专转本第二章导数与微分23

1、3 隐函数及由参数方程所确 定的函数的导数一、隐函数的求导法则二、对数求导法则三、参数方程求导法则一、隐函数的导数.)(称为隐函数称为隐函数由方程所确定的函数由方程所确定的函数xyy .)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxf)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化1.1.显函数与隐函数显函数与隐函数2.2.隐函数求导法则隐函数求导法则: : 若方程若方程 确定的是确定的是y关于关于x的函数，的函数，则要求则要求y关于关于x的导数的步骤如下：的导数的步骤如下：0),(yxf（1）将方程）将方程 两端关于两端关于x求导，其中求导，其中y 视为视为x 的函数的函数.0),(yxfy（2

2、）解上式关于）解上式关于 的方程，得出的方程，得出 的表达式，的表达式，在表达式中允许保留在表达式中允许保留yy例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的导数的导数所确定的隐函数所确定的隐函数求由方程求由方程解解,求导求导方程两边对方程两边对x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.22222处的切线方程在求曲线xxyxyx解解求导得求导得方程两边对方程两边对x) 1 (22222yyyxyx.2212yxyxy）（解得.42022yxyxx或得时，由所给曲线方程解当

3、2122)1 (20202yxyxyxyxyk对于点（对于点（2,0）所求切线斜率）所求切线斜率121xy所求切线方程为所求切线方程为对于点（对于点（2,4）所求切线斜率）所求切线斜率25 k. 152xy故所求切线方程为故所求切线方程为二、对数求导法观察函数观察函数.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :.)()(的情形的情形数数多个函数相乘和幂指函多个函数相乘和幂指函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)

4、1(23 xxxexxxyx等式两边取对数得等式两边取对数得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求导得求导得上式两边对上式两边对 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求设设例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求设设等式两边取对数得等式两边取对数得xxylnsinln 求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 三、由参数方程所确定的函数的导数.,)()(定的函数定的函数称此为由参数方程所确称此为由参数方程所确间的函数关系间的函数关系与

5、与确定确定若参数方程若参数方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去参数消去参数问题问题: : 消参困难或无法消参如何求导消参困难或无法消参如何求导?t),()(1xttx 具有单调连续的反函数具有单调连续的反函数设函数设函数)(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可导都可导再设函数再设函数由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二阶可导二阶可导若函数若函数 tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即dxdytaytax，求已知椭圆的参数方程为sincos例解tabtatbdtdxdtdydxdycot)cos()sin(例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程