第三章重积分及其应用第四节重积分的应用

1、第四节第四节 重积分的应用重积分的应用1曲面的面积曲面的面积2物理应用物理应用1. 能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是所求量是 对区域具有可加性对区域具有可加性 从定积分定义出发从定积分定义出发 建立积分式建立积分式 用微元分析法用微元分析法 (元素法元素法) 分布在有界闭域上的整体量分布在有界闭域上的整体量 3. 解题解题要点要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、画出积分域、选择坐标系、确定积分序、 定出积分限、计算要简便定出积分限、计算要简便 2. 用重积分解决问题的用重积分解决问题的方法方法 已经学过的利用重积分解决的问题已经学过的利用重积分解决的问

2、题1 平面区域平面区域d的面积的面积 ddxdy 2 曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 ddxdyyxfv),(3 平面薄片平面薄片d的质量的质量dxdyyxmd),( 4 空间物体空间物体 的体积的体积 dxdydzv5 空间物体空间物体 的质量的质量 dxdydzzyxm),( xyzo例例1 求物体求物体, 1)1(:222 zyx22yxz 的体积。的体积。4 cos2 r22(1)1yz2x 2zy 2x 解解在球坐标系下空间立体在球坐标系下空间立体: cos20 r40 20 所占区域为所占区域为则立体体积为则立体体积为 dxdydzv cos202drr dsincos316403

3、40dsin 20d一一 曲面面积曲面面积 z tn),(zyxmda d xyozz n da dp设光滑曲面设光滑曲面dyxyxfz ),( , ),(:则面积则面积 a 可看成曲面上各点可看成曲面上各点m处小切平面的面积处小切平面的面积 d a 无限积累无限积累设它在设它在 d 上的投影为上的投影为 d ,则则而成而成.adcosd ),(),(11cos22yxfyxfyx d),(),(1d22yxfyxfayx (称为称为面积元素面积元素)故有曲面面积公式故有曲面面积公式 d),(),(122 dyxyxfyxfayxyzxzaddd)()(122 即即若光滑曲面方程为若光滑曲面方

4、程为zyzxyxayzddd)()(122 ,),( , ),(zydzyzygx 则有则有 zxdxzxyzyadd)()(122若光滑曲面方程为若光滑曲面方程为 ,),( , ),(xzdxzxzhy 则有则有zxyo2z 1z 229xzy 例例2 求球面求球面9222 zyx为平面为平面, 1 z2 z所夹部分的曲面面积。所夹部分的曲面面积。解解该曲面可以看成该曲面可以看成球面球面229yxz 落落在在85:22 yxd部部分，分，85xyo5 8 dyxdxdyzza221dxdyyxd 2293 85293 d 20d 6 例例3 求圆锥面求圆锥面22yxz 夹在两圆柱面夹在两圆柱

5、面yyxyyx2,2222 之间的那部分面积之间的那部分面积解解xyzo22yxz 落在落在yyxyd2:22 内的那部分面积内的那部分面积 dyxdxdyzza221 ddxdy2324 2()4 例例4 求球面求球面2222rzyx 的面积。的面积。解法一解法一球面的面积为上半球面球面的面积为上半球面222yxrz )(222ryx 的两倍，的两倍， 由于由于 xz222yxrx yz222yxry 221xxzz222yxrr 其在其在222ryx 无界，无界， 所以取所以取)(:2222rayxda adadxdyyxrra222 adrdrd22 ardrd02220 )(222ar

6、rr )(222arrraa a ralim2 ralim224 r 解法二解法二设球面方程为设球面方程为 rr 球面面积元素为球面面积元素为 ddsind2ra 0202dsindra24r 利用球坐标方程利用球坐标方程.xyzo d d sinr drsin rdr二二 物理应用物理应用1 物体的质心物体的质心设平面有设平面有n个质点个质点, ) ,(kkyx其质量分别其质量分别, ),2,1(nkmk 由力学知由力学知, 该质点系对该质点系对y, x 的静矩的静矩,1 nkkkymxm,1 nkkkxmym分别位于分别位于为为为为),(yx如果把质点组的质量集中在一点如果把质点组的质量集

7、中在一点使得质点组使得质点组对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对对各坐标轴的静矩等于质点组的质量集中在该点后对相同的轴的静矩，相同的轴的静矩， 那么该点就称为该质点组的质心，那么该点就称为该质点组的质心，因此因此 niiniiiymxmmmx11 niiniiixmymmmy11如果如果xoy面薄片面薄片d， 面密度函数为面密度函数为),(yx 则在则在d上任上任取含有点取含有点),(yx的面积元素的面积元素, d则其对则其对y，x的静矩分别的静矩分别为为 dyxxdmy),( dyxydmx),( 薄片薄片d 对对y，x的静矩为的静矩为 dyyxyxxmdd),( dxyxyxym

8、dd),( 薄片薄片d的总质量为的总质量为 dyxyxmdd),( yxyxyxyxxxdd dd),(dd),( ,1时时 ,ddayxxxd ayxyyd dd其中其中a 为为 d 的面积的面积得得d 的的形心坐标形心坐标:质心坐标为质心坐标为yxyxyxyxyydd dd),(dd),( 同理可得体密度为同理可得体密度为 zyxzyxzyxzyxyyddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxzzddd),(ddd),( zyxzyxzyxzyxxxddd),(ddd),( ),(zyx 的空间物体的空间物体 的质心的质心,1),(时时当当 zyx 则得形心坐标：则得形心坐标：,d

