立体几何中的向量方法——教学设计

1、课题： 选修（ 2-1 ） 3.2 立体几何中的向量方法（教学设计）仁怀市茅台高级中学杨国军三维目标：1、 知识与技能（ 1）在学习了方向向量的基础上理解平面的法向量的概念；（ 2）能由直线的方向向量和平面的法向量的关系及向量的运算来判断或证明直线、平面的位置关系；（ 3）理解运用直线的方向向量、平面的法向量及向量的运算来解决关于直线、平面的夹角及距离的问题的方法（主要是关于角的问题）；(4) 能初步利用向量知识解决相关的实际问题及综合问题。2、过程与方法（ 1）在初步运用向量解决相关问题的基础上，引领学生对向量进行系统的运用，从而全面掌握立体几何的向量方法；（ 2）通过探究立体几何中的向量方

2、法，并进行针对性地运用，体会向量这个重要的数学工具的强大和广泛的作用，从而为进一步解决更加广泛的问题打好基础；（ 3）通过向量方法的学习和应用，进一步认识重要的数学思想方法（如：数形结合、转化思想、类比思想等等）。3、情态与价值观(1) 通过对立体几何中的向量方法的探究和运用，进一步培养学生自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神；（ 2）通过培养学生数形结合、等价转化等数学思想方法，渗透更广泛地育人思想，使学生进一步认识学习的本质，有利于形成正确的人生观和价值观；（ 3）通过各种形象而具体的问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气

3、和自信心，激发学习数学的热情， 培养勇于探索的精神， 勇于创新精神， 同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。体验在学习中获得成功的成就感，为远大的志向而不懈奋斗。教学重点：立体几何中的向量方法教学难点：立体几何中的向量方法的灵活准确及恰当运用。教具：多媒体、实物投影仪教学方法： 合作探究、分层推进教学法教学过程：一、双基回眸科学导入：前面我们已经学习了空间向量的基本知识，并利用空间向量初步解决了一些立体几何问题，已初步感受到空间向量在解决立体几何问题中的重要作用，并从中体会到了向量运算的强大作用。这一节，我们将全面地探究向量在立体几何中的运用，较系统地总结出立体几何的向量方法。为此，首先简单回顾

4、一下相关的基本知识和方法：1直线 l 的方向向量的含义：.2向量的特殊关系及夹角（最后的填空是用坐标表示）（ 1） a/ b；（ 2） a b；（ 3） a·a=；（ 4） cos a,b=。1二、 创设情境合作探究：前面，我们主要是利用向量的运算解决了立体几何中关于直线的问题，如：两直线垂直问题；两直线的夹角问题；特殊线段的长的问题等等若再加入平面，会出现更多的的问题，如：线面、面面的位置关系问题；线面的夹角问题；二面角的问题等等而且都是立体几何中的重要问题，这些问题用向量的知识怎样来解决呢？直线可由其方向向量确定并由其来解决相关的问题，平面又由怎样的向量来确定呢？这些问题就是我们

5、将要探究或解决的主要问题同学们都知道：垂直于同一条直线的两个平面。由此我们应该会想象出怎样的向量可确定平面的方向了下面请同学们合作探究一下这方面的知识和方法：（一）平面的法向量：。（二）直线、平面的几种重要的位置关系的充要条件：请同学们根据直线的方向向量和平面的法向量的几何意义直观地得出直线、平面的几种特殊的位置关系的充要条件（用直线的方向向量或平面的法向量来表达）设直线 l ,m 的方向向量分别为a， b，平面，的法向量分别为u ， v ，则：l m； l m；l； l；。【小试牛刀 】1设直线 l ,m 的方向向量分别为a， b，根据下列条件判断 直线 l ,m 的位置关系：（1） a=

6、（2 ，-1 ， -2 ）， b=（6 ，-3 ，-6 ）；（2） a= （1 ， 2 ， -2 ）， b=（-2， 3， 2）；（3） a= （0 ， 0 ， 1 ）， b=（0 ， 0 ，-3 ）。2平面，的法向量分别为u ， v，根据下列条件判断 平面，的位置关系：（ 1）（ 2）（ 3）u = （ -2 ，2 ， 5 ）， v=（6 ，-4 ， 4 ）；u= （ 1，2 ， -2 ）， v=（-2 ，-4 ， 4 ）；u= （ 2，-3 ，5）， v=（-3 ，1，-4 ）。3如图，在正方体ABCD A1B1C1 D1 中， E、F 分别是 BB1 、CD 的中点，求证： D1 F平面

