几个常用函数的导数90827

1、练习1、求函数y=f(x)=c的导数。0)()(xccxxfxxfxy因为00limlim00 xxxyy所以1)()(xxxxxxfxxfxy因为11limlim00 xxxyy所以练习2、求函数y=f(x)=x的导数探究？探究？(1)从图象上看，它们的导数分别表示什么？从图象上看，它们的导数分别表示什么？（2）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪）这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？一个增加得最慢？（3）函数）函数y=kx(k0)增（减）的快慢与什么增（减）的快慢与什么有关有关？在同一平面直角坐标系中，在同一平面直角坐标系中，画出画出y=2x,y=3x,y=4x的的图象，并根据

2、导数定义，图象，并根据导数定义，求它们的导数求它们的导数。xxxxxxfxxfxy22)()()(因为xxxxyyxx2)2(limlim00所以练习3、求函数y=f(x)=x2的导数xxxxxxxx2)(2222你能不能求出函数y=f(x)=x3的导数。由函数y=x ，y=x2 ，y=x3的导数为1，2x，3x2y =3x2你猜测你猜测 y = x n 导数是什么导数是什么? y =nxn-1xxxxxxfxxfxy11)()(因为22001)1(limlimxxxxxyyxx所以练习4、求函数y = f(x) =- 的导数1xxxxxxxxxxx21)()(探究？探究？画出函数画出函数 的

3、图象。的图象。根据图象，描述它的变化根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点（情况，并求出曲线在点（1，1）处的）处的切线方程切线方程。1yx求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1）求出函数在点求出函数在点x0处的变化率处的变化率 ，得到曲线，得到曲线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即）根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 例1 y=|x|(xr)有没有导函数，试求之。解: (1)当x0时，y=x, 则y =1(2)当x0时，比值为1，从而极限为1当x0时，比值为-1，从而极限为

4、-1从而当x=0时，极限不存在。故y=|x|(xr)没有导函数。11.( ),( )0;2.( ),( );3.( )sin,( )cos;4.( )cos,( )sin;5.( ),( )ln(0);6.( ),( );17.( )log,( )(0,1);ln8.nnxxxxafxcfxfxxfxnxfxxfxxfxxfxxfxafxaa afxefxefxxfxaaxa 公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则公式若则且公式若1( )ln,( );fxxfxx则基本初等函数的导数公式练习练习 求下列函数的导数。求下列函数的导数。(1) y= 5(2) y= x 4(3) y= x

5、 -2(4) y= 2 x(5) y=log2x0 y34xy 1ln2yx 3322xxy2ln2xy xxy )2(41) 1 (xy 思考如何求下列函数的导数：例例2 假设某国家在假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为年期间的平均通货膨胀率为5，物，物价价p(单位：元单位：元)与时间与时间t（单位：年）有如下函数关系（单位：年）有如下函数关系 其中其中p0为为t = 0时的物价。假定某种商品的时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在那么在第第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到确到0.01）?tptp%)51 ()(0解：

6、根据基本初等函数导数公式表，有解：根据基本初等函数导数公式表，有05. 1ln05. 1)( ttp)/(08. 005. 1ln05. 1)10( 10年元 p因此，在第因此，在第10个年头，这种商品的价格约以个年头，这种商品的价格约以0.08元元/年的年的速度上涨。速度上涨。导数的运算法则:法则法则1:两个函数的和两个函数的和(差差)的导数的导数,等于这两个函数的导数的等于这两个函数的导数的和和(差差),即即:( )( )( )( )f xg xf xg x法则法则2:两个函数的积的导数两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,加上第一个函数乘第

7、二个函数的导数加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即即:( )( )( ) ( )( )( )f xg xfx g xf x g x法则法则3:两个函数的商的导数两个函数的商的导数,等于第一个函数的导数乘第二个等于第一个函数的导数乘第二个函数函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函再除以第二个函数的平方数的平方.即即:2( )( ) ( )( )( )( ( )0)( )( )f xfx g xf x g xg xg xg x例例3 求函数求函数y=x3-2x+3的导数的导数.解：因为因为)32(3xxy)3()2()(3xx232x所以，函数所

