信号系统359361

1、13-1 信号的正交函数表示信号的正交函数表示一、矢量正交概念一、矢量正交概念则称这两个矢量正交。则称这两个矢量正交。021aa1.平面空间：平面空间：若矢量若矢量2211acaca2.三维空间：三维空间：若矢量若矢量正正交交。则则称称321,aaa 两个正交矢量可构成一个平面空间，此空间任意矢量可用这两个正交矢量表示。两个正交矢量可构成一个平面空间，此空间任意矢量可用这两个正交矢量表示。332211acacaca3.n维空间：维空间：若矢量若矢量)(0jiaajinji, 1,第三章第三章 连续信号频域分析连续信号频域分析nnacacaca2211)( 0jiaaji 三个正交矢量可构成一个

2、三维空间，此空间任意三个正交矢量可构成一个三维空间，此空间任意矢量可用这三个正交矢量表示。矢量可用这三个正交矢量表示。3 ,2, 1; 3 ,2, 1ji正正交交。则则称称jiaa, n个正交矢量可构成一个个正交矢量可构成一个n维空间，此空间任意矢维空间，此空间任意矢量可用这量可用这n个正交矢量表示。个正交矢量表示。a1a2ayxz3ayuxuzu2则称则称f1(t) 和和f2(t)为正交函数。为正交函数。0 0( (t t) )d dt t( (t t) )f ff f2 2t tt t1 12 21 12.复变函数复变函数：若有若有n个复变函数个复变函数fi(t) （i=1，n）在区间）在

3、区间( t1，t2)上满足上满足上上正正交交。在在区区间间（则则称称),)(,),(211tttftfn二、正交函数：二、正交函数： 1.实变函数实变函数：若实函数若实函数f1(t) 和和f2(t)在在( t1 ，t2)上满足上满足j ji ik kj ji i0 0( (t t) )d dt tf f( (t t) )f fi ij jt tt ti i2 21 13.完备正交函数集完备正交函数集：若若f1(t) ， fn(t) 在区间在区间( t1，t2)上为正交上为正交函数集，不再存在任意函数函数集，不再存在任意函数 (t)与其正交。则与其正交。则f1(t) ， fn(t) 称称为为完备

4、正交函数集。完备正交函数集。3定理1. 若若f1(t) ， fn(t) 在区间在区间( t1，t2)上为完备正交函数集，上为完备正交函数集，则在则在 ( t1，t2)上任意函数上任意函数 f(t)可用可用表示为：表示为：( (t t) )f fc c( (t t) )f fc c( (t t) )f fc c( (t t) )f fc cf f( (t t) )n nn nk kk k2 22 21 11 121212)()()(ttkttkkdttfdttftfc其中其中（傅立叶系数）（傅立叶系数）定理2. 若若f(t)可用可用完备正交函数集完备正交函数集 f1(t) ， fn(t) 表示，

5、则表示，则 n1ktt2kktt22121dt(t)fcdttf（parserval定理）定理）物理意义：物理意义：一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数一个信号所含有的能量（功率）恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量（功率集中各分量能量（功率)之和。之和。41.三角函数集三角函数集t t) )s si in n( (n nt t) ), ,c co os s( (n n( t0，t0 +t ) , ,1 1, ,2 2, ,n n, 02.指数函数集指数函数集t tj jn ne e, ,2 2, ,1 1, ,n n, 0( t0，t0 +t ) 3.抽样函数集抽样函数

6、集4.walsh函数集函数集 n n- -t tt ts sa a ( - ， ) ( 0，1 ) , ,1 1, ,2 2, ,n n, 0, ,2 2, ,1 1, ,n n, 0t t) )w wa al l( (n n, ,5周期信号周期信号在在( t0，t0 +t )为完备正交函数集。为完备正交函数集。1.直流分量直流分量 tttdttfta00)(10余弦分量幅度余弦分量幅度（基频基频）正弦分量幅度正弦分量幅度3-2 周期信号频域分析周期信号频域分析对于周期信号对于周期信号f(t)=f(t+nt) ，当其满足狄氏条件时，可展成：，当其满足狄氏条件时，可展成：10sincos)(nn

