2014年新课标高考真题全国二卷文科数学

1、2014年新课标高考真题全国二卷文科数学一、单选题1.设集合4 = -2,0,2、5 = 不，一工一2 = 0,则入门8=()A. 0B. 2C. 02.7 e 1 + 3i计算口A. 1 + 2;B. -1 + 2/C. 1-2/D. 2D. -1-2Z试卷第5页，总5页3.函数/(%)在 = %o处导数存在,若p：/'(%o) = 0,q：x =%o是f(x)的极值点,则()A. p是q的充分必要条件B. p是q的充分条件，但不是q的必要条件C. P是q的必要条件但不是q的充分条件 D. p既不是q的充分条件，也不是q的 必要条件4,设向量万万满足|2+5 = Ji方，-5 =、历

2、，则，4=()A, 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列册的公差是2,若。2，4，的成等比数列，则册的前几项和% =()A. n(n + 1)B. n(n - 1)C.D.226.如图，网格纸上正方形小格的边长为1 (表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三 视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部 分的体积与原来毛坯体积的比值为()7,正三棱柱A5C 4瓦Q的底面边长为2,侧棱长为。为BC中点，则三棱锥A -的体积为BD,正28.执行如图的程序框图,如果输入的，t均为2,则输出的5=()x+y-l>09.若x,y满足卜一丁一1<0 ,

3、则Z = x+2y的最大值为( x-3y+3>0D. 7)A. 8B. 7C. 2D. 110.设/为抛物线C:)=3x的焦点，过尸且倾斜角为30的直线交C于A，3两点,则 AB=（）A.B. 6C. 12D. 77311 .若函数/（X）二丘一Inx在区间（L+co）上单调递增，则实数上的取值范围是（）A.（V,-2B.C. 2,+8）D. 1,+8）12 .设点“（%），若在圆。：/十,尸=1上存在点N,使得/OMN = 45。，则%的 取值范围是（）A. T,lB. 一；、； C.一"何 D. 一§¥二、填空题13 .甲，乙两名运动员各自等可能地从红、

4、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他 们选择相同颜色运动服的概率为.14 .函数/（工） = sin（x + Q）-2sin 0co"的最大值为.15 .偶函数y 二f（x）的图像关于直线.元:2对称，（3） = 3,则.16 .数列2J满足4 =一,4=2,则/=.1 - q三、解答题17 .四边形的内角X与。互补，且3 = LBC = 3；8 = ZM = 2.（1）求C和助；（2）求四边形的面枳.18 .如图，四棱锥产一A5C3中，底面46co为矩形，Q4_LiSA5C。，E为PD的 中占I Zwvi （1）证明：P8/平面AEC;（2）设AP = 1，AD = 0 三棱锥的

5、体枳V =，求A到平面PBC的 4距离.19.某市为了考核甲，乙两部门的工作情况，随机访问了 50位市民，根据这50位市民对这两部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下:甲部门乙部门35 9440448975122456677789976653321106011234688)83777665555544433321007001134496655200812334563222090114561000 0（1）分别估计该市的市民对甲，乙两部门评分的中位数：（2）分别估计该市的市民对甲，乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲，乙两部门的评价.20 .设匕，F

6、,分别是椭圆C：二十=1（。沙0）的左、右焦点，M是C上一 'a b点且Mg与x轴垂直，直线与C的另一个交点为N.3（1）若直线A/N的斜率为一，求C的离心率；4（2）若直线MN在y轴上的截距为2,且|用叫=月耳N|,求o, b.21 .已知函数/。）=犬3V + ar + 2,曲线），= /0）在点（0,2）处的切线与x轴交点 的横坐标为-2.（1）求。；（2）证明：当女1时，曲线y =与直线），二丘一2只有一个交点.22 .如图，夕是圆。外一点，P4是圆。的切线，A为切点，割线尸6c与圆。交于8,C, PC = 2PA,。为尸C中点，A3的延长线交圆。于点上，证明： BE = EC

