两个重要极限63796

1、1.5 1.5 函数的连续性函数的连续性1.1 1.1 极限的概念极限的概念1.3 1.3 极限的运算极限的运算1.4 1.4 两个重要极限两个重要极限1.2 1.2 无穷小量与无穷大量无穷小量与无穷大量解：解：1)1)(1(lim11lim121xxxxxxx)1(lim1xx21.求极限：求极限：11lim21xxx? ?思考：如何求极限思考：如何求极限 ？xxxsinlim01.0sinlim1xxx1sin)(,0 xxxfx时1.0sinlim1xxx时设有函数xxxfsin)(，观察下表并推测)(xf的变化趋势：0 xxxxfsin)(0.999990.999980.998330.

2、841470.0010.010.11x1sin)(,0 xxxfx时)(sinsin)sin()(xfxxxxxxxf因为xxxfsin)(是偶函数所以1sinlimsinlim00 xxxxxx由1.0sinlim1xxxxxxfsin)(0.999990.999980.998330.84147-0.001-0.01-0.1-1x1sinlim1sinlim00 xxxxxx或推出公式1.函数极限为 型且含有三角函数2.公式中出现的变量（可以是字母 或是其它的代数式）相同且该变量趋向于零.3.公式的等价形式为tx 或001sinlim0 xxx注意1.0sinlim1xxx xxx5sinl

3、im0求xxx5sinlim0解：xxx55sin5lim0 xxx55sinlim500,0,5txtx有时当令5sinlim5,0ttt原式所以注：在运算熟练后可不必代换，直接计算：xxx5sinlim0555sinlim50 xxx例例11.0sinlim1xxx 求极限:xxxxxxtanlim22sin3sinlim100、xxx2sin3sinlim10、解：xxxxxxx222sin333sinlim0 xxxxxx22sinlim233sinlim300231213xxxxxxxcossinlimtanlim200、xxxxcossinlim0 xxxxxcos1limsinl

4、im00111 例例21.0sinlim1xxx1tanlim0 xxx 求极限:xxx3sinlimxxx3sinlim:解xxx33sinlim3)333sin(limxxxxx313例例31.0sinlim1xxx设有函数,时x，根据下表观察xxxf11)(的变化趋势。)(xfxxxf11x2.718152.716922.704812.5937410000100010010.2.718282.7182710000001000001lim(1)xxex2. xxxf11x2.718152.716922.704812.59374-10000-1000-100-10.2.718282.7182

5、7-1000000-100000 x时xx)11(均趋于一个确定的数2.71828用e表示该数,e是无理数。e=2.7182818281lim(1)xxex2.注意：注意：2.底数中的无穷小量（可以是字母底数中的无穷小量（可以是字母 或是或是 代数式）和指数互为倒数。代数式）和指数互为倒数。tx或1.公式中底数的极限是公式中底数的极限是1，指数的极限是无穷大，指数的极限是无穷大,函数极限为函数极限为 型型1exxx10)1 (lim. 3公式的等价形式为1lim(1)xxex2. xxx)31(lim)1(xxx)31(lim)1(33)31(limxxx3e32)11(lim)2(xxx32

6、1111limxxxx2e解：例例41lim(1)xxex2.32)11 (lim)2(xxx3211)1(1limxxxx 34)211 (limxxx求34)211 (limxxx34)211 ()211 (limxxxx322)211 (lim)211(limxxxxx221ee解：例例51lim(1)xxex2. xxxx2)12(lim求2exxxx2)12(limxxx2)111 (lim2)1(2)111 (limxxx解：2)1(2)111 ()111 (limxxxx221)111 (lim)111(limxxxxx例例61lim(1)xxex2. xxxx2)12(lim求2exxxx2)12(lim221lim11xxxx2221lim11xxxxx另解：另解：42ee例例61