2016年新课标高考真题全国三卷文科数学

1、2016年新课标高考真题全国三卷文科数学一、单选题1.设集合4 = 0,2,4,6,8,101 = 4,8,则QB =A. 4,8B. 0， 2,6C. 0, 2, 6,10D. 0，2, 4, 6, 8,102.若z = 4 + 3i,则高=()A. 1B. -1C. l+UD.D DD D3 . (2016高考新课标HI,理3)已知向量方1堂)前=(今则乙4c=A. 30 °B. 45 0C. 60 °D. 120 °4 .某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均 最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15:B点表

2、示四月的平均 最低气温约为5二.下面叙述不正确的是( ).均低气*一均MT*A.各月的平均最低气温都在0匚以上B.七月的平均温差比一月的平均温差大C.三月和十一月的平均最高气温基本相同D.平均最高气温高于20：j的月份有5个5 .小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M, 1,N中的一个字 母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是6 .若tan6 =：,则cos26 =()A.B- 一！C.青D- I7 .已知a = 3c = 252,则A. b < a < cB. a < b < cC. b < c &

3、lt; aD. c < a < b8 .执行下面的程序框图，如果输入的a=4, b=6,那么输出的n=() (W)n = =5。=6-0:a = b + 司试卷第6页，总5页CWA. 3B. 4C. 5D. 69 .在4BC中，F = p BC边上的高等于则sin/=A.310B.vTo10D.3vTo1010 .如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为(A. 18+ 36 强B. 54+ 18V5C. 90D. 8111 .在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球，若48 = 6,BC = 8,/& = 3,则该球体枳V的最大值是

4、932A. 4ttB. -7TC. 67rD. n2312 .己知。为坐标原点，尸是椭圆C：卷+盘=1(。匕0)的左焦点，4, 5分别为。的左，右顶点.尸为。上一点，且尸产二X轴.过点d的直线/与线段尸产交于点与y 轴交于点E若直线3河经过。石的中点，则。的离心率为A.B.二、填空题2% y + 1 2 0,13 .若与y满足约束条件x - 2y 1 4 0,则z = 2% + 3y- 5的最小值为.% < 1,14 .函数丫 = sinx - V3cosx的图像可由函数），=2sinx的图像至少向右平移 个单位长度得到.15 .已知直线I： X 一圾，+6 = 0与圆/+y2 = 12

5、交于4B两点，过4B分别作，的垂线与“轴交于C,D两点.则|CD| =.16 .已知/1（%）为偶函数，当 <。时，/（x） = e-x-1 - x,则曲线y =/（%）在点（1,2）处的切线方程是.三、解答题17 .己知各项都为正数的数列%满足的=1»欣（2%+i l）dn 2%+i 0.（）求3；（口）求册的通项公式.18 .下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.A左：W克次姿2%却呼（）由折线图看出，可用线性回归模型拟合歹与f的关系，请用相关系数加以说明：（口）建立），关于，的回归方程（系数精确到0.01）,预测2016年我国生活垃圾

6、无害化 处理量.附注：参考数据：= 9.32, 2?=1 tyVi = 40.17,2；二1一刃2 = 0.55, V72.646.参考公式：相关系数r =丹竺"g- 区产十鼠1f回归方程y= a+b £中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b =，0:一"居二刃 a=y it.19 .如图，四楂WlPABC中，P/，平面/BCD, AD | BC9 AB = AD = AC = 3, PA =BC = 4, M为线段4D上一点，AM = 2MD, N为PC的中点.(I)证明MN |平面P4B；(II)求四面体N BCM的体积.20 .已知抛物线C： 3a=2%的

7、焦点为f,平行于无轴的两条直线几分别交C于j, B两点，交C的准线于P, Q两点.(0)若F在线段上，R是PQ的中点，证明/RIIFQ：(0)若/PQF的面积思MBF的面枳的两倍，求48中点的轨迹方程.21 .设函数/1(x)=lnx-x+l.()讨论f(%)的单调性;(口)证明当XC (1,+8)时，IV 衿 VX;()设C>1,证明当XC (0,1)时，l+(c l)x>cX22 .选修4-1：几何证明选讲如图，口。中48的中点为G,弦尸G 即分别交EC于E F两点.(0)若N尸尸5=2/尸8,求NPCO的大小;(0)若FO的垂直平分线与死 的垂直平分线交于点G,证明°