7、；Q）ADDE = 2PB'A.23 .在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为0 = 2cos&8 £ 0,-.2（1）求C得参数方程；（2）设点。在C上，C在。处的切线与直线/：），= J?x + 2垂直，根据（1）中你得 到的参数方程，确定。的坐标.24 .设函数/（X）=|x+3+|x-d（40）(1)证明：f(x) > 2 ；（2）若/（3）5,求。的取值范围.试题分析：由已知得，«42 =。2 劭，又因为。力是公差为2的等差数列，故(。2 + 2d)2 = a2 . (a2 + 6d), (

8、a2 + 4)2 = a2 - (a2 + 12),解得a2 = 4,所以= a2 + (n - 2)d = 2n,故与 = 出手="(九+ 1).【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和.6. C【解析】试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体.其中小圆柱底面 半径为2、高为4,大圆柱底面半径为3、高为2,则其体积和为乃又2葭4+乃乂3葭2 = 347， 而圆柱形毛坯体积为产x32x6 = 544，故切削部分体积为20不，从而切削的部分的体积与 原来毛坯体积的比值为生 =.54万 27考点：三视图.7. C【解析】试题分析：如下图所示

9、，连接A3,因为MBC是正三角形，且。为6c中点，则AO _L 6C, 又因为54_1面45(7,故且34 cBe = 3,所以总_1面6。£4,所以4。是三棱锥 4 - 6QG 的高，所以 VA_HDCi = SdcJ AO = § xx W = 1.考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体枳.8. D【解析】试题分析：输入x = 2,£ = 2,在程序执行过程中，M,S,k的值依次为M = 1,S = 3,k = 1；M = 2,S = 5,k = 2；M = 2,S = 7,k = 3,程序结束，输出S = 7.考点：程序框图.9. B【解析】试题

10、分析：作出题设约束条件可行域，如图AA5C内部(含边界)，作直线/：x+2) = 0, 把直线/向上平移，Z增加，当/过点5(3,2)时，z = 3 + 2x2 = 7为最大值.故选B.考点：简单的线性规划问题.10. C【解析】试题分析：由题意，得尸，0).又因为k = tan300=正，故直线AB的方程为 43)=孚。一土)，与抛物线)F=3x联立，得16/- 168x+9 = 0，设，乂工取公,先),由抛物线定义得，AB =X+x2 + p =1683 1r d1 = 12 , C.16 2考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义.11. D【解析】【分析】【详解】试题分析：r(x)

11、 = fr-, 二函数/(x) = "-lnx在区间(1,+8)单调递增，口f国之0在 . 1区间(L+8)上恒成立.0>-,而丁 =，在区间(L”)上单调递减，3k>l . 口女的取值 范闱是L+8)故选D.考点：利用导数研究函数的单调性.12. A【解析】试题分析：依题意，直线MN与圆。有公共点即可，即圆心O到直线MN的距离小于等于1即可，过。作。4_LMN,垂足为A,在R/AOM4中，因为/OM4 = 45°，故OA = OMsin45Q =-OM KI,所以依必九，则比:+ 1夜，解得一1考点：1、解直角三角形：2、直线和圆的位置关系.113.-3【解析

12、】试题分析：事件“甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服种选择1 种”包含的基本事件有（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）共9个；记”他们选择相同颜色运动服”为事件A,则事件A3 1包含的基本事件有（红，红），（白，白），（蓝，蓝）共3个；所以尸（月）=§=5.考点：古典概型.14. 1【解析】试题分析： 由己知得，/（x） = sinxcoscp + cosxsin（p 2cosxsin（p = sinxcostp cosxsin（p =sin (% cp)< 1，故函数/(x) =血(尢

13、+0)-2血0C8X的最大值为I.考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质.15. 3【解析】试题分析：因为y =力工)的图像关于直线工=2对称，故八3)= /(1)= 3,又因为y = /(冷是偶函数，故/(1) = /(1) = 3.考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性.116.-.2【解析】试题分析：由已知得，an=l一一, 4=2,所以久=1 J- = 2，42% = 1= - 19 a 5 =1= 2，a5 za4生考点：数列的递推公式.17. (1) C = 60°, 5O = a； (2) 2G【解析】试题分析：(1)连接50.在AA6O和AC5D中，

