人大微积分课件75空间直线及其方程

1、第五节第五节 空间直线及其方程空间直线及其方程一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称方程与参数方程二、空间直线的对称方程与参数方程三、两直线的夹角三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角五、点到直线的距离五、点到直线的距离六、杂例六、杂例xyzo1 2 定义定义空间直线可看成两平面的交线空间直线可看成两平面的交线0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空间直线的一般方程空间直线的一般方程l一、空间直线的一般方程一、空间直线的一般方程xyzo方向向量的定义：方向向量的定义： 如果一非零向

2、量平行于如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称一条已知直线，这个向量称为这条直线的为这条直线的方向向量方向向量sl),(0000zyxm0m m ,lm ),(zyxmsmm0/,pnms ,0000zzyyxxmm 二、空间直线的对称式方程与参数方程二、空间直线的对称式方程与参数方程pzznyymxx000 直线的对称式方程直线的对称式方程tpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直线的一组直线的一组方向数方向数方向向量的余弦称为方向向量的余弦称为直线的直线的方向余弦方向余弦.直线的参数方程直线的参数方程例例1 1 用对称式方程及参数方程表示直线用对称式方程及参数

3、方程表示直线.043201 zyxzyx解解在直线上任取一点在直线上任取一点),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy点坐标点坐标),2, 0 , 1( 因所求直线与两平面的法向量都垂直因所求直线与两平面的法向量都垂直取取21nns ,3, 1, 4 对称式方程对称式方程,321041 zyx参数方程参数方程.3241 tztytx例例 2 2 一直线过点一直线过点)4 , 3, 2( a,且和且和 y轴垂直相轴垂直相 交，求其方程交，求其方程. 解解因因为为直直线线和和y轴轴垂垂直直相相交交, 所以交点为所以交点为),0, 3, 0( b取取bas

4、 ,4, 0, 2 所求直线方程所求直线方程.440322 zyx定义定义直线直线:1l,111111pzznyymxx 直线直线:2l,222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmll 两直线的方向向量的夹角称之两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）（锐角）两直线的夹角公式两直线的夹角公式三、两直线的夹角三、两直线的夹角两直线的位置关系：两直线的位置关系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直线直线:1l直线直线:2l,0, 4, 11 s,1 , 0 , 02 s, 02

5、1 ss,21ss 例如，例如，.21ll 即即例例3 3 求求下下列列两两直直线线： 0220243:1zyxzyxl 与与 0230264:2zyzyxl的的夹夹角角. . 解解直线直线l1的方向向量的方向向量)11, 2 ,10()2, 1 , 2()2, 4, 3(1 s19598412311210|411122310|cos222222 所求所求l1与与l2的夹角的夹角直线直线l2的方向向量的方向向量)4 ,12, 3()1, 1 , 0()6, 1 , 4(2 s19598cos ar 为为定义定义直线和它在平面上的投影直线的夹直线和它在平面上的投影直线的夹角角 称为直线与平面的夹

6、角称为直线与平面的夹角 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax,pnms ,cban 2),(ns 2),(ns 0.2 四、直线与平面的夹角四、直线与平面的夹角222222|sinpnmcbacpbnam 直线与平面的夹角公式直线与平面的夹角公式直线与平面的直线与平面的位置关系：位置关系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnam .cos 2 cossin2 例例 4 4 求求过过点点)4 , 2, 1( 且且与与两两平平面面264 zyx和和023 zy都都平平行行的的直直线线的的方方程程. 解解 设所求直线的方向向量设所求直线的方向向量,pnms 于是于

7、是 由题意知由题意知 , , 21 nsns 03064pnpnmpnpm343 ，解得解得pzpypx432431 ：所求直线方程所求直线方程1432431 zyx即即 21得到.得到.可由可由所求直线的方向向量也所求直线的方向向量也nns ：注注设直线设直线l过点过点m0, 方向向量为方向向量为, s则点则点m到直线到直线l距离距离d是以是以为邻边的为邻边的与与 0smm.上的高上的高平行四边形底边平行四边形底边s| 0 ssmmd因此有因此有m0mls五、点到直线的距离五、点到直线的距离的距离.的距离.到直线到直线 求点求点211111, 0 , 1( zyxm）例5例5），2 , 1,

8、 1( )1, 1 , 0( 0 sm直线过点直线过点解解)0 , 2 , 2( ),0 , 1, 1(00 smmmm332622| 0 ssmmd例例 6 6 设设直直线线21121 zyx，平平面面32 zyx，求求直直线线与与平平面面的的交交点点. 解解参数方程参数方程.2121 tztytx代入平面方程，得代入平面方程，得3)21(2)()21( ttt74 t所以交点为所以交点为)71,74,715( 六、杂例例例 7 7 求求过过点点)3 , 1 , 2(且且与与直直线线12131 zyx垂垂直直相相交交的的直直线线方方程程. 解解0)3()1(2)2(3 zyx再求已知直线与这

9、平面的交点再求已知直线与这平面的交点,令令tzyx 12131. 1213 tztytx先作一过点先作一过点 且与已知直线垂直的且与已知直线垂直的平面平面 )3 , 1 , 2(代入平面方程得代入平面方程得 ,73 t求得交点求得交点)73,713,72( 取所求直线的方向向量为取所求直线的方向向量为373, 1713, 272 ,724,76,712 所求直线方程为所求直线方程为.431122 zyx例例 8 8 求求通通过过直直线线223121 zyx且且与与平平面面0523 zyx相相垂垂直直的的平平面面. . 解解.)2 , 3, 2( 直直与所求平面的法向量垂与所求平面的法向量垂由题

10、意由题意 s垂直.垂直.也与所求平面的法向量也与所求平面的法向量且且）1, 2 , 3( n所以，所求平面的法向量可取为所以，所求平面的法向量可取为)13, 8 , 1(123232 kjins由点法式，得所求平面方程为：由点法式，得所求平面方程为：0)2(13)2(8)1( zyx09138 zyx：即即注：注：该题也可用平面束取解该题也可用平面束取解.平面束 0022221111dzcybxadzcybxa由由方方程程组组设设直直线线 l.,222111不成比例不成比例与与确定，其中系数确定，其中系数cbacba：我们建立三元一次方程我们建立三元一次方程0)()(22221111 dzcybxadzcybxa 的的任任意意常常数数，为为不不同同时时为为，其其中中0 直线直线l的平面束方程的平面束方程(plane pencil)例例9 9解解.02:01012:上的投影直线的方程上的投影直线的方程在平面在平面求直线求直线 zyxzyxzyxl的平面