第七节傅里叶级数

1、上页 下页 返回 结束 第七节第七节一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 二、函数展开成傅里叶级数二、函数展开成傅里叶级数三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数 第十二章 傅里叶级数傅里叶级数 上页 下页 返回 结束 简单的周期运动简单的周期运动 :)sin(tay(谐波函数谐波函数)( a为为振幅振幅, 复杂的周期运动复杂的周期运动 :)sin(10nnntnaaytnatnannnnsincoscossin令令,200aa,sinnnnaa,cosnnnabxt得函数项级数得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk 为为角频率角频率,为为初相

2、初相 )(谐波迭加谐波迭加)称上述形式的级数为称上述形式的级数为三角级数三角级数.问题：问题： 满足什么条件能展开成三角级数满足什么条件能展开成三角级数？二、如果能展开，系数怎样求？二、如果能展开，系数怎样求？三、展开后的级数在哪些点上收敛于三、展开后的级数在哪些点上收敛于)(xf)(xf一、一、？一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性上页 下页 返回 结束 xxnkxnkd)cos()cos(21定理定理 1. 组成三角级数的函数系组成三角级数的函数系,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx证证:1xnxdcos1xnxdsi

3、n0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos00dsinsinxxnxk同理可证同理可证 :),2, 1(nxnkxnk)(cos)(cos21上在,正交正交 ,上的积分等于上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在即其中任意两个不同的函数之积在0dsincosxxnxk)(nk 上页 下页 返回 结束 上的积分不等于上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n,22cos1cos2xnxn22cos1sin2xnxn且有且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 上页 下页 返回

4、结束 定理定理 2 . 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 且且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分右端级数可逐项积分, 则有则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn证证:.)1(0a求求xkxbkxaxaxxfkkkd )sincos(d2d)(10 二、二、函数展开成傅里叶级数函数展开成傅里叶级数上页 下页 返回 结束 ,220 a.d)(10 xxfa则则xkxbxkxaxakkkkdsindcosd2110 .)2(na求求 xnxaxnxxfdcos2dcos)(0dco

5、ssindcoscos1 xnxkxbxnxkxakkkxkxbkxaxaxxfkkkd )sincos(d2d)(10 10)sincos(2)(kkkkxbkxaaxf上页 下页 返回 结束 xnxandcos2, na xnxxfandcos)(1则则)., 3 , 2 , 1( n.)3(nb求求 xnxxfbndsin)(1则则)., 3 , 2 , 1( n xnxaxnxxfdsin2dsin)(0dsinsindsincos1 xnxkxbxnxkxakkk, nb上页 下页 返回 结束 ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfb

6、nxnxxfann傅里叶系数傅里叶系数代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数代入傅里叶系数的三角级数称为傅里叶级数 10)sincos(2nnnnxbnxaa问题问题: : 10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件条件在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数在什么条件下函数可以展开成傅里叶级数? ?上页 下页 返回 结束 设设 f (x) 是周期为是周期为2 的的周期函数周期函数, 并满足并满足狄利克雷狄利克雷( dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点在一个周期内只有

7、有限个极值点, 则则 f (x) 的傅的傅里里叶级数收敛叶级数收敛 , 且有且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点为间断点其中其中nnba ,( 证明略证明略 )为为 f (x) 的傅的傅里里叶系数叶系数 . x 为连续点为连续点定理中所要求的条件，定理中所要求的条件，一般的初等函数与分一般的初等函数与分段函数都能满足，这段函数都能满足，这就保证了傅就保证了傅里里叶级数叶级数广泛的应用性广泛的应用性. .定理定理3 3 ( (收敛定理收敛定理, , 展开定理展开定理) )上页 下页 返回 结束 xyo)(xfy -xyo)(xfy - 函数展开

8、成傅立叶级数的条件比展开成幂级函数展开成傅立叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多数的条件低得多. .,)()(21)( xfxfxfxc记记的傅里叶级数展开式的傅里叶级数展开式上就成立上就成立在在)(xfc., )sincos(2)(10cxnxbnxaaxfnnn 上页 下页 返回 结束 例例1. 设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上的表达式为上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅先求傅里里叶系数叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级

9、数叶级数. oyx11上页 下页 返回 结束 xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx上页 下页 返回 结束 ),2,0,(xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 将将 f (x)看成矩形波，傅看成矩形波，傅氏级数表明，它可以用无氏级数表明，它可以用无穷多次奇次谐波的和去替穷多次奇次谐波的和去替代代.傅氏级数的部分和逼近傅

10、氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11说明说明:), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图的情况见右图.上页 下页 返回 结束 xoy例例2.上的表达式为上的表达式为),xxxxf0,00,)(将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设设 f (x) 是周期为是周期为 2 的周期函数的周期函数 , 它在它在 上页 下页 返回 结束 ), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1