14、利用余弦定理列等式BD2 = BC2 +CD2-2BCCDcosC 和 BD2 = AB2 + DA2-2AB DAcosA ,且 cosC =-cosA ,代入数据得 13-12cosC =5 + 4cosC,求cosC的值，进而求C和助的值；(2)由(1)知AA6。和a力。的面积 可求，故四边形工5co等于 枷。和ACE)的面积.（1）由题设及余弦定理得5厅25CC0cosC = 13-12cosC. 口BD2 = AB2 + DA2 - 2AB - DAcosA =5 + 4cosC. J由匚得cosC ='，故C = 60°, BD = ".2(2 ) 四边

15、形 工BCD 的 面 积 s = -AB- DAsinA + -BC- CDsinC 22/11S = xlx2 + x3x2 sin60°122)=2 5/3 .考点：1、余弦定理；2、诱导公式；3、三角形的面积公式.18. （1）证明见解析（2） A到平面尸6c的距离为士叵13【解析】【分析】【详解】试题分析：（1）连结BD.AC相交于O,连结OE,则PBjOE,由此能证明PB平面ACE.（2） 以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求 出A到平面PBD的距离试题解析：（1）设BD交AC于点O,连结EO.因为ABCD为矩形，所以O为BD的

16、中点.又E为PD的中点，所以EO8B又EOU平面AEC, PB2平面AEC所以PB二平面AEC.（2） V = -PA AB-AD = AB66由厂=也，可得xs=;. 42作工H _ F8交P出于H .由题设易知一平面PUB ,所以3C _工巴 又A”=PA A8 =大叵 所以乂到平面PBC的距离为三昼PB 1313法2：等体积法V = -PAABAD = AB66由尸二正，可得月3 = ：. 42由题设易知3C 一平面PT3，得BC_烟假设/到平面F3C的距离为d,又因为pb=7F+1F 二丹以 * 月-prc =二乂 一 乂 “3 *x G =d)2212'A-PBC = P-A

17、BC »考点：线面平行的判定及点到面的距离19. （1）该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数的估计值分别为75,67； （2） 0.1,0.16：（3）详见解析.【解析】试题分析：（1）50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第25, 26位的平均数即为甲部门评分的中位数.同理可得乙部门评分的中位数.（2）甲部门的评分高于90的共有5个，58所以所求概率为二；乙部门的评分高于90的共8个，所以所求概率为一.（3）市民对甲5050部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，且甲部门的评分较集中，乙部门的评分相 答案第7页，总12页对分散，即甲部门的评分的方差比乙部门的评分的方差小.试

18、题解析：解：（1）由所给茎叶图知，将50名市民对甲部门的评分由小到大排序，排在第 25, 26位的是75, 75,故甲样本的中位数为75,所以该市的市民对甲部门评分的中位数估 计值是75.50位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第25, 26位的是66, 68,故样本中位数为 处a =67,所以该市的市民对乙部门评分的中位数的估计值是67.258（2）由所给茎叶图知,50位市民对甲，乙部门的评分高于90的比率为芯=01，否=016, 故该市的市民对甲，乙部门的评分高于90的概率的估计分别为o.L0.16 ；（3）由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于乙部门的评分的中位数，而且由 茎叶

19、图可以大致看出对甲部门的评分的标准差要小于乙部门的评分的标准差，说明该市市民 对甲部门的评价较高，评价较为一致，对乙部门的评价较低，评价差异较大.（注：考生利 用其它统计量进行分析，结论合理的同样给分）.考点：1平均数，古典概型概率；2统计.20. （1） C 的离心率为，；（2） 4 = 7, b = 2y/l.2【解析】试题分析：（1）根据点M在椭圆上，并且与x轴垂直，得到点M的坐标，lw=也田再结合椭圆基本关系式转化为关于a,c的齐次方程，两边同时除以即可求得离心率；（2）根据中位线的几何关系，可得一 " ,又根据条件 '"' = 5用入可求得点n的坐

