三重积分对称性

1、2021年11月13日21时53分1,0 r,20 . z一、利用柱面坐标计算三重积分一、利用柱面坐标计算三重积分的柱面坐标的柱面坐标就叫点就叫点个数个数，则这样的三，则这样的三的极坐标为的极坐标为面上的投影面上的投影在在为空间内一点，并设点为空间内一点，并设点设设mzrrpxoymzyxm,),( 规定：规定：xyzo),(zyxm),(rpr2021年11月13日21时53分2 .,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐柱面坐标与直角坐标的关系为标的关系为为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆柱面；圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(

2、zyxm),(rprzxyzo2021年11月13日21时53分3 dxdydzzyxf),(.),sin,cos( dzrdrdzrrf drxyzodzdr rd如图，柱面坐标系如图，柱面坐标系中的体积元素为中的体积元素为,dzrdrddv 2021年11月13日21时53分4例例1 1 计算计算 zdxdydzi，其中，其中 是球面是球面 4222 zyx与抛物面与抛物面zyx322 所围的立体所围的立体.解解由由 zzryrx sincos, zrzr34222, 3, 1 rz知交线为知交线为2021年11月13日21时53分5 23242030rrzdzrdrdi.413 面上，如

3、图，面上，如图，投影到投影到把闭区域把闭区域xoy .20, 3043:22 rrzr，2021年11月13日21时53分6例例计算计算 dxdydzyxi)(22， 其中其中 是是曲线曲线 zy22 ，0 x 绕绕oz轴旋转一周而成轴旋转一周而成的曲的曲面面与两平面与两平面, 2 z8 z所围的立体所围的立体.解解旋旋转转面面方方程程为为,222zyx 所围成的立体如图，所围成的立体如图， 2021年11月13日21时53分7:2d, 422 yx.222020:22 zrr:1d,1622 yx,824020:21 zrr所围成立体的投影区域如图，所围成立体的投影区域如图， 2d1d202

4、1年11月13日21时53分8,)()(21222221 dxdydzyxdxdydzyxiii 12821drfdzrdrdi,345 22222drfdzrdrdi,625 原式原式 i 345 625 336. 82402022rdzrrdrd 22202022rdzrrdrd2021年11月13日21时53分9二、利用球面坐标计算三重积分二、利用球面坐标计算三重积分的球面坐标的球面坐标就叫做点就叫做点，个数个数面上的投影，这样的三面上的投影，这样的三在在点点为为的角，这里的角，这里段段逆时针方向转到有向线逆时针方向转到有向线轴按轴按轴来看自轴来看自为从正为从正轴正向所夹的角，轴正向所夹

5、的角，与与为有向线段为有向线段间的距离，间的距离，与点与点点点为原为原来确定，其中来确定，其中，三个有次序的数三个有次序的数可用可用为空间内一点，则点为空间内一点，则点设设mrxoympopxzzommorrmzyxm ),(2021年11月13日21时53分10,r 0.20 ,0 规定：规定：为常数为常数r为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面2021年11月13日21时53分11 .cos,sinsin,cossin rzryrx球面坐标与直角坐标的关系为球面坐标与直角坐标的关系为如图，如图，pxyzo),(zyxm

6、r zyxa，轴上的投影为轴上的投影为在在点点，面上的投影为面上的投影为在在设点设点axppxoym.,zpmyapxoa 则则2021年11月13日21时53分12 dxdydzzyxf),( .sin)cos,sinsin,cossin(2 ddrdrrrrf球面坐标系中的体积元素为球面坐标系中的体积元素为,sin2 ddrdrdv drxyzodr dsinr rd d d sinr如图，如图，2021年11月13日21时53分13例例 3 3 计计算算 dxdydzyxi)(22，其其中中 是是锥锥面面222zyx ， 与与平平面面az )0( a所所围围的的立立体体.解解 1 采采用

7、用球球面面坐坐标标az ,cos ar222zyx ,4 ,20,40,cos0: ar2021年11月13日21时53分14 dxdydzyxi)(22drrdda 40cos03420sin da)0cos(51sin255403.105a 2021年11月13日21时53分15解解 2 采用柱面坐标采用柱面坐标 ,:222ayxd dxdydzyxi)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(254254aaa .105a 222zyx , rz ,20,0,: arazr2021年11月13日21时53分16例例 4 4 求曲面求曲面22222azyx 与与22yxz

8、所围所围 成的立体体积成的立体体积.解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，采采用用球球面面坐坐标标，由由22222azyx ,2ar 22yxz ,4 ,20,40,20: ar2021年11月13日21时53分17由由三三重重积积分分的的性性质质知知 dxdydzv, adrrddv202020sin4 4033)2(sin2da.)12(343a 2021年11月13日21时53分18补充：利用对称性化简三重积分计算补充：利用对称性化简三重积分计算使用对称性时应注意：使用对称性时应注意：、积分区域关于坐标面的对称性；、积分区域关于坐标面的对称性；、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴、被

9、积函数在积分区域上的关于三个坐标轴的的奇偶性奇偶性2021年11月13日21时53分19例例利用对称性简化计算利用对称性简化计算 dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222其中积分区域其中积分区域1| ),(222 zyxzyx.解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z. 01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz2021年11月13日21时53分20解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx 例例 6 6 计算计算 dxdydzzyx2)(其中其中 是由抛物是由抛物面面 22yxz 和球面和球面2222

10、zyx所围成的空所围成的空间闭区域间闭区域.其其中中yzxy 是是关关于于y的的奇奇函函数数, 且且 关关于于zox面面对对称称, 0)(dvyzxy,2021年11月13日21时53分21同同理理 zx是是关关于于x的的奇奇函函数数, 且且 关关于于yoz面面对对称称, 0 xzdv由由对对称称性性知知 dvydvx22,则则 dxdydzzyxi2)(,)2(22 dxdydzzx2021年11月13日21时53分22在柱面坐标下：在柱面坐标下：,20 , 10 r,222rzr , 122 yx投影区域投影区域 xyd： 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdi).89290(60 2021年11月13日21时53分23（1） 柱面坐标的体积元素柱面坐标的体积元素dzrdrddxdydz （2） 球面坐标的体积元素球面坐标的体积元素 ddrdrdxdydzsin2 （3） 对称性简化运算对称性简化运算三重积分换元法三重积分换元法 柱面坐标柱面坐标球面坐标球面坐标三、小结三、小结2021年11月13日21时53分24思考题思考题则则上的