8、;G-CO.23 .在直角坐标系xOy中，曲线Q的参数方程为=Q (a为参数)，以坐标原点 为极点，以“轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为psin(6 + $ = 2V2.(1)写出G的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)设点尸在G上，点Q在上，求|PQ|的最小值以及此时尸的直角坐标.24 .已知函数/(%) = |2x a| + a.(1)当a=2时，求不等式/1(%) < 6的解集；(2)设函数g(x) = |2% 1|.当 C R时，f(x)+g(x)之3,求a的取值范围.2016年新课标高考真题全国三卷文科数学参考答案1. c【解析】试题分析：由补集的概念，得=

9、 026,10,故选C.【考点】集合的补集运算【名师点睛】研究集合的关系，处理集合的交、并、补的运算问题，常用韦恩图、数轴等几 何工具辅助解题.一般地，对离散的数集、抽象的集合间的关系及运算，可借助韦恩图，而 对连续的集合间的运算及关系，可借助数轴的直观性，进行合理转化.2. D【解析】【详解】由题意可得：|z| =+ 32 = 5,且：z = 4 - 3i,据此有：上=）久本题选择。选项.3. A【解析】试题分析：由题意，得cos乙4BC =黑黑=纥翼=? 所以乙1BC=3O。，故选A. dAdL i 1X1z【考点】向量的夹角公式.【思维拓展】（1）平面向量a与匕的数量积为ab=|a|b|

10、cos。，其中8是a与b的夹角，要注意 夹角的定义和它的取值范围：0°<0<180°： （2）由向量的数量积的性质知|a|=VTG, ab=0 = a«Lb,因此，利用平面向量的数量积可以解决与长度、角度、 垂直等有关的问题.4. D【解析】【详解】试题分析：由图可知各月的平均最低气温都在。口以上，A正确：由图可知在七月的平均温 差大于7.5。，而一月的平均温差小于7.5。，所以七月的平均温差比一月的平均温差大，B 正确：由图可知三月和十一月的平均最高气温都大约在10。，基本相同，C正确：由图可知 平均最高气温高于20二的月份有7, 8两个月，所以不正

11、确.故选D.【考点】统计图【易错警示】解答本题时易错可能有两种：(1)对图形中的线条认识不明确，不知所措，只觉得是两把雨 伞重叠在一起，找不到解决问题的方法；(2)估计平均温差时易出现错误，错选B.5. C【解析】试题分析：开机密码的可能有(M, 1), (M, 2), (M, 3), (M, 4), (M, 5), (Z, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (7,5), (N,1),(N,2),(N,3),(N,4),(N,5),共15种可能，所以小敏输入一次密码能够成功开机的概 率是岩，故选C.X D【考点】古典概型【解题反思】对占典概型必须明确两点：匚对于每个随机试验

12、来说，试验中所有可能出现的 基本事件只有有限个；匚每个基本事件出现的可能性相等.只有在同时满足二、口的条件下， 运用的古典概型计算公式PQ4) = ；(其中n是基本事件的总数，m是事件A包含的基本事 件的个数)得出的结果才是正确的.6. D【解析】cos20 = cos20 sin20cos2e-sin2ecos2e-sin2e'分子分母同时除以COS?。，即得：COS20 =l-tan2e _ 4ltan295,答案第7页，总13页故选D.7. A【解析】【详解】因为a = 22=45,b = 3*,c = 5"且基函数y =蓊在(0,+8)上单调递增，所以bVoVc.故选

13、A.点睛：本题主要考杳累函数的单调性及比较大小问题,解答比较大小问题，常见思路有两个： 一是判断出各个数值所在区间(一般是看三个区间(8,0),(0,1),(1,+8)；二是利用函数 的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用；三是借助于中间变 量比较大小.8. B【解析】试题分析：模拟执行程序，可得a = 4,b = 6,n = 0,s = 0,执行循环体,a = 2,b = 4,a = 6,s = 6,n = 1,不满足条件s > 16,执行循环体,a = 2,b = 6, a = 4,s = 10,n = 2,不满足条件s > 16,执行循环体,a = 2

