数学分析函数列与函数项级数104幂级数

1、2008022310.4 10.4 幂级数幂级数 nnnnnxaxaxaaxa22100 20201000)()()(xxaxxaaxxannn一、幂级数的收敛性一、幂级数的收敛性1.abel1.abel定理：定理：,0 nnnxa对幂级数对幂级数.,011发散发散则对一切则对一切处发散处发散若在若在xxx ;,000绝对收敛绝对收敛则对一切则对一切处收敛处收敛若在若在xxx 证明：证明：收敛收敛 10nnnxa .,00mxaxannnn 有界有界,0时时当当xx ,000nnnnnnxxmxxxaxa , 10 rxx.,110绝对收敛绝对收敛收敛收敛 nnnnnxaxx 若不然，若不然，

2、.,12122收敛收敛但但 nnnxaxxx由由知，知，绝对收敛绝对收敛 11nnnxa矛盾！矛盾！定理的意义：定理的意义： 0 x 0 x1x01x r r0发散发散 绝对收敛绝对收敛 发散发散定理定理2.2.（幂级数收敛特性）（幂级数收敛特性）:0的收敛有三种情况的收敛有三种情况 nnnxa; , ,0发散发散绝对收敛绝对收敛rxrxr ; ,对收敛对收敛级数在整个数轴上都绝级数在整个数轴上都绝 r.0 , 0收敛收敛仅在仅在 xr2.2.收敛半径与收敛区间收敛半径与收敛区间定义：定义：的收敛半径，的收敛半径，称为幂级数称为幂级数 nnxar,),(称为收敛区间称为收敛区间rr .,可可得

3、得收收敛敛域域考考虑虑端端点点的的收收敛敛性性nnnar|lim1 定理定理3 3：收敛半径公式收敛半径公式1lim nnnaarcauchy-hadamard nnnar|lim1 证明：证明：laannn 1lim令令由比值法由比值法nnnnnnnnaaxxaxa111limlim l0当当 发散发散收敛收敛lxlxlxaaxnnn1lim lr ，则，则若若0 l.),(0lim1收敛收敛，在，在 nnnaax 0 r，则，则若若 l)0( ,lim1 xaaxnnn r.发散发散例例1.1. 求下列幂级数的收敛域求下列幂级数的收敛域 13)2(nnnnx解：解：33)2(3)3(11l

4、imlim nnnnnnnnaar收敛区间为（收敛区间为（-3,3-3,3）收敛；收敛；时，时， 02)1(3nnnx发散；发散；时，时， 0213nnx故收敛域为故收敛域为-3,3-3,3）或者：或者：,31231limlim nnnnnna 31 r 0!nnnx解：解： )1(!)!1(limlimlim1nnnaarnnnnn故收敛域为（故收敛域为（-，+） 0)1()2(3nnnnxn解：解：11)2(31)2(3lim nnnnnnnr31 处处中心在中心在10 x故收敛区间为（故收敛区间为（2/32/3，4/34/3） 311 311 1;32131)2(3 ,3411发散发散

5、nnnnnnnnx;32)1(31)2(3 ,3211收敛收敛 nnnnnnnnnx故收敛域为故收敛域为2/32/3，4/34/3） 022)1(4nnnnx（缺项）（缺项）1lim nnnaar不能使用不能使用解法解法1 1：nnnar|lim1 解法解法2 2：, )0(2 yyx知知令令 02)1(4nnnny原级数原级数 , 4)1(4)2(4lim221 nnrnnny收敛收敛即即402 x.22收敛收敛 x故收敛区间（故收敛区间（-2,2-2,2）0,)1(411222 nnnana解法解法3 3：直接使用比值判别法直接使用比值判别法4)1(4)2(4lim)()(lim22221

6、221xxnnxxuxunnnnnnnn 时收敛；时收敛；时，时，当当2 42 xx时发散；时发散；时时当当2 ,42 xx2 r故收敛区间为（故收敛区间为（-2,2-2,2）.)1(44,202收敛收敛时时而当而当 nnnnx故收敛域为故收敛域为-2,2-2,2当幂级数为缺项情形当幂级数为缺项情形 1. 用用cauchy-hadamard公式公式, 辨清辨清 2. 用比值审敛法或根值审敛法及幂级数收敛用比值审敛法或根值审敛法及幂级数收敛 域的结构特点来求域的结构特点来求. 3. 先利用变量代换化为非缺项情形后再用公先利用变量代换化为非缺项情形后再用公 式求收敛半径及收敛区间式求收敛半径及收敛