7、 ADE（你能用几种方法呢？）（三）利用向量方法证明平面与平面平行的判定定理【定理 】一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行2已知： 直线 l ,m 和平面， ，其中 l ,m， l与 m 相交，l ， m ，求证：【分析 】根据u v ，所以只要证明 u v即可，那需要证明 u， v都是平面 的法向量【证明】 设直线 l , m 的方向向量分别为a， b，平面，的法向量分别为u ，v ，（下面留给同学们喽）【点评】 向量法解题“三步曲”： （ 1）化为向量问题 （ 2）进行向量运算 （ 3）翻译向量运算结果，回到图形问题 .三、互动达标关于两特殊点间距离的问题此类问题前面

8、已经接触过，下面再来总结及拓展一下：问题 .1 如图 , 一个结晶体的形状为平行六面体 , 其中顶点 A为端点的三条棱长都相等 , 且它们彼此的夹角都是 60°, 那么以这个顶点为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系。【分析】 根据前面所学的方法，可将AC1 用与棱相关的向量表示出来，通过运算求解D1C1【解析】 ABAA1 AD1， BADBAA1DAA 1 60因为 AC1ABADAA1A1B12( ABAD AA1 )2DCAC1222ABABADAA12(AB ADAB AA1 AD AA1 )1112(cos60cos60cos60 )6所以|AC1|6 这个晶体的对角线

9、的长是棱长的6 倍【点评】 遇到空间两点间的距离问题，往往把两点间的距离表示为以这两点为起点和终点的 向量 的模 。 然后把 向量 进行恰当的分解， 运用 向量 u的模满足的关系式：2u u | u |2 来进行针对性地运算和求解u【探究】1.本题中平行六面体的另一条对角线的长与棱长有什么关系?2.如果一个平行六面体的各棱长都相等,并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都是等于,那么由这个平行六面体的对角线长可以确定棱长吗?33.本题的晶体中相对的两个面之间的距离是多少?【分析】 显然，第 1 个问题与 问题 .1 类似；第个问题是 问题 .1 的逆向问题 ，所列的式子应该是一样的，只不过未知数的

10、位置不同；第个问题略有挑战性，可把两个面之间的距离转化为两点的距离或点到面的距离对于这个问题，同学们可在课后先探究一下，以后在进行总结下面我们再来看一个 问题 .1 的逆向问题 ：问题 .如图，甲站在水库底面上的点A 处，乙站在水坝斜面上的点B 处。从 A，B 到直线 l （库底与水坝的交线）的距离AC和 BD分别为 a 和 b ,CD 的长为 c, AB的长为 d 。求库底与水坝所成二面角的余弦值。【分析】 正如上面的分析，此题是 问题 .1 的逆向问题，解决方法与 问题 .1 一致【解析】ACa ，BDb，CDc，ABd.B根据向量的加法法则CABACCDDBDAd 22) 2( ACCD

11、DBABAB2CD22CDACDBCDDB )BD2( ACa 2c 2b 22AC DBa 2c 2b 22CA DB于是得到 2CA DBa 2b2c2d 2设向量 CA 与 DB 夹角为，就是库底与水坝所成二面角。因此 2abcosa22c2d2cosa 2b2c2d 2.b. 所以2aba 2b2c2d 2.库底与水坝所成二面角的余弦值为2ab【点评】 由此可体会解决一类数学问题的方法，从而以静制动，体现数学知识、方法应用的本质。【探究】1本题中如果 AC和 BD夹角可以测出，而AB 未知，其他条件不变，可以计算出AB 的长吗？ （通过课本第页的第题体会一下即可）2 如果已知一个四棱柱

12、的各棱长和一条对角线的长，并且以同一顶点为端点的各棱间的夹角都相等，那么可以确定各棱之间夹角的余弦值吗？3如果已知一个四棱柱的各棱长都等于a ，并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等于，那么可以确定这个四棱柱相邻两个夹角的余弦值吗？【分析】显然，第 1 个问题又回到了 问题 .1 的形式；第、个问题是 问题 .1 的逆向问题 ，但第个问题又是略有挑战性， 需要通过做辅助线构出 问题 . 的图形模式对于这个问题，同样是同学们先课后探究一下，以后在进行总结关于直线、平面的位置关系的论证及夹角问题4问题 .3 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD是正方形，侧棱PD底面 ABCD ， PD

13、=DC ，E是 PC 的中点，作 EF PB 交 PB 于点 F。（ 1）求证： PA 平面 EDB ；（ 2）求证： PB 平面 EFD ；（ 3）求二面角 CPB D 的大小。【分析】 此题包括：判定直线与平面平行和垂直及计算二面角的大小均可用向量方法来解决。题目中的垂直条件非常适合建立空间直角坐标系来表示向量。【解析】 （1）证明：连接 AC ，AC 交 BD 于点 G，连结 EG。依题意得 A （1， 0， 0）， P（ 0， 0， 1）， E（ 0， 1 ， 1 ）。22G 的坐标为 G（ 1 ， 1 ，0），因为底面 ABCD 是正方形，所以点G 是此正方形的中心，故点且 PA =