20、标，而点N在椭圆上，代入椭圆方程，再结合椭圆基本关系 式/=铲+屋，即可求得椭圆方程.试题解析：（1）记c = 42 一2 ,则6（_c,0）,K（c,0）,由题设可知M C,I。）£则 Kwn = A&w =彳 n 2匕=3ac ,1 2c 4cr -c2 =3ac=>e = £ = gWe = £ = -2（舍去）；(2)记直线MN与y轴的交点为D(0,2),则= 4n7=4二,：MN = 5"N,.西=2耶=> N 主，1 , I 2 J9c21将N的坐标代入椭圆方程得三+3=1 4c b'由及c?=这一万1得标=49,

21、Z?2 = 28 ,22故所求椭圆C的方程为工+工=1.49 28考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.21. (1) « = 1； (2)详见解析.【解析】试题分析：(1)fx) = 3x2-6x+at由导数的几何意义得k = /'(O) = a,故切线方程为 y = ax + 2t将点(-2,0)代入求a ； (2)曲线y =/(x)与直线y =丘一2只有一个交点转化 为函数g(R)= /(x)丘+2 = f3/+(l k)x + 4有且只有零点.一般思路往往利用导 数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与x轴只有一个交点.本题 首先入手点为左&

22、lt;1,当 xVO 时，g'(x)>0,且 g(-l) = "l<0, g(0) = 4,所以 g(x) = O 在(一%0)有唯一实根.只需说明当x>0时无根即可，因为Q k)x>0,故只需说明 /?(x) = x3-3x2+4> 0,进而转化为求函数/?(x)的最小值问题处理.(1)fx) = 3x2-6x + a,尸(0) =。.曲线y = "x)在点(0,2)处的切线方程为2y = ax + 2.由题设得，一一=-2,所以a = l. a(2)由(1)得，/(x) = r-3M+ x+2.设g(x) = f(x)-kx+2 =

23、 x5-3x2 +(l-k)x+4 .由题设得l-k>0.当x<0时， gx) = 3x2-6x + l-k>0, g(x)单调递增，g(l) = k 1<0, g(0) = 4,所以g(x) = 0在(-8,0)有唯一实根.当x>0时，令(3 = 丁-3犬+4,则g(x) = h(x) + (i-k)x>h(<x). hx) = 3x2- 6x = 3x(x-2) , (x)在(0,2)单调递减;在(2,+8)单调递增.所以g(x)>(x)/(2) = 0.所以g(x)=0在(0,+oo)没有实根,综上,g(x尸0在r上有唯一实根，即曲线y =

24、 /(x)与直线y =履一2只有一个交点.考点：1、导数的几何意义：2、利用导数判断函数单调性；3、利用导数求函数的最值.22. (1)详见解析；(2)详见解析【解析】试题分析：(1)要证明BE=EC,只需证明弦BE, EC所对的圆周角相等，连接AB.AC ,故只需证明由= 得NE4£>=NPD4,为了和所求证的角建立联系/PD4=/a4C+/DC4, ZPAD= ZBAD+ ZPAD ,从而可证明，进而证明5X = EC；(2)由结论很容易想到相交弦定理AZ>OE=5Z>OC,故只需证明2P62 = 8O-OC，由切割线定理得PA? = P8尸C，且A4 = P£)= OC易证.(1)连接A5,AC.由题设知，/% =尸。,故4£>=/。n4.因为APDA=ZDAC+ ZDCA, ZPAD= ZBAD+ ZPAD, ZDCA=ZPAB 以ADAC=Z.BAD,从而 be = EC -因此 BE = EC.(2)由切割线定理得尸A? = PS PC.因为PA = PD = DC,所以DC = 2PB,BD = PB,由相交弦定理得AD- DE=BD DC,所以AD DE = 2PB2 .考点：1、圆