第七节泰勒公式

1、第七节第七节 泰勒泰勒( (taylor) )公式公式一、问题的提出一、问题的提出二二、泰勒、泰勒( (taylor) )中值定理中值定理三三、简单的应用、简单的应用一、问题的提出1 1. .设设)(xf在在0 x处处连连续续, ,则则有有2 2. .设设)(xf在在0 x处处可可导导, ,则则有有例例如如, , 当当| x很很小小时时, , xex 1 , , xx )1ln( )()()()(0000 xxoxxxfxfxf （如下图）（如下图）)()(0 xfxf )()()(0 xxfxf )()()(000 xxxfxfxf f(x)在在 x=x0 处的处的一次近似式一次近似式xey

2、 xy 1oxey oxy )1ln(xy 一次近似的不足一次近似的不足:问题问题:寻找函数寻找函数)(xp, ,使得使得)()(xpxf 误误差差 )()()(xpxfxr 可可估估计计1、精确度不高；、精确度不高；2、误差不能估计、误差不能估计.设设函函数数)(xf在在含含有有0 x的的开开区区间间),(ba内内具具有有直直到到)1( n阶阶导导数数, ,)(xp为为多多项项式式函函数数nnnxxaxxaxxaaxp)()()()(0202010 误差误差 )()()(xpxfxrnn 二、泰勒二、泰勒( (taylor) )中值定理中值定理泰勒泰勒( (taylor) )中值定理中值定理

3、 如果函数如果函数)(xf在含有在含有0 x的某个开区间的某个开区间),(ba内具有直到内具有直到)1( n阶的导数阶的导数, ,则则当当x在在),(ba内时内时, , )(xf可以表示为可以表示为)(0 xx 的一的一个个n次多项式与一个余项次多项式与一个余项)(xrn之和之和: : )()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xrxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 其其中中10)1()()!1()()( nnnxxnfxr ( ( 在 x0与与 x 之之间间) ). . nkkknxxkxfxp000)()(!)()( nknkkxrxxkxfxf000)()()(!

4、)()(称为称为 在在 处关于处关于 的的 n 阶泰勒多项式阶泰勒多项式. . )(xf0 x)(0 xx 称为称为 在在 处关于处关于 的的 n 阶泰勒公式阶泰勒公式. . )(xf0 x)(0 xx )()(!1)()(010)1(之间之间与与在在xxxxnfxrnnn 称为称为拉格朗日型余项拉格朗日型余项.)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf 称为称为皮亚诺型余项皮亚诺型余项0)()(lim00 nnxxxxxr.)()(0nnxxoxr 即即 10)1()(!1)()( nnnxxnfxr 10)(!1 nxxnm)(!)0(! 2)0()0()0()()(2n

5、nnxoxnfxfxffxf ) 10()!1()(!)0(! 2)0()0()0()(1)1()(2 nnnnxnxfxnfxfxffxf麦克劳林麦克劳林( (maclaurin) )公式公式三、简单的应用三、简单的应用1、求函数的展开式、求函数的展开式1) 直接展开法：直接展开法：.3cos)(处的三阶泰勒公式处的三阶泰勒公式在在写出函数写出函数 xxxf例例1例例 2 2 求求xexf )(的的 n 阶阶麦麦克克劳劳林林公公式式. . 解解,)()()()(xnexfxfxf 1)0()0()0()0()( nffffxnexf )()1(注意到注意到代入公式代入公式,得得).10()!

6、1(! 2112 nxnxxnenxxxe211().2!nxnxxexo xn 或或13 .1-xn例求的 阶麦克劳林公式1x1)x( f: 令令解解1nn)n()1x(!n)1()1-x1( 1n1n)n()n()1x(!n)1()1-x1( -(x)f !n(0)f)n( )10(x)!1n()x(fx!n)0(fx!2)0(fx)0(f)0(f)x(f1n)1n(n)n(2 由由 1n2nnn2x)1x()1(xxx11x1)x( f )10( 2nn2n2n)1n()1x()!1n()1()1x()!1n()1(x)(f 常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 课本课本131页

7、页)()!12()1(! 5! 3sin121253 nnnxonxxxxx )()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )()1(32)1ln(132nnnxonxxxxx )(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnaxoxnnaaaxaaaxx 2) 间接展开法：间接展开法：.11)(0阶泰勒公式阶泰勒公式的的在在写出函数写出函数nxxxf 例例4.)1ln()(阶麦克劳林公式阶麦克劳林公式的的写出函数写出函数nxxxf 例例5例例 5 5 计算计算 403cos2lim2xxexx . . 解解)(! 2114422xox

8、xex )(! 4! 21cos442xoxxx )()! 412! 21(3cos2442xoxxex 127)(127lim4440 xxoxx原式原式2、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可计算极限、利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式可计算极限. .四、小结四、小结 1、常用函数的麦克劳林公式常用函数的麦克劳林公式 课本课本131页页 能求出函数的能求出函数的 n 阶麦克劳林公式与泰勒公式阶麦克劳林公式与泰勒公式.2 2、能利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式计算极限、能利用带皮亚诺余项的麦克劳林公式计算极限. .xy xysin 播放播放1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在

9、近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xy xysin 1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xy xysin ! 33xxy o1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xy xysin ! 33xxy o! 5! 353xxxy 1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xy xysin ! 33xxy ! 5! 353xxxy !7! 5! 3753xxxxy o1 1. .t ta ay yl lo or r

10、公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;xysin !11! 9!7! 5! 3119753xxxxxxy o1 1. .t ta ay yl lo or r 公公式式在在近近似似计计算算中中的的应应用用; ;播放播放2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2

11、2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思

12、想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .2 2. .t tayloraylor 公式的数学思想公式的数学思想-局部逼近局部逼近. .思考题思

13、考题利用泰勒公式求极限利用泰勒公式求极限3)1(sinlimxxxxexx 思思考考题题解解答答)(! 3! 21332xoxxxex )(! 3sin33xoxxx 3)1(sinlimxxxxexx333332)1()(! 3)(! 3! 21limxxxxoxxxoxxxx 3333)(! 3! 2limxxoxxx 61 一、一、 当当10 x时，求函数时，求函数xxf1)( 的的n阶泰勒公式阶泰勒公式 . .二、二、 求函数求函数xxexf )(的的n阶麦格劳林公式阶麦格劳林公式 . .三、三、 验证验证210 x时，按公式时，按公式62132xxxex 计算计算xe的近似值，可产生的误差小于的近似值，可产生的误差小于 0.010.01，并求，并求e的的近似值，使误差小于近似值，使误差小于 0.010.01 . .四、四、 应用三阶泰勒公式求应用三阶泰勒公式求330的近似值，并估计误差的近似值，并估计误差. .五、五、 利用泰勒公式求极限：利用泰勒公式求极限：1 1、xexxx420sincosl