14、(1， 0, 1)， EG =（ 1 ， 0， 1 ）所以 PA222EG ,即 PA EG22而 EG平面 EDB ，且 PA平面 EDB,因此 PA平面 EDB(2) 依题意得 B （ 1，1， 0）， PB =（ 1，1， 1）又 DE =(0, 1,1),故 PBDE =0+1-1=02222所以 PB DE 由已知 EF PB。且 EFDE=E所以 PB平面 EFD(3) 已知 PB EF，由（ 2）知 PB DE ，故 EFD 是二面角 C-PB-D 的平面角。设点 F 的坐标为（ x, y, z ） ,则PF =( x, y, z1)因为 PFk PB 所以 ( x, y, z1

15、)=k( 1,1,1)即 xk, yk, z1 k因为 PBDF 0 所以 (1,1,1)(k, k,1k )kkk1 =0所以 k1，点 F 坐标为（1,1,2）3333又点 E的坐标为（ 0,1,1）所以 FE( 1,1,1 )22366FEFD( 1,1, 1) ( 1, 1, 2)1因为 cos3 66333EFD662FE FD36所以 EFD=60 °，即二面角C-PB-D 的平面角的大小为60°。【点评】 (1)此题涉及到的问题都是立体几何中的重点问题。通过解决过程来看，若条件适合建立空间坐标系，建系表示向量来解决问题还是较简洁的转化为目标明确的坐标运算(2)

16、 同学们可用传统法（不用向量）解决一下，比较各自的特点，便于解决问题时能恰当选择方法可大体上分为三种方法：传统法；向量法；坐标向量法。当然也可把这5三种方法结合起来使用直线与平面所成的角怎样用向量来解决呢？同学们可借助此题的背景来求直线PA与平面 PBC所成角：关于点到平面的距离问题利用 问题 .3 的条件 （ PD=DC 改为 PD=DC= a ）求出点 A 到平面 PBC 的距离 总结出点到平面的距离的求法：关于实际问题问题 4.500kg，在它的顶点处分别受力F1 ， F2 ， F3 ，每个力一块均匀的正三角形面的钢板的质量为与同它相邻的三角形的两边之间的角都是60，且 F1F2 F3

17、200kg ，这块钢板在这些力的作用下将怎样运动？这三个力是多少时，才能提起这块钢板？【分析】 钢板所受重力为 500kg ， 垂直向下作用在三角形的中心 O.若能将各顶点处所受的力 F1， F2 ， F3 用向量形式表示，求出合力，就能判断钢板的运动状态。【解析】 解：以点 A 为原点，平面ABC为 xAy 坐标平面， AB 方向为 y 轴正方向，| AB | 为 y轴的单位长度，建立空间直角坐标系A xyz ，则正三角形的顶点坐标分别为 A(0,0,0), B( 0,1,0) C(3,1 ,0)22设力 F1方向上的单位向量坐标为( x, y, z) 由于 F1 与 AB, AC 的夹角均

18、为 60°，利用向量的数量积运算，得cos 601( x, y, z)(0,1,0)2cos601( x, y, z)(3,1,0)222由得 x1 , y1因为 (x, y, z) 为单位向量， x2y 2z 21，因此 z21223于是 F1=200（1 ,1,2）同理 F2 =200（1 ,1 ,2） F3 =200（1,0,2 ）1223122333所以 F1+ F2 + F3 =200（1,1,2） +200（1,1,2） +200（1,0,2 ）1223122333=200(0,06)这说明，作用在钢板上合力方向向上，大小为200 6，作用点为 O由于 2006 <

19、500，所以钢板仍静止不动。6要提起这块钢板，设三个力大小均为x，则5006x 500，解的 x6因此，要提起这块钢板，三力大小均要大于500 。6【点评】 此题是力的合成问题，用向量将其表示，转化为数学问题，求出和向量即可，物理中的力、速度等量均可用向量来表示四、思悟小结：知识线：（ 1）平面的法向量；（ 2）用直线的方向向量和平面的法向量判断直线、平面的位置关系的几个结论。思想方法线：（ 1）向量法与坐标法；（ 2）等价转化思想；（ 3）数形结合思想；题目线：（ 1）关于两特殊点的距离及拓展问题；（ 2）关于直线、平面的位置关系的判断与论证问题；（ 3）关于夹角问题；（ 4）关于简单的距离问题；（ 5）关于实际问题及综合问题。五、针对训练巩固提高：1（ 1）设平面的法向量为 (1,2,-2),平面 的法向量为 (-2,-4,k),若 ，则 k= ；若 ，则 k=。（2）若 l 的方向向量为 (2,1,m),平面的法向量为 (1,1,2), 若 l ，则 m=； 若 l2 ，则 m = .2如图，已知线段AB 在平面 内，线段 AC，线段 BD AB，线段 DD '，DBD '30 ，如果AB a， ACBD b，求C、 D间的距离或：一个矩形A