7、ntnbtnaatft2f(t)=f(t +t )可用在可用在( t0，t0 +t )内内完备正交函数集表示。完备正交函数集表示。,.1 , 0,nt t) )s si in n( (n nt t) ), ,c co os s( (n ntttonootdtntftacos)(2tttonootdtntftbsin)(2600aa 22nnnbaa nnnabtg1 nnnaacosnnnabsin余弦形式余弦形式正弦形式正弦形式00ad nnnabtg1 nnnda sin nnndb cos 10sin)().3(nnntnddtf22nnnbad 10sincos)().1 (nnntn

8、btnaatf10)cos()().2(nnntnaatf 可见，可见， 周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线性组合。周期信号可分解为直流，基波和各次谐波的线性组合。 三角函数形式三角函数形式7求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。求下图所示周期锯齿波的傅里叶级数展开式。已知：已知：ttatf0)( , 2/2/00ttt 解：解： 220000001tttdttata3 , 2 , 1)1(1 nnan 傅里叶级数展开式为傅里叶级数展开式为： tatatf2sin2sin0基波基波直流直流谐波谐波2/2/cos)(2oottoontdtntftata2/2/sin)(2oottoont

9、dtntftatb8tjne2, 1, 0 nttjntjnttjnndteedtetff00)(在在( t0，t0 +t )为完备正交函数集。为完备正交函数集。对于周期信号对于周期信号f(t)=f(t+nt) ，当其满足狄氏条件时，可展成：，当其满足狄氏条件时，可展成：tjnnneftf)(ttjndtetft0)(100af njnnnneajbaf22njnnnneajbaf22(n0)(n0)9（1） f(t)为奇函数为奇函数 tftf 0= )(1 220ttdttfta0natntdtntftb0sin)(2200sin)(4ttdtntftnnnnjbjbaf2121（2） f(

10、t)为偶函数为偶函数 tftf 200cos)(4tntdtntfta0 nbnnnnajbaf21211020cos)(4tntdtntfta20sin)(4tntdtntftb 2ttftf 波形移动波形移动 t/2，与原波形横轴对，与原波形横轴对称，称为奇谐函数称，称为奇谐函数。f(t)的傅氏级数偶次谐波为零，即的傅氏级数偶次谐波为零，即n=1，3，5，时时 2ttftf 波形移动波形移动 t/2，与原波形重合，与原波形重合f(t)的傅氏级数奇次谐波为零，即的傅氏级数奇次谐波为零，即n=0，2，4，6，时时20cos)(4tntdtntfta20sin)(4tntdtntftb（4）f(

11、t)为偶谐函数为偶谐函数（3）f(t)为奇谐函数为奇谐函数11相位频谱相位频谱nf10)cos()(nnntnaatfnna幅度频谱幅度频谱l （1） 单边频谱单边频谱tjnnneftf)(l （2） 双边频谱双边频谱na离散谱，谱线离散谱，谱线12例例1： 请画出信号请画出信号f（t）的幅度谱和相位谱。）的幅度谱和相位谱。 42coscos2sin1)(ttttf【解【解】 余弦形式：余弦形式：42cos)15. 0cos(51)(tttf三角形式傅里叶级数系数：三角形式傅里叶级数系数：10a00236. 251a15.0112a25. 0213)42()42(2122211)(tjtjtj

12、tjtjtjeeeeeejtf42coscos2sin1)(ttttftjjtjjtjtjeeeeejej242421212112111tjnnnef2215. 0112. 1211jejf15. 0112. 1211jejf10f4221jef4221jef指数形式：指数形式：14)()()(tftftfeo21)(tfe【解【解】 21oatntdtntftb0sin)(2nncos1为为奇奇数数）（nn2例例2: 求图示周期信号的傅里叶级求图示周期信号的傅里叶级数展开式。数展开式。10sin21tdtn5sin513sin31sin221)(ttttf15t0 tt tt 1 221tt