9、ddvzyxxx ,dddvzyxyy vzyxzz ddd 的体积的体积为为 zyxvddd4例例5 求位于两圆求位于两圆 sin2 sin4 和和的形心的形心. 2d解解: 利用对称性可知利用对称性可知0 x而而 dyxyaydd1 d ddsin312 dsin4sin22 4056sin9d 2956 dsin2956204 37 0dsin31 43 212 oyxcxyo例例6 设面密度函数为设面密度函数为,),(22yxyx 求由求由, 0 y1, xxy围成的三角形簿片的质心。围成的三角形簿片的质心。解解 ddxdyyxm)(22 10022)(xdyyxdx31 dydxdy

10、yxxm)(22 10022)(xdyyxxdx154 dxdxdyyxym)(22 10022)(xdyyxydx203 mmxy 54 mmyx 209 xy 124zy xzy例例7求由求由0,422 zyxz所围均匀物体的所围均匀物体的质心质心2x 2o解解24z 设物体体密度为设物体体密度为 由对称性由对称性. 0, 0 yx4 dxdydzm dzdd 240 dz 20 d 20d8 zdxdydz dzddz 240 zdz 20 d 20d364 38 z2 转动惯量转动惯量质量为质量为m的质点的质点m对定轴对定轴l的转动惯量为的转动惯量为,2mril 其其中中r为为m到轴到

11、轴l的距离，的距离，质点组对轴质点组对轴l的转动惯量为各质点的转动惯量为各质点的转动惯量的总和，的转动惯量的总和，设物体占有空间区域设物体占有空间区域 , 有连续分布的密度函数有连续分布的密度函数. ),(zyx 该物体位于该物体位于(x , y , z) 处处vzyxyxd),()(22 因此物体因此物体 对对 z 轴轴 的的转动惯量转动惯量: zyxzyxyxizddd),()(22 zid的的微元微元故连续体的转动惯量可用积分计算故连续体的转动惯量可用积分计算. xyzo( , , )m x y zdv对对z 轴的转动惯量为轴的转动惯量为dv类似可得类似可得: zyxzyxixddd),

12、( zyxzyxiyddd),( zyxzyxioddd),( )(22zy )(22zx )(222zyx 对对 x 轴的转动惯量轴的转动惯量对对 y 轴的转动惯量轴的转动惯量对原点的转动惯量对原点的转动惯量 dxdydzzyxiyz),( 2x dxdydzzyxizx),( 2y如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面面密度为密度为dyxyx ),(),( dxyxyxidd),( 则转动惯量的表达式是二重积分则转动惯量的表达式是二重积分.2y2x)(22yx dxdydzzyxixy),( 2z分别称为对分别称为对xoyzoxyoz,面的面的转动惯量转动惯量。则则;xyzxxiii ;

13、xyyzyiii yzzxziii dyyxyxidd),( dxyxyxidd),( 例例8 求由求由2,292 xxy所围的均匀薄片对所围的均匀薄片对yx,轴的转动惯量。轴的转动惯量。xyo292yx )3 , 2()3, 2( 解解 dxdxdyyi2 2922ydx 332dyy 572 dydxdyxi2 29222ydxx 33dy 796 :d2229 xy33 y 例例9 求密度为求密度为 的均匀球体对于球心的一条轴的均匀球体对于球心的一条轴l的的转动惯量转动惯量. vyxizd)(22 解：解：| ),(2222azyxzyx 所求转动惯量即球体对于所求转动惯量即球体对于z轴

14、的转动惯量为轴的转动惯量为 dddsin)sinsincossin(2222222rrrr取球心坐标原点，取球心坐标原点，z轴与轴轴与轴l重合，又设球的重合，又设球的半径为半径为a， adrr04 dins30 20d5158a ma252 其中其中 为球体的质量为球体的质量. 334am 则球体所占空间闭区域则球体所占空间闭区域例例10 求均匀圆柱体求均匀圆柱体10 , 122 zyx对对yoz 面面的转动惯量。的转动惯量。解解设体密度为设体密度为, dxdydzxiyz2 dzdd 22cos 10dz 103 d 202cosd41 m41 3 引力引力量的质点的引力近似地为量的质点的引

15、力近似地为),(zyx ),(zyx 设物体占有空间有界闭区域设物体占有空间有界闭区域，它在点它在点(x,y,z) 处的处的密度为密度为并假定并假定在在上连续上连续.在物体在物体内任取一直径很小的闭区域内任取一直径很小的闭区域dv (这闭区域的体积也记作这闭区域的体积也记作dv)， (x,y,z)为这一小块中的一点为这一小块中的一点.把这一小块物体的质量把这一小块物体的质量dv近似地看作集中在点近似地看作集中在点(x,y,z)处处.于是按两质点间的引于是按两质点间的引力公式力公式， 可得这一小块物体对位于可得这一小块物体对位于),(0000zyxp处单位质处单位质 fd000333()()()d , d,xxyyzzgv gdvgvrrr d,d,dzyxfff,)()()(202020zzyyxxr fd其中其中zyxdfdfdf,为引力元素为引力元素在三个坐标轴上的在三个坐标轴上的分量分量，g为引力常为引力常数数. 将将zyxdfdfdf,在在上分别积分，即得上分别积分，即得 ,zyxffff vrzzgd)(30 ,d)(30 vryyg ,d)(30vrxxg xoy,d),(yx 设有一平面薄片，占有设有一平面薄片，占有面上的闭区域面上的闭区域度为度为面密面密则该薄片对质量为则该薄