7、区间, 之后再通过逆之后再通过逆 代换求出原幂级数的收敛区间及收敛半径代换求出原幂级数的收敛区间及收敛半径.na二、幂级数的性质二、幂级数的性质1. 1. 代数性质代数性质bnnnannnrxbrxa的收敛半径为的收敛半径为收敛半径为收敛半径为设设 00 , 000)(nnnnnnnnnnxbxaxba;),(上成立上成立在在rr .),(cauchy000上绝对收敛上绝对收敛在在乘积乘积的的和和rrxcxbxannnnnnnnn .,min barrr 记记2.2.内闭一致收敛性内闭一致收敛性定理定理4 4：.0 0 rrxannn，的收敛半径为的收敛半径为设设内的任何闭子区间内的任何闭子区

8、间),(rr ,ba上上一致收敛一致收敛. .则在则在证明：证明： ,0 ,maxrrbar 显然显然令令.0绝对收敛绝对收敛 nnnra, ,nnnnraxarx 时时当当,0上一致收敛上一致收敛在在rrxannn .,上一致收敛上一致收敛从而在从而在ba收敛收敛 0nnnra3.3.分析性质分析性质-连续、可导、可积连续、可导、可积设幂级数设幂级数 0nnnxa的收敛半径为的收敛半径为,r.0 r若若 0nnnra收敛收敛, 则则;lim000 nnnnnnrxraxa若若 0)(nnnra收敛收敛, 则则.)(lim000 nnnnnnrxraxa(abel(abel第二定理第二定理)

9、)定理定理5 5：，和函数为，和函数为收敛半径为收敛半径为设设)(0 xsrxannn ,),()(内连续内连续在在则则rrxs 注注:1. :1. 更精确的说更精确的说, , 是在是在收敛域收敛域内连续内连续中中有有而而且且在在),(rr ,)1()1()()( knknnkxaknnnxs:任意阶导数任意阶导数, 2 , 1 k但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“坏坏”, , 但不可能变但不可能变“好好”. .2.2.定理定理6 6：的的尽尽管管)()(xsk收收敛敛半半径径不不变变? , ,),()(且可逐项积分且可逐项积分内可积内可积

10、在在rrxs 010001dd)(nnnnxnnxxnattatts积分后幂级数积分后幂级数收敛半径不变收敛半径不变, ,定理定理7 7：, ),(rrx 即对即对但收敛域可能会改变但收敛域可能会改变, ,在端点处的收敛性在端点处的收敛性可能变可能变“好好”, , 但不可能变但不可能变“坏坏”. .注注: :三、函数展开成幂级数三、函数展开成幂级数)(xf如果如果能展开成幂级数，即能展开成幂级数，即),()()(0000rxrxxxxaxfnnn .),()(00中有任意阶导数中有任意阶导数在在rxrxxf 必有：必有：.!)(0)(nxfann ),(,)(!)()(00000)(rxrxx

11、xxnxfxfnnn （泰勒级数）（泰勒级数）由此说明：由此说明：)(xf展开成幂级数是唯一的展开成幂级数是唯一的如果如果)(xf有任意阶导数，即有任意阶导数，即 cf形式上：形式上：.)(的泰勒级数的泰勒级数xf 000)()(!)(nnnxxnxf记为：记为：,)(!)()(000)(nnnxxnxfxf )()(xsxf 既收敛且等式成立时称为能展开既收敛且等式成立时称为能展开?)(!)(000)(是否收敛是否收敛 nnnxxnxf问题：问题：均有反例均有反例, ,教材教材p427.p427.),(00rxrxx 定理定理8 8：级数级数上能展成上能展成在在taylorrxrxxf),(

12、)(00 ),(, 0)(lim00rxrxxxrnn 证明证明：由由taylor展开：展开：)()( )()(!)()(1000)(xrxsxrxxkxfxfnnnknkk . 0)(lim)()(lim1 xrxfxsnnnn推论：推论：,),()(00内有任意阶导数内有任意阶导数在在设设rxrxxf 即即内一致有界内一致有界在在若若,),()(00)(rxrxxfn . ),( ,n ,)(00*)(rxrxxnmxfn .),(00级数级数内能展成内能展成在在则则taylorrxrxf 证明：证明：110)1()!1()()!1()()( nnnnrnmxxnfxr 0)(lim xr