13、tjndtetttjnntetttf1)()(例例3：求图示冲激序列的付里叶级数展开式。求图示冲激序列的付里叶级数展开式。【解【解】 ttjnndtetftf0)(1t1 周期信号频谱特点：周期信号频谱特点： 1）离散性）离散性 :频谱由频率离散而不连续的谱线组成；频谱由频率离散而不连续的谱线组成； 2）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍；）谐波性：各次谐波分量的频率都是基波频率的整数倍； 3）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。）收敛性：谱线幅度随谐波频率的增大而衰减。 16本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。本节以周期矩形脉冲信号为例，讨论频谱的特点。1 1、频谱结

14、构：、频谱结构：22111)(1tttjnndtetftf22sin1nntests412011周期周期矩形脉冲的频谱矩形脉冲的频谱55nsefantjnnneftf)(2211dteettjn17xxxsasin)()1(频频谱谱包包络络服服从从抽抽样样函函数数(2) (2) 频谱具有离散性、谐波性和衰减性频谱具有离散性、谐波性和衰减性 (3) (3) 其最大值在其最大值在n=0n=0处处 (4)(4) 零频率：使得零频率：使得f fn n=0=0的频率。的频率。mnmn22（5 5） 有效频宽：第一个零频率。有效频宽：第一个零频率。2b2.2.频谱特点频谱特点例：例：语音信号频率约为语音信

15、号频率约为 300 3400hz 音乐信号频率约为音乐信号频率约为 50 15,000hz 扩大器与扬声器有效带宽约为扩大器与扬声器有效带宽约为 1520,000hz183. 3. 频谱随参数的变化频谱随参数的变化sts41201) 1 (1sts21201)2(11010nsefan2020nsefansts1201) 3(1（1 1）设）设f ( t )中的中的 e e不变，不变， 不变，当周期不变，当周期 变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？结论：结论：当周期当周期 变大时变大时 零分量频率不变：零分量频率不变：b 或或bf不变；不变； 减小，谱线间距减小，谱线变密；减小，谱线间

16、距减小，谱线变密； 有效谱带内谐波分量增多；有效谱带内谐波分量增多； 谱线振幅减小，变化缓慢。谱线振幅减小，变化缓慢。55sin111nsetntntefan19（2 2） 设设 f ( t )中的中的 e e不变，周期不变，周期 不变，不变，当当 变化时，频谱如何变化？变化时，频谱如何变化？sts41201) 1 (155sin111nsetntntefansts4181)2(1 22nsefan结论：结论： 增大时：增大时： 不变，谱线间距相等；不变，谱线间距相等； 零分量频率减小：零分量频率减小：b 或或bf变小；变小； 有效谱带内谐波分量减少；有效谱带内谐波分量减少； 谱线振幅较大，减

17、小变化急速。谱线振幅较大，减小变化急速。202181. 0e 定义：定义：4.4.周期信号的功率周期信号的功率tdttftp02)(1计算：计算：tdttftp02)(1nnf212202nnff55nsefan例：例：求图示信号求图示信号f(t)f(t)的功率的功率。【解【解】 224232221205fffffpntdttftp02)(1%5 .905ppn40/140/124dte22 .0e210,02)4(111tett，当当周期函数周期函数 非周期函数非周期函数 （2）矩形脉冲矩形脉冲信号的频带宽度：信号的频带宽度：离散离散频谱频谱 连续频谱连续频谱112)1(tt谱谱线线间间隔隔

18、幅幅度度（3 3）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性）矩形脉冲频谱特点：离散性，谐波性，收敛性 2b 1fb或或（占有带宽与脉宽成反比（占有带宽与脉宽成反比 ）对于一般信号，对于一般信号，频带宽度频带宽度定义为幅值下降为定义为幅值下降为max101nf讨论：讨论：223-3 非周期信号频域分析非周期信号频域分析t周期信号周期信号 非周期信号非周期信号ntjnneftft)(有有限限时时，当当22)(1tttjnndtetftf离散谱离散谱 连续谱，幅度无限小连续谱，幅度无限小频谱密度函数频谱密度函数fnftnfftn122)(tttjndtetfdt2ndtetftftjn)(dtetf

