空间向量与立体几何知识点归纳总结

1、学习必备欢迎下载一对一授课教案学员姓名：年级：所授科目：上课时间：年月日时分至时分共小时老师签名学生签名教学主题空间向量与立体几何上次作业检查本次上课表现本次作业一知识要点。1. 空间向量的 概念 ：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。注：（ 1）向量一般用有向线段表示 同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。（ 2）向量具有 平移不变性2. 空间向量的 运算 。定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。OB OA AB a b ; BA OAOBa b ; OPa(R)运算律： 加法交换律： abba加法结合律： (a b ) c a (b c )数乘分配律

2、： (a b )ab运算法则 ：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则3. 共线向量。（ 1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合 ，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于 b ，记作 a / b 。（ 2）共线向量定理 ：空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 存在实数 ，使 a b 。（ 3）三点共线 ： A 、B 、C 三点共线 <=> ABAC<=> OCxOA yOB(其中xy 1)（ 4）与 a 共线的单位向量为aa4. 共面向量（ 1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。说明：空间任意的两向量都是共

3、面的。（ 2）共面向量定理 ：如果两个向量a, b 不共线， p 与向量 a,b 共面的条件是存在实数x, y 使 p xayb 。（ 3）四点共面：若 A 、 B 、C、 P 四点共面 <=> APxABy AC<=> OPxOA yOB zOC (其中 xy z1)5.空间向量基本定理：如果三个向量 a, b , c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组x, y, z，使 pxa yb zc 。若三向量 ab,c不共面，我们把 a, b , c 叫做空间的一个 基底， a,b , c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向学习必备欢迎下载量都可以构成

4、空间的一个基底。推 论 ： 设 O, A, B,C 是 不 共 面 的四 点 ， 则 对 空 间 任 一 点 P ， 都 存 在 唯 一的 三 个 有 序 实数 x, y, z ， 使O Px O Ay OBzO。C6. 空间向量的直角坐标系：（ 1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系 Oxyz 中，对空间任一点 A ，存在唯一的有序实数组 (x, y, z) ，使 OAxi yi zk ，有序实数组 ( x, y, z) 叫作向量 A 在空间直角坐标系 Oxyz 中的坐标，记作 A(x, y, z) ， x 叫横坐标， y 叫纵坐标， z 叫竖坐标。注：点 A（x,y,z ）关于 x

5、轴的 的对称点为 (x,-y,-z), 关于 xoy 平面的对称点为(x,y,-z). 即点关于什么轴/平面对称，什么坐标不变，其余的分坐标均相反。在y 轴上的点设为 (0,y,0),在平面 yOz 中的点设为 (0,y,z)（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位 正交基底 ，用 i, j, k 表示。空间中任一向量 a xiy jzk =（ x,y,z）（ 3）空间向量的直 角坐标运算律：若 a (a1 ,a2 , a3 ) ， b (b1, b2 ,b3) ，则 a b (a1 b1 , a2b2 , a3 b3 ) ，a b (a1b1, a2b2 , a3

6、 b3 ) ，a ( a1, a2 , a3)(R) ，a b a1b1a2b2 a3b3 ，a / ba1b1, a2b2 , a3b3 ( R) ，a b a1b1a2b2a3b3 0 。若 A( x1, y1 , z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则 AB ( x2x1 , y2y1 , z2z1 ) 。一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。定比分点公式：若A( 1x , 1y , 1z，) B( x2 , y2 , z2 )， APPB，则点 P坐 标 为( x1x2 , y1y2 , z1z2 ) 。推导 ：设 P（ x,y

7、,z）则 (xx yy , zz )(xx, yy,zz),显然，1111,11222当 P 为 AB 中点时， P( x1x2 , y1y2 , z1z2 )222ABC中 ，A（x, y, z）,B( x , y, z), C( x, y ,z)，三角形重心P 坐标 为111222333P( x1x2x3 , y1y2y3 , z1z2z3 )322 ABC的五心 ：内心 P：内切圆的圆心，角平分线的交点。AP( ABAC ) （单位向量）ABAC外心 P：外接圆的圆心，中垂线的交点。PAPBPC垂心 P：高的交点： PA PB PA PCPBPC （移项，内积为0，则垂直）重心 P：中线

8、的交点，三等分点（中位线比）1(AB AC)AP3中心：正三角形的所有心的合一。学习必备欢迎下载（ 4）模长公式 ：若 a(a1, a2 , a3 ) ， b(b1 ,b2, b3 ) ，则 | a |a a222， |b |b bb12b22b32a1a2a3（ 5）夹角公式：cos a ba bab11a2b2 a3b3。a1 2a2 2a32 b12b22 b32| a | | b |ABC中 ABAC0 <=>A 为锐角 ABAC0 <=>A 为钝角，钝角（ 6）两点间的距离公式：若A( x1 , y1, z1) ， B( x2 , y2 , z2 ) ，则|

9、AB|2( x2x1 )2( y2y1 )2( z2z1 )2 ，AB或 dA,B( x2x1) 2( y2y1) 2( z2z1 ) 27. 空间向量的数量积。（ 1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量a,b ，在空间任取一点 O ，作 OAa ,OB b，则AOB 叫做向量a与 b 的夹角，记作a,b ；且规定 0a ,b，显然有 a ,bb , a；若,，则称aa b2与 b 互相垂直，记作： ab 。（ 2）向量的模：设OA a ，则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模，记作：| a | 。（ 3 ） 向 量 的数 量 积 ： 已 知 向 量 a, b ， 则 | a |