14、, b = 4,a = 6,s = 16,n = 3,不满足条件s > 16,执行循环体,a = -2,b = 6,a = 4,s = 20,n = 4,不满足条件s > 16,退出循环，输出n的值为4,故选B.考点：1、程序框图：2、循环结构.9. D【解析】试题分析：设BC边上的高线为40, MFC = 3AD,DC= 2AD,所从IC = 万。万三=居AD.由正弦定理，知名=三，即警=岑，解得siM= 空，故选D.sinB sin4 0 smA102【考点】正弦定理【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使 用公共条件，常常将所涉及到已知

15、几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定 理与余弦定理求解.10. B【解析】【详解】试题分析：解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的斜四棱柱，其底面面积为：3x6=18,前后侧面的面积为：3x6x2=36,左右侧面的面积为：3 x V32 + 62 x 2 = 1875 ,故棱柱的表面积为：18 + 36 + 1875 = 54+ 18遍.故选：B.点睛：本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的 形状是解答的关键，由三视图判断空间几何体（包括多面体、旋转体和组合体）的结构特征 是高考中的热点问题.11. B【解析】 试题分析：设&

16、amp;的内切圆半径为尸，则113 AA-（6 + 2 + 10= ±火6乂g=丁=2>士 = 空，故球的最大半径为343-9-=二大丁，故选 B2322考点：球及其性质.12. A【解析】 日试题分析：如图取P与M重合，则由/（一20）,"（。,十）今直线/“：3，= 亮<% +。）今E（°，士）同理由 B（a，°），M（c，g）= G（。，*） => = =>a = 3c=>e =故选 A考点：1、椭圆及其性质；2、直线与椭圆.【方法点晴】本题考查椭圆及其性质、直线与椭圆，涉及特殊与一般思想、数形结合思想和 转化化归思想

17、，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难Q2题型.如图取P与M重合，则由/（一必0）,“（。,"）今直线4“：3，= 熹。+。）今£1（0,三） 同理由 B（a,O）,M（c,9） = G（0,13. -10【解析】试题分析：作出不等式组满足的平面区域，如图所示，由图知当目标函数z=2x + 3y5经 过点4（一1,一1）时取得最小值，即Zmin = 2X （-l） + 3x （-1）-5 = -10.【考点】简单的线性规划问题【技巧点拨】利用图解法解决线性规划问题的一般步骤：（1）作出可行域.将约束条件中的 每一个不等式当作等式，作出相应的直线

18、，并确定原不等式的区域，然后求出所有区域的交 集；(2)作出目标函数的等值线(等值线是指目标函数过原点的直线)：(3)求出最终结果.【解析】试题分析：因为y = sin% - Vcosx = 2sin(x -% 所以函数y = sin% -cos%的的图像可由函数y = 2sinx的图像至少向右平移孑个单位长度得到.【考点】三角函数图像的平移变换、两角差的正弦公式【误区警示】在进行三角函数图像变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也 经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母'而 言，即图像变换要看“变量”变化多少，而不是“角”变化多少

19、.15. 4【解析】试题分析：由x V3y + 6 = 0,得x = 3y 6,代入圆的方程，整理得 3Vxy + 6 = 0, 解得yi = 2dxy2 =所以=。,“2 = 3,所以= yf(x1 - x2)2 +(3zi - )z2)2 =2V3.又直线1的倾斜角为30。，由平面几何知识知在梯形4BDC中，|CD|=y； = 4 11 cos300【考点】直线与圆的位置关系【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即 几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系的非常 紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所随

20、含的条件，利用几何知识使问题 较为简捷地得到解决.16. y = 2x【解析】试题分析：当x>0时，xvO, M/(-%) = ex-1+x.又因为/1(%)为偶函数，所以/(%) = /(-%)=铲t +'，所以尸(%)=铲t + 1,则/(1) = 2,所以切线方程为y 2 = 2(% 1), 即 y = 2x.【考点】函数的奇偶性、解析式及导数的几何意义【知识拓展】本题题型可归纳为“己知当x>0时，函数y =/（%）,则当xv 0时，求函数的 解析式”.有如下结论：若函数f（x）为偶函数，则当xv 0时，函数的解析式为y =/（%）： 若/（%）为奇函数，则函数的解析