19、jftj)()(单位频带上的频谱值单位频带上的频谱值tjnnneftf)(dejftjt)(2123)()()(tffdtetfjftj)()(21)(1jffdejftftj象函数象函数原函数原函数 jftf1.f(j )反映单位频率上幅值与相位分布情况，故称反映单位频率上幅值与相位分布情况，故称频谱密度函数。频谱密度函数。)(| )(|)(jejfjf|)(|jf：幅度频谱：幅度频谱 )(：相位频谱：相位频谱讨论：讨论：2. f(j )为复变函数为复变函数)(sin| )(|)(cos| )(|)(jfjjfjf jxr24 dtjfjdtjfsin21cos21 deejftftjj)(

20、21 tjxtrl 任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续指数信号之和。可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续指数信号之和。l 任意信号任意信号f(t)可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续余弦信号之和。可分解为无穷多个幅度为无穷小的连续余弦信号之和。l 任意信号任意信号f(t)可分解为实函数和虚函数之和可分解为实函数和虚函数之和。 dttf dtsinjtcosjf2125 0)(tueetft 22 ef 1 tg )(tutfjjf1)()( 0 f dtetfjftj)()(0dteeetjtje01)(jjf022j022022j26 000teeteetftt0dtee

21、etjt0dteetj ejf2 etf222e 21dtetfjftj)()(jeje0222)(ejf000ede222227 000teeteetftt222ej0101)()(tttsgntfj j2 2j jf fdtetfjftj)()(0dteeetjt0dteetjjeje0222)(jjf281 )()(ttf dtetjftj)(22sin e)()(tegtfdtetfjftj)()(2/2/dteetj2/2/jjeeje) 2/sin(2e29 2 sae je 0,tuet 2 tsgn j2 j1 tu t 1)(teg(其余见教材表其余见教材表3-2)1303-

22、4 例：例：)()(11jftf)()(22jftf)()()()(2121jbfjaftbftaf)()(tutf 210t2121 tsgn21 jt1sgn210t210 0 jjf1)( tsgn212131例例1：，若若)()(jftf)(2)(fjtf则则有有为为虚虚函函数数）（为为实实函函数数）（)()()()(tfjftfjf，若若)()(jftf，若若)()(tftf)(2)(fjtf则则有有)()(jftf则则有有。求求)(, 1)(11jftf ttf)(1)(jf)(2)(1jf例例2：。求求)(,sin)(22jftttf解：解：解：解：)2()(satg)(2)2(

23、gtsa)()(22gjf32例例3：)(sgnj，若若)()(jftf。求求)(,1)(33jfttf)(1)(ajfaatf则则例：例：。求求)(),()(2/jftegtf解：解：解：解：jtsgn2)()(22sgnjt)4(2)(saejf)()(3sgnjjf)2()(saeteg)2()()(2/tegtegtf33例：例：，若若)()(jftf)1()1()(22tgtgtf0)()(0tjejfttf。的的频频谱谱求求图图示示信信号号)()(jftf解解：)(2)(2satgjjesaesajf)(2)(2)(sin)(4saj则有则有)2()(2)2()(tutututfj

24、tu1)()(221)(1)( 21)()(jjejjejjf221)(1)( 21)(jjejjej或221121jjejjej11jjjjjjeeejeeej34，若若)()(jftf例例1：解：解：)4(232)4(21)(jejfjy)()(00jfetftj).()23()()()(4jyetftyjftftj的的频频谱谱，求求则有则有)2( tf)2(21jf)2(tf)2(21jf)32()23(tftf)23(2tf232)21jejf35。求求图图示示系系统统，已已知知)(),()(jyjftf解：解：)cos()()(ttfty2)(tjtjeetf)(21)(21)(jf

