空间的平行直线与异面直线(二)

1、课题： 空间的平行直线与异面直线(二)教学目的：1. 掌握两异面直线的公垂线和距离的概念；2. 掌握两异面直线所成角及距离的求法3. 能求出一些较特殊的异面直线的距离教学重点： 两异面直线的公垂线及距离的概念.教学难点： 两异面直线所成角及距离的求法.授课类型： 新授课课时安排： 1 课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程 ：一、复习引入：1 空间两直线的位置关系（ 1）相交 有且只有一个公共点；（ 2）平行 在同一平面内，没有公共点；（ 3）异面 不在任 何一个平面内，没有公共点； 2. 公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行推理模式：a / b,b / ca / c 3. 等角定理：

2、 如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等4. 等角定理的推论 : 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行 , 那么这两条直线所成的锐角 ( 或直角 ) 相等 .5. 空间两条异面直线的画法abbabaD1C1A1B1D CAB6异面直线定理： 连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线推理模式：A, B,l, BlAB 与 l 是异面直线7异面直线所成的角：已知两条异面直线a, b ，经过空间任一点O作直线 a / a, b / b ， a , b 所成的角的大小与点O 的选择无关，把aObba , b 所成的锐角（或直角）叫异面

3、直线a, b 所成的角（或夹角） 为了简便，点 O 通常取在异面直线的一条上异面直线所成的角的范围： (0, 8 异面直线垂直：2如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直两条异面直线a, b 垂直，记作 ab 9求异面直线所成的角的方法：（ 1）通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；（ 2）找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求二、讲解新课：两条异面直线的公垂线、距离和两条异面直线都垂直相交的直线，我们称之为异面直线D1A1的公垂线理解： 因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，D所以公垂线的定义要注意“相交 ”的含义A定义

4、： 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段（公垂线段）的长度，叫做两条异面直线间的距离 两条异面直线的公垂线有且只有一条三、讲解范例：例 1 设图中的正方体的棱长为a（ 1）图中哪些棱所在的直线与直线BA1 成异面直线？（ 2）求直线 BA1 和 CC1 所成的角的大小（ 3）求异面直线 BC和 AA1 的距离解：（ l ） A1 不在平面 BC1，而点 B 和直线 CC1 都在平面 BC1 内，且 B CC1. 直线 BA1 与 CC1 是异面直线同理，直线C1D1、 D1D、 DC、 AD、 B1C1 都和直线BA1 成异面直线（ 2） CC1 BB1 BA1 和 BB1 所成的锐角

5、就是 BA1 和 CC1 所成的角 A1BB1=45°， BA 和 CC 所成的角是 45°D111C1（ 3） AB AA1， AB AA1=A，A1B1又 AB BC， AB BC=B， AB 是 BC和 AA 的公垂线段1DC AB=a，AB BC和 AA1 的距离是 a说明：本题是判定异面直线，求异面直线所成角与距离的综合题，解题时要C1B1CB注意书写规范例 2已知 E, F ,G, H 分别是空间四边形四条边AB , BC , CD , DA 的中点，（ 1）求证四边形 EFGH 是平行四边形（ 2）若 AC BD时，求证： EFGH 为矩形；（ 3）若 BD=

6、2， AC=6，求 EG 2HF 2 ；（ 4）若 AC、 BD成 30o角， AC=6， BD=4，求四边形 EFGH 的面积；（ 5）若 AB=BC=CD=DA=AC=BD=2，求 AC与 BD间的距离 .证明（ 1）：连结 AC, BD ， E, F 是ABC 的边 AB, BC 上的中点， EF/AC，同理， HG / AC ， EF / HG ，同理， EH / FG ，所以，四边形EFGH 是平行四边形证明（ 2）：由（ 1）四边形 EFGH 是平行四边形 EF/AC，EH/BD由 ACBD得 ， EFEH EFGH 为矩形 .解（ 3）：由（ 1）四边形 EFGH 是平行四边形

7、BD=2， AC=6，AEHBDF GCAEHBDF GC EF1 AC 3,EH1 BD122由平行四边形的对角线的性质EG 2HF 22(EF 2EH2) 20.解（ 4）：由（ 1）四边形 EFGH是平行四边形 BD=4， AC=6， EF1 AC3,EH1 BD222又 EF / AC，EH / BD，、成 30o角，ACBD EF、 EH成 30o角，四边形 EFGH 的面积 S EF EH sin 3003 .解（ 5）：分别取 AC与 BD的中点 M、 N,连接 MN、MB、 MD、NA、 NC， AB=BC=CD=DA=AC=BD=2， MB MDNA NC 3A MNAC,M

8、NBDMN 是与的公垂线段MACBD且 MNMB2NB22BDN AC与 BD间的距离为2 .C例 3 平行四边形 ABCD 的内角 C=60 °,CD=2BC, 沿对角线 BD 将平行四边形所在平面折成直二面角 ;求 AC 、 BD 所成的角 .解：如图 ,折起前 ,A= C=60° ,AD=BC=a,AB=DC=2a.由余弦定理得BD 2=a2 4a2 a· 2a=3a2, BD= 3a . AD 2 BD 2=AB 2, ABD 是直角三角形 .即 ADB=90 ° .同理 DBC=90 ° .折起后 ADB= CBD=90 °