11、(),2,1(k12 knkn2, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当当) 12(kx时时, 级数收敛于级数收敛于22)(0上页 下页 返回 结束 ),()()()2( xfxft周期延拓周期延拓)()(21 ff端点处收敛于端点处收敛于即非周期函数，即非周期函数，上有定义，上有定义，只在区间只在区间如果函数如果函数,)( xf并且满足收敛定理的条件，并且满足收敛定理的条件，可利用周期

12、的延拓展开成傅里叶级数，可利用周期的延拓展开成傅里叶级数，).(2,(,xf的周期函数的周期函数成周期为成周期为拓广拓广外补充函数定义，把它外补充函数定义，把它或或在在 )上页 下页 返回 结束 , )(xxf周期延拓周期延拓)(xf傅傅里里叶展开叶展开,)(在xf上的傅上的傅里里叶级数叶级数定义在定义在 , 上的函数上的函数 的傅氏级数展开法的傅氏级数展开法), , )(xxf, )2(kxf其它其它)(xf上页 下页 返回 结束 解解所给函数满足狄利克雷充分条件所给函数满足狄利克雷充分条件. .).(,xf收敛于收敛于里叶级数展开式在里叶级数展开式在拓广的周期函数的傅拓广的周期函数的傅 x

13、y0 2 2 .0,0,)(展展开开成成傅傅里里叶叶级级数数，将将函函数数 xxxxxf例例3 3计算傅里叶系数计算傅里叶系数 xxfad)(10 00d1d)(1xxxx, 上页 下页 返回 结束 xnxxfandcos)(1 00dcos1dcos)(1xnxxxnxx)1(cos22 nn1)1(22 nn , 2 , 1,2, 0, 2 , 1, 12,)12(42kknkknk上页 下页 返回 结束 xnxxfbndsin)(1 00dsin1dsin)(1xnxxxnxx, 0 12)12cos()12(142)(nxnnxf)( x所求函数的傅氏展开式为所求函数的傅氏展开式为),

14、 3 , 2 , 1( n上页 下页 返回 结束 1. 周期为周期为2 的的奇、偶函数的傅里叶级数奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为对周期为 2 的的奇奇函数函数 f (x) , 其傅里叶其傅里叶级数级数为为),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn正弦级数正弦级数,它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为 ), 2 , 1(,dsin)(1), 2 , 1 , 0(,dcos)(1nxnxxfbnxnxxfann周期为周期为2 的的偶偶函数函数 f (x) , 其傅里叶级数为其傅里叶级数为余弦级数余弦级数 ,),2,1,0( dcos)(20nxnxxfa

15、n),3,2,1( 0nbn它的傅它的傅里里叶系数为叶系数为三、正弦级数和余弦级数三、正弦级数和余弦级数上页 下页 返回 结束 例例4. 设设的的表达式为表达式为 f (x)x ,将将 f (x) 展成傅展成傅里里叶级数叶级数.是是周期为周期为2 的周期函数的周期函数,它在它在上),)(xf解解: 若不计若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为周期为 2 的奇函数的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn上页 下页 返回 结束 n1根据收敛定

16、理可得根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数的正弦级数:)(xf,(x)3sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和级数的部分和 n2n3n4上在),逼近逼近 f (x) 的情况见右图的情况见右图.n5上页 下页 返回 结束 非周期函数的奇延拓与偶延拓非周期函数的奇延拓与偶延拓).(2, 0)(xfxf函数函数为周期的为周期的延拓成以延拓成以上上定义在定义在设设 ,0)(0)()( xxgxxfxf令令),()2(xfxf 且且则有如下两种情况则有如下两种情况: 偶延拓偶延拓奇延拓奇延拓上页 下页 返回 结束 奇延拓奇延

17、拓:)()(xfxg . 0),(, 0, 0,0),()(xxfxxxfxf则则xy0 的正弦级数展开式的正弦级数展开式)(xf 1sin)(nnnxbxf)0( x上页 下页 返回 结束 偶延拓偶延拓:)()(xfxg . 0),(,0),()(xxfxxfxf则则的余弦级数展开式的余弦级数展开式)(xf 10cos2)(nnnxaaxf)0( xxy0 上页 下页 返回 结束 1xyo例例5. 将函数将函数)0(1)(xxxf分别展成正弦级分别展成正弦级数与余弦级数数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数先求正弦级数. 去掉端点去掉端点, 将将 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓,0ds

18、in)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnnxnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1k上页 下页 返回 结束 nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意: 在端点在端点 x = 0, , 级数的和为级数的和为0 ,与给定函数与给定函数1xyo因此得因此得 f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 上页 下页 返回 结束 再求余弦级数再求余弦级数.x1y将将)(xf则有则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓作偶周期延拓 ,上页 下页 返回 结束 法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具.