10、b | co s a b,叫做 a,b 的 数 量 积 ， 记 作 a b ， 即a b | a | |b | cos a b, 。（ 4）空间向量数量积的性质： ae| a |cosa, e 。 a ba b 0 。 | a |2 a a 。（ 5）空间向量数量积运算律： (a) b( a b )a ( b ) 。 a bb a （交换律）。 a(bc ) a ba c （分配律）。 不满足 乘法结合率： ( a b)c a(b c)二空间向量与立体几何1线线平行两线的方向向量平行1-1 线面平行线的方向向量与面的法向量垂直1-2 面面平行两面的法向量平行2 线线垂直（共面与异面）两线的方向

11、向量垂直2-1 线面垂直线与面的法向量平行2-2 面面垂直两面的法向量垂直3 线线夹角 （共面与异面） 0O ,90 O 两线的方向向量n1 , n 2的夹角或夹角的补角， coscosn1, n23-1 线面夹角 0O ,90 O ：求线面夹角的步骤：先求线的方向向量AP 与面的法向量 n 的夹角，若为锐角角即可，若为钝角，则取其补角；再求其余角，即是线面的夹角. sincos AP, n3-2 面面夹角（ 二面角） 0O ,180 O ：若两面的法向量一进一出，则二面角等于两法向量n1 , n2 的夹角；法向量同进同出，则二面角等于法向量的夹角的补角. coscosn1 , n24点面距离

12、 h ：求点 Px0 , y0 到平面的距离：在平面上去一点 Q x, y ，得向量 PQ ;； 计算平面的法学习必备欢迎下载向量 n ;.hPQnn4-1 线面距离（线面平行） ：转化为点面距离4-2 面面距离（面面平行） ：转化为点面距离【典型例题】1基本运算与基本知识（）例 1. 已知平行六面体ABCDABCD，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。 ABBC ；AB ADAA ； ABAD1CC ； 1(ABADAA)。23MG例2. 对空间任一点O 和不共线的三点OPxOAyOBzOC （其中xA, B,C ，问满足向量式：yz1 ）的四点 P, A, B, C是否共面？例 3 已

13、知空间三点A （0， 2， 3）， B（ 2， 1， 6）， C（ 1， 1， 5）。求以向量AB, AC 为一组邻边的平行四边形的面积S；若向量 a 分别与向量AB, AC 垂直，且 | a |3 ，求向量 a 的坐标。2基底法（如何找，转化为基底运算）3坐标法（如何建立空间直角坐标系，找坐标）4几何法例 4. 如图，在空间四边形OABC中， OA8 ， AB6 ， AC4 ， BC5 ，OAC45 ，OAB60 ，求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。OACB说明：由图形知向量的夹角易出错，如OA, AC135 易错写成OA, AC45 ，切记！例5. 长方体 ABCDABCD中，ABBC4

14、，E为 AC与 BD 的交点，F为 BC与 B C 的交点，又11111 11 111学习必备欢迎下载AFBE ，求长方体的高BB1 。【模拟试题】1. 已知空间四边形ABCD ，连结 AC , BD ，设 M , G 分别是 BC , CD 的中点，化简下列各表达式，并标出化简结果向量：（ 1） ABBCCD ；（2） AB1 (BDBC) ； （3） AG1( AB AC)。222. 已知平行四边形 ABCD ，从平面 AC 外一点 O 引向量。OEkOA, OFkOB,OGkOC,OHkOD 。（ 1）求证：四点 E, F ,G, H 共面；（ 2）平面 AC / 平面 EG 。13.

15、如图正方体ABCDA1B1C1 D1 中， B1 E1D1F1A1B1 ，求 BE1 与 DF1 所成角的余弦。45. 已知平行六面体 ABCD A B C D 中，AB 4, AD3, AA5,BAD 90 ，BAADAA60，求 AC 的长。学习必备欢迎下载 参考答案 1.解：如图，（1） ABBC CDACCDAD ；（2） AB1 (BD BC)AB1 BC1BD。222AB BMMGAG ；（3） AG1 (ABAC )AGAMMG 。22.解：（ 1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形，AC AB AD，EG OGOE ，k OCk OA k (OCOA)k ACk (ABAD

16、)k(OBOAODOA)OFOEOH OEEFEH E,F ,G,H 共面；（ 2）解： EFOFOEk (OBOA)k AB ，又 EGk AC ， EF / AB, EG / AC 。所以，平面 AC / 平面 EG 。3. 解：不妨设正方体棱长为，建立空间直角坐标系Oxyz，131则 B(1,1,0) ， E1 (1,1) ， D (0,0,0)， F1 (0,1) ，44 BE1(0,1 ,1) ， DF1(0, 1 ,1) ，44 BE1DF117，41115BE1DF1 00 () 1 1。44161515cos BE1, DF116。171717444.分析：AB(2, 1,3), AC(1, 3,2),cosBACAB AC1| AB|AC|2 BA