9、 .如图 ,过 A 作 AEBD, 连结 AC 、CE、BE, 四边形 AEBD是矩形 ,BD BE,DB BC. CBE 是二面角 A BD C 的平面角 . CBE=90 ° ,EC2=2a2. DB 平面 EBC, DB EC. AE EC,AC 2=AE 2 EC2=5a2 ,由 AE BD 得 CAE ，即为 AC 与 BD 所成的角 .AE315在 Rt AEC 中 ,cos CAE=5.AC5于是AC 与 BD 所成角为15.arccos5例 4空间四边形 ABCD 中， ADBC2， E, F 分别是 AB, CD 的中点，EF3 ，求异面直线AD , BC 所成的角

10、解：取 BD 中点 G ，连结 EG , FG , EF ， E, F 分别是 AB, CD 的中点， EG / AD,FG / BC,且 EG1AD1,FG1A2BC 1，2异面直线 AD , BC 所成的角即为EG, FG 所成的角，E222BGDEGF 中， cos EGFEGFGEF1 ，在F2EG FG2CEGF 120o ，异面直线 AD , BC 所成的角为 60o 说明：异面直线所成的角是锐角或直角，当三角形EGF 内角EGF 是钝角时，表示异面直线 AD , BC 所成的角是它的补角例 5 在正方体 ABCD A1B1C1D1 中 , 求 (1)A 1B 与 B1D1 所成角

11、 ;(2)AC 与 BD1 所成角 .解 (1) 如图 , 连结 BD,A1D, ABCD-A1B1C1D1 是正方体 , DD1 平行且相等 BB1. DBB1D1 为平行四边形 , BD/B 1D1. A1B,BD,A 1D是全等的正方形的对角线 . A1B=BD=A1D, A1BD是正三角形 ,o A1BD=60, A1BD是锐角 , A1BD是异面直线A1B 与 B1D1 所成的角 . A1B 与 B1D1 成角为 60o.(2) 连 BD交 AC于 O,取 DD1 中点 E, 连 EO,EA,EC. O为 BD中点 , OE/BD1.o EDA=90= EDC,ED=ED,AD=DC

12、, EDA EDC, EA=EC.o在等腰 EAC中 , O是 AC的中点 , EO AC, EOA=90.1o又 EOA是异面直线 AC与 BD 所成角 , AC与 BD成角 90 .例 6在长方体 ABCDA B C D 中，已知 AB=a ， BC=b ， AA =c(ab) ，求异面直线 D B 与 AC 所成角的余弦值解：在长方体的一旁，补上一个全等的长方体，则 BEAC ，D BE （或其补角）即 D B 和 CD 所的角 D Ba 2b 2c 2， BEa 2b 2， D E4a2c 2， cos D BED B2BE 2D E 22DBBEa 2b 20b2 )(a 2b2c

13、2 )(a 2 D B 与 AC 所成角的余弦值为a2b 2.(a2b2 )(a 2b2c 2 )四、课堂练习 ：1判断题（对的打“” ，错的打“×” ）（ 1）垂直于两条异面直线的直线有且只有一条（）（ 2）两线段 AB、 CD不在同一平面内，如果AC=BD， AD=BC，则 AB CD（ ）（ 3）在正方体中，相邻两侧面的一对异面的对角线所成的角为60o （）（ 4）四边形的一边不可能既和它的邻边垂直，又和它的对边垂直（）答案：（ 1）× （ 2）×（ 3）（ 4）×2右图是正方体平面展开图，在这个正方体中NBM与 ED平行；DCM与是异面直线；CN

14、BECN与 BM成 60o角；EDM与 BN垂直 .AB以上四个命题中，正确命题的序号是（）F（ A） （ B）（ C）（ D）答案： C3已知空间四边形ABCD.(1) 求证：对角线 AC 与 BD 是异面直线 ;(2) 若 AC BD,E,F,G,H 分别这四条边 AB,BC,CD,DA 的中点 ,试判断四边形 EFGH的形状 ;(3) 若 AB BC CD DA, 作出异面直线 AC 与 BD 的公垂线段 .证明： (1) ABCD 是空间四边形 , A 点不在平面 BCD 上,而 C 平面 BCD, AC 过平面 BCD 外一点 A 与平面 BCD 内一点 C,又 BD平面 BCD,

15、且 CBD. AC 与 BD 是异面直线 .1(2) 解如图 , E,F 分别为 AB,BC 的中点 , EF/AC, 且 EF= AC.同理 HG/AC, 且 HG= 12AC. EF 平行且相等 HG, EFGH 是平行四边形 .2又 F,G 分别为 BC,CD 的中点 , FG/BD, EFG 是异面直线AC 与 BD 所成的角 . AC BD, EFG=90 o.EFGH 是矩形 .(3) 作法取 BD 中点 E,AC 中点 F,连 EF,则 EF 即为所求 .4完成下列证明，已知直线a、b、 c 不共面，它们相交于点P， Aa，Da，B b， E c 求证： BD 和 AE 是异面直线证明：假设 _ 共面于，则点 A 、 E、B 、D 都在平面 _内A a， D a， _ . P a， P _.P b， B b，P c， E c _ ， _ ，这与 _矛盾 BD 、 AE