的通解。的通解。sin)(cos)(xxpxxpeqyypynlx xx

11、rxxrexymmxk sincos*2111代入所给方程，得代入所给方程，得0 ,41 ba所求通解为所求通解为 xxexcxceyxx2cos412sin2cos21 解解齐次方程的特征方程为齐次方程的特征方程为0522 rrir212, 1 xcxceyx2sin2cos21 于是齐次方程的通解为于是齐次方程的通解为)0, 1)(, 0)(, 2, 1( ,2sin)(mxpxpxexfnlx 由于由于 xbxaxeyx2sin2cos* 故原方程特解设为：故原方程特解设为：i=12i 是特征方程的根，取是特征方程的根，取, 1 k例例 4 求方程求方程xeyyyx2sin52 的通解。

12、的通解。于是得原方程的一个特解为于是得原方程的一个特解为xxeyx2cos41* 12例例 5 求方程求方程 的通解。的通解。 xeyyxcos 由此求得由此求得0,21,21 bca齐次方程的通解为齐次方程的通解为xcxcysincos21 应有应有 形式的特解；形式的特解；xeyy xae因为因为有有 形式的特解，形式的特解，xyycos )sincos(xcxbx 应应代入所给方程，得代入所给方程，得xexbxcaexxcossin2cos22 所求通解为所求通解为.sin221)sincos(21xxexcxcyx 于是求得一个特解为于是求得一个特解为xxeyxsin221* 解解 对

13、应齐次方程的特征方程为对应齐次方程的特征方程为012rir 2, 1)sincos(*xcxbxaeyx 故特解应设为故特解应设为13求解微分方程求解微分方程(2) (1) 00yyy,xf yxx其中：其中： mllmyyxxayyaxxaayxf0000101000,以这些常数为系数的级数（以这些常数为系数的级数（3）就是上面初值问题的解。）就是上面初值问题的解。 设所求特解可展开为设所求特解可展开为 x - x0 的幂级数：的幂级数：(3) 0202010nnxxaxxaxxayy 21na ,a ,a其中其中 是待定的系数。是待定的系数。, 21na ,a ,a把（把（3）代入（）代入

14、（1）中，）中，比较等比较等式两边式两边 x - x0 的同次幂的系数，的同次幂的系数，就可定出常数就可定出常数14 求微分方程求微分方程 满足满足 的特解。的特解。2yx y00 xy解解 0000y,x故设故设 221nnxaxaxay把把 的幂级数展开式代入原方程，得的幂级数展开式代入原方程，得 y,y 543245342321xaxaxaxaa比较系数得比较系数得 ,201, 0, 0,21, 054321aaaaa于是所求解的幂级数展开式的开始几项为于是所求解的幂级数展开式的开始几项为. 2012152xxy4312232122122 xaaaxaaxax15例例 2 求解初值问题求解初值问题:10000 xx y,yxy y这里这里 ， xxq,xp 0由由得得.a,a1010, y,yxx1000解解满足定理的条件。满足定理的条件。则则.xna ynnn11,xaynnn0设设可在可在 r x r 内展开为内展开为 x 的幂级数，的幂级数，nnnxay0内该方程必有形如内该方程必有形如 的解。的解。定理定理 0yxqyxpy如果方程如果方程中的系数中的系数 p(x) 与与q(x) 那末在那末在 r x r16;2n