8、以，函数y=x3-2x+3的导数是的导数是232yx5232(1)2(2)2354(3)3cos4sin(4)sincos(5)2sincos2122(6)(1)(2)xyeyxxxyxxyxxxxxyxyxx练习练习 求下列函数的导数。求下列函数的导数。例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数:22212(1);(2);1(3)tan;(4)(23);yxxxyxyxyxx答案答案:;41) 1 (32xxy ;)1 (1)2(222xxy ;cos1)3(2xy 2103(4);2xyx例例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水纯净度的提高

9、，所需净化费用不断增加。已知将纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨吨水净化到纯净度水净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为时所需费用（单位：元）为)10080(1005284)(xxxc求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90 （2）98解：解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数)1005284()( xxc2)100()100(5284)100(5284xxx2)100() 1(5284)100(0 xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90(

10、 ) 1 (2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是52.84元元/吨吨1321)98100(5284)98( )2(2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是时，费用的瞬时变化率是1321元元/吨吨例例6 某运动物体自始点起经过某运动物体自始点起经过t秒后的距离秒后的距离s满足满足 解解: (1)令令s=0,即即1/4t4-4t3+16t2=0,所以所以t2(t-8)2=0,解得解得: t1=0,t2=8.故在故在t=0或或t=8秒末的时刻运动物体在秒末的时刻运动物体在 始点始点.(2) 即即t3-12t2+32t=0, 解

11、得解得:t1=0,t2=4,t3=8, 0)(,3212)(23 tstttts令令故在故在t=0,t=4和和t=8秒时物体运动的速度为零秒时物体运动的速度为零.43214164sttt (1)此物体什么时刻在始点此物体什么时刻在始点? (2)什么时刻它的速度为零什么时刻它的速度为零?例例7 已知曲线已知曲线s1:y=x2与与s2:y=-(x-2)2,若直线若直线l与与s1,s2均均 相切相切,求求l的方程的方程.解解:设设l与与s1相切于相切于p(x1,x12),l与与s2相切于相切于q(x2,-(x2-2)2).对于对于 则与则与s1相切于相切于p点的切线方程为点的切线方程为y-x12=2

12、x1(x-x1),即即y=2x1x-x12.,2,1xys 对于对于 与与s2相切于相切于q点的切线方程为点的切线方程为y+(x2-2)2=-2(x2-2)(x-x2),即即y=-2(x2-2)x+x22-4.),2( 2,2 xys因为两切线重合因为两切线重合,.02204) 2( 222121222121 xxxxxxxx或或若若x1=0,x2=2,则则l为为y=0;若若x1=2,x2=0,则则l为为y=4x-4.所以所求所以所求l的方程为的方程为:y=0或或y=4x-4. 一般地，对于两个函数一般地，对于两个函数y=f(u)和和u=g(x),如果通如果通过变量过变量u,y可以表示成可以表

13、示成x的函数，那么称这个函数为的函数，那么称这个函数为函数函数y=f(u)和和u=g(x)的的复合函数复合函数，记作，记作y=f(g(x).复合函数的概念复合函数的概念)(),()(xuxuyyxguufyxgfy的导数间的关系为的导数和函数复合函数例例4 求下列函数的导数求下列函数的导数2)32() 1 (xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：32)32() 1 (22xuuyxy2() (23)812xuxyyuuxx105. 0)2(xey函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：105. 0) 1 (105. 0 xueyeyux0.051() ( 0.051)0.05xuxuxyyuexe )(sin()3(均为常数，其中xy函数求导法则有的复合函数。根据复合和可以看作函数函数解：xuuyxysin)sin() 1 ()cos(cos)()(sinxuxuuyyxux函数求导的基本步骤：函数求导的基本步骤：1，分析函数的结构和特征，分析函数的结构和特征2，选择恰当的求导法则和导数公式，选择恰当的求导法则和导数公式3，整理得到结果，整理得到结果求下列函数的导数求下列函数的导数2cos2sin. 1xxxy)32(sin. 2