13、nn02lim)!1()!2(limlim121 nrrnnruunnnnnnn ,)!1(01 nnrnm收敛收敛. 0)!1(lim1 nnrnm 2! 2)0()0( )0()(xfxffxf级数级数maclaurin幂幂级级数数展展开开 间接法间接法直接法直接法0)(lim , xrnn再证再证先直接展开先直接展开. ,展式展式方法求得函数的幂级数方法求得函数的幂级数逐项积分等逐项积分等四则运算、逐项求导、四则运算、逐项求导、通过变量代换、通过变量代换、从已知的展式出发从已知的展式出发很很少少用用性性用用到到幂幂级级数数展展开开的的唯唯一一例例1.1. 0! nnxnxe易见易见)(直

14、接展开直接展开级数级数展成展成maclaurinex解：解：*,n ,| , nrxr对对时时当当对任取正数对任取正数 .|)(rxnxeee ).,( ,! 0rrxnxennx 故故.),( ,中成立中成立知在知在的任意性的任意性由由r).,( ,! 0 xnxennx即即 12,)1(2 , 0)2sin()0()(knknnfkn )2sin()()( nxxfn 1)(,n),()(* xfnxn，且且故可展成幂级数故可展成幂级数 )!12()1(!7! 5! 3sin12753kxxxxxxkk),( x例例2.2.)(sin直接展开直接展开级数级数展成展成maclaurinx,s

15、in)(xxf 解：解：解：解： )!2()1(! 6! 4! 21)(sincos2642kxxxxxxkk),( x例例3.3.)(cos间接展开间接展开级数级数展成展成maclaurinx例例4.4.的幂级数的幂级数展成展成xrxxf)()1()( 解：解： )1()(xxf , 1)0( f)1()1()0()( nfn 2! 2)1(1)(xxxf nxnn!)1()1( 1lim nnnaar).1 , 1(, 11lim 收敛区间收敛区间nnn . ,0)(看书看书比较繁难比较繁难证明证明xrn略去略去! ! )(xf 0!)1()1(nnxnn 考虑端点考虑端点, ,可知下式成

16、立范围与可知下式成立范围与 有关有关 ;)1 , 1( , 1中成立中成立上式仅在上式仅在 ;1 , 1( , 01中成立中成立上式在上式在 ;1 , 1 , 0中成立中成立上式在上式在 x11 0!2!)!12()1(nnnnxnn1 , 1( x 02!2!)!12(nnnxnn 211x)1 , 1( x 01212!2!)!12(nnnnxnn xarcsin)1 , 1( x32642314212111xxxx 48642531x1 , 1 x例例5.5.级数级数展成展成maclaurinx)1ln( 解：解： xnnnxttttx000d)1(d11)1ln( 01001)1(d)

17、1(nnnxnnnxntt 432)1(43211 xxxxxnnnn1 , 1( x例例6.6.展展成成幂幂级级数数)1ln(x )1 , 132)1ln(132 xnxxxxxnn例例7.7.展式展式的的求求maclaurinxarctan解：解： xttx02d11arctan)1 , 1()1(11022 tttnnn 01200212)1(d)1(arctannnnnxnnnxttx1 , 1 x解：解： xxxxxf2121131)21)(1(1)( 00232)1(31nnnnnnxx. )21,21( ,32)1(01 xxnnnn例例8.8.的幂级数的幂级数展开成展开成xxx

18、xf2211)( )21,21( )1 , 1( xx例例9.9.级数级数展成展成maclaurinxexfx 1)(. ),( ,!0 xnxennx. )1 , 1( ,110 xxxnn 00!11)(nnnnxxnxxexf 0)11(!1! 11! 01nnxxn解：解：例例10.10.级数级数处展成处展成在在将将taylorxx2ln0 解：解：)221(2ln)2(2lnln xxx)221ln(2ln x 1 , 1( ,32)1ln(32 xxxxx利用利用 3222312221222lnxxx3322)2(231)2(21)2(212ln xxx4 , 0(2)2()1(1 xnxnnn四、幂级数应用四、幂级数应用1.1.求和求和四则运算（变形）、逐项求导、逐项求积四则运算（变形）、逐项求导、逐项求积例例1.1.),()!2(02 收敛区间收敛区间nnnx解：解： ! 3! 2132nxxxxenx !)1(! 3! 2132nxxxxennx2xxee ),()!2(02 nnnx解：解：),(!0 xnxennx求导：求导： 010!1!nnnnxxnnxxnne 0!nnxxnnxe再求导：再求导： 012!nnx