25、jfjy)()(2tgtf若若)()()(sasajy例例2)(2)(sajf则则)()(21tjtjetfetf36例例2：，若若)()(jftf。的的频频谱谱求求图图示示信信号号)()(jftf例例1：解：解：)2(1)()(sajjf1)()(ttf则有则有则有则有)()()(jfjdttfdnnn，若若)()(jftfjjffdxxft)()()0()(tdxxtu)()(j1)()()(jfjdttdf)(1)(tgdttdf)2)(sa37。求求图图示示信信号号)(),(jftf解：解：)(1)(2)(1)( ttttf)2()cos1 (2)(22sajf例例3jjeejf121

26、)()2(jeejfjj/ )121()() 1 (2)/()121()(jeejfjj注意：注意：当已知当已知f(t)的频谱求其微分后的频谱时可用微分性；的频谱求其微分后的频谱时可用微分性； 当已知当已知f(t)微分后的频谱求微分后的频谱求f(t)频谱时用积分性。频谱时用积分性。38例：例：，若若)()(jftf则有则有dxjxfjttftf)()()()()0(dxjxfjttf)()()(当当f（0）=0时，时，)1() 1()(2uujf)(21sinjtjteejt)1()1(22jdxxxj)1()1()(sinjtt)1() 1(uuj，若若)()(jftf则有则有djdftfj

27、t)()()(nnndjdftfjt)()()().(),(sin)()()(2121jfjftttfttutf，求，21)()(jjjf解：解：39)()(11jftf)()(22jftf)()()(*)(2121jfjftftf则有则有)()(11jftf)()(22jftf则有则有)(*)(21)()(2121jfjftftf dtedtfftftfftj2121* ddtetfftj21 dejffj21 defjfj12时域卷积定理证明时域卷积定理证明：)()(21jfjf 卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯、信息传输等卷积定理揭示了时间域与频率域的运算关系，在通讯、信息

28、传输等工程领域中具有重要理论意义和应用价值工程领域中具有重要理论意义和应用价值。（得证）（得证）40。求求图图示示信信号号)(),(jftf解：解：)()(1)(tgtgtf)2(2sa例例1)2()2(1)(sasajf)2()(satg例例2 利用频域卷积定理求利用频域卷积定理求f(j )。解：解：)(sin)() 20ttutf)(cos)() 10ttutf)()()(cos)() 1210tftfttutfttf01cos)()()(2tutf)()()(1oojf)()(21)(21jfjfjf)()()(2)(202jjfoo)(1)(121)()(200jjoo)()()(si

29、n)()2210tftfttutfttf01sin)()()()(1oojjf)(1)(12)()(200jjjjoojjf1)()(2)()()(2)(2020oojjf41例例3解：解：)1() 1(sin2)(tututtf)1() 1()cos1 (21ttt)1() 1(cos2)(2tututtf)1() 1(sin2ttt)1() 1(2)1() 1(222tutututu)1() 1(2)()(22 tututftfsin)()()(222jfjfj。求求)(),1() 1()cos1 (21)(jftututtf)(sin)(222jf1）利用傅立叶变换微积分性）利用傅立叶变

30、换微积分性 )(2sa42)()(21)(21jfjfjf2）利用频域卷积定理）利用频域卷积定理 )()(2)()(1jf)(2)(2sajf)cos1 (21)(1ttf) 1() 1()(2tututf)1() 1()cos1 (21)(tututtf)(sin)(222jf)()(21tftf)(21)(21)(sasasa其中其中)()sin(21)()sin(21sin)(sin21)(sin21sin)11(211sin433）利用傅立叶变换定义）利用傅立叶变换定义 )1() 1()cos1 (21)(tututtfdtetfjftj)()(11)cos1 (21dtettj111

31、1cos2121dttedtetjtj)( 21)( 2121)()()()(jjjjjjeejeejeejsinsin21sin)(sin)(222jf44推广：推广：djfjfdttftf)()(21)()(2121则则有有)()(11jftf)()(22jftfdjfdttf22)(21)()1 (djfdttftf)(21)(,)()2(22为实函数为实函数若若则则均均为为实实函函数数，、若若)()()3(21tftfdjfjfdttftf)()(21)()(2121意义：意义：能量守恒。即：信号时域能量等于频域能量。能量守恒。即：信号时域能量等于频域能量。45)(21)(2tgsa可

32、得：可得：解解：)()()(2sasasa)()(jfjf?)(2dsa求求dttgtgdsasa)(21)(21)()(2122dsa)(2dt211)21(21djfjfdttftf)()(21)()(212146)()()()(2agajfatsatf可得：可得：解：解：)()()(2atsaatsaatsa)()(tftfdjfjfdttftf)()(21)()(2121dtatsaatsa)()(?)(2dtatsa求求dgagaaa)()(2122adaaa2)(2147)( jf解：解：)()(jftf,)()(),()(22dttxdtfjxtx的的傅傅立立叶叶反反变变换换。求

33、求)4(jf),()(2gjx假假如如),()(22gj)(2)(jfjtf)(2jf)(21jtf)4(41jf)4(2tjf)4(21tjf)4( jf)4()4(222tgtj)4(32)4(22tgtjf41041322ttt483-5 周期信号的傅立叶变换周期信号的傅立叶变换tje01.1)(20)(21cos. 2000tjtjeet)()(oo)()(ooj)(21sin. 3000tjtjeejt49 展为傅立叶级数：展为傅立叶级数： ntnttttf)( tjnntjnnteteft1nnnntjf2)()(2netjn)(ntjnnefnttftf)()()(2)(nfjf

34、nn50。求求图图示示信信号号)(),(jftf解：方法解：方法1：例：例： ntjnneftf)()2(nesatntjnneftf)()()2(2)(nnsaetjfnnnnsae)()2(ttjnndtetftf0)(1221dteettjn)(2nfnn51方法方法2：)2()(saetegntnt)(nnnsae)()2()()()(ttegtftnnsaejf)()2()(*52例例3：已知半个余弦脉冲已知半个余弦脉冲 f(t)的傅立叶变换为的傅立叶变换为ntnt)()()()(ttftytnnjfjy)()()(2cos)1 (2)(222ttetjf求图示周期性半个余弦脉冲信号

35、求图示周期性半个余弦脉冲信号y(t)的傅立叶变换的傅立叶变换y(j )。nnjnf)()(2cos)1 (2)(2222tntnetjnfnnecos)41 (42nnnne)() 1()41 (42解：解：533-6 功率信号与能量信号的频谱功率信号与能量信号的频谱功率信号与能量信号功率信号与能量信号)(lim/dttftpttt2221功率有限的信号称为功率信号，即功率有限的信号称为功率信号，即能量有限的信号称为能量信号，即能量有限的信号称为能量信号，即例：例：周期信号、部分非周期信号周期信号、部分非周期信号u(t)u(t)、sgn(tsgn(t) )等、随机信号等、随机信号)(lim/d

36、ttfwttt222例：例：g g (t)(t)、单个三角信号、指数衰减信号等、单个三角信号、指数衰减信号等 说明说明：1）若）若p ，则则 w； 2）若）若w ，则则 p=0； 3) 非功率非能量信号，如非功率非能量信号，如tu(t)。54二、二、 功率谱功率谱 ：)(1lim2/2/2tttdttftp 功率信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的功功率信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的功率。记为率。记为d( ).)(21ddp又又周期信号周期信号：)(211lim2/2/2tttdjft)(21lim2/2/2tttdtjf)2(dffdtjfdt2)(lim)( 功率密度谱功率密

37、度谱 ）ntjnneftf)()(2)(nfjfnn)(2)(2nfdnn功率密度谱功率密度谱d( )单位：单位： 瓦特瓦特.秒（秒（w.s).55三、三、 能量谱能量谱 ：)(lim2/2/2tttdttfe 能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的能能量信号的频谱密度函数，即：信号在单位频率的能量。记为量。记为g( ).)(21dge又又)(21lim2/2/2tttdjf)(lim/222tttdjf )2(dffg2)(2)(jfg（能量密度（能量密度谱谱 ）能量密度谱能量密度谱g( )：描述能量信号的频率特性，它只与信号频谱的模频描述能量信号的频率特性，它只与信号频谱的模频特性有关，而与相频特性无关。特性有关，而与相