21、式为y =/（%）.17. （L） a2 = ：。4 =【解析】试题分析：（口）将的 = 1代入递推公式求得。2,将g的值代入递推公式可求得的； （口）将 已知的递推公式进行因式分解，然后由定义可判断数列为等比数列，由此可求得数列 斯的通项公式.试题解析：（口）由题意，得% =!.2 - 4（口）由式 一 Q a1 一 1）% - 0 得 2 自+ 1） = +1）.因为 W 的各项都为正数，所以色旦=彳.故是首项为1,公比为二的等比数列，因此4 二 了.【考点】数列的递推公式、等比数列的通项公式【方法总结】等比数列的证明通常有两种方法：（1）定义法，即证明照=（常数）；（2） an中项法，即

22、证明忌+i = ana+2.根据数列的递推关系求通项常常要将递推关系变形，转化 为等比数列或等差数列来求解.18 .（匚）答案见解析；（匚）答案见解析.【解析】试题分析：（口）根据相关系数r的公式求出相关数据后，代入公式即可求得r的值，最后根 据r值的大小回答即可；（口）准确求得相关数据，利用最小二乘法建立y关于t的回归方程， 然后预测.试题解析：（口）由折线图中数据和附注中参考数据得亍=4，£：=19一弓2 = 28,。，仍一月2 =。55, ,，2 &一）0：-）=N5 -7工兑=40.1" 4X 9.32 = 2.89, f-l£-1f-12.S90

23、.55x2x2.646因为J与，的相关系数近似为0.99,说明）与E的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合）与E的关系.（）由歹=牛氏1.331及（二）得石=之寿彳罟?=膏氏0.103,a=y-bt 1.331 - 0.103 x 4 氏 0.92.所以，关于£的回归方程为：V = 0.92 + 0.10r.将2016年对应的E = 9代入回归方程得：y = 0.92 + O.lOx9 = 1.82 .所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82亿吨.【考点】线性相关系数与线性回归方程的求法与应用.【方法点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（

24、1）利用散点图 直观判断：（2）将相关数据代入相关系数r公式求出r,然后根据r的大小进行判断.求线性 回归方程时要严格按照公式求解，并一定要注意计算的准确性.19 .（匚）证明见解析：（二271【解析】试题分析：（）取P8的中点T,然后结合条件中的数据证明四边形/MNT为平行四边形，从 而得到MN | AT,由此结合线面平行的判断定理可证;（）由条件可知四面体N-BCM的高， 即点N到底面的距离为棱P/的一半，由此可顺利求得结果.AM = AD =2丁 丁、丁试题解析：（二）由已知得 3,取E尸的中点T,连接，由N为?C中TN = -BC=2点知以"8C ,2又皿“8C,故可平行且等

25、于月M,四边形/MNT为平行四边形，于是因为月Tu平面上必，MVn平面所以平面?且S.（0）因为尸乂一平面HBCD, N为尸C的中点，%所以N到平面的距离为2.取 3c 的中点 E,连结 XE.由 H8 = WC = 3 得 , AE = AB2 -BE2 =4 -由4W " BC得Af到EC的距离为花 榭ABCM = 1x 4 x V5 = 2V5.所以四面体N8CA/的体积0.bcm =9xSscmX? = .【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三楂锥的体积【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常 常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形

26、的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体枳关健是 确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积 转换法求解.20 .（匚）见解析；（ZD y2 = x-l.【解析】试题分析：设/（，0）,B（1,b）,P（M，a）,Q（1b）,R（?）=，的方程为 2x （a +b）y + ab = 0. （1）由F在线段4B上0 1 + ab = 0,又七= - = = b = k2 a a a a a今 AR/FQ ； （2）设呜工 轴的交点为。（卬0）今 S2MBF = ；|b -a|FD| =；|b 可由一 >SAPQF =与"=右I5allxl 1 =

27、。（舍去），X1 = 1.设满足条件的/B的中点为E（x,y）.当4B与x轴不垂直时=总'=L（xH1） = y = y2 = x 1 （x =#1）.当力B与轴垂直时=E与。重合=所求轨迹方程为y2 =x-l.试题解析：由题设/（：,0），设，i：y = a,%：y =匕，则ab H 0,且4（，0），B （y, b）, p（一 ：，a），Q （一 > b），R （一 等） 记过4B两点的直线为2,则，的方程为2x （a + b）y + ab = 0 3分（1）由于F在线段上，故l + ab = 0,记4R的斜率为ki，FQ的斜率为，则七=衿 =-=-b = k2,所以AR/F

28、Q 5分（2）设与工轴的交点为D（右,0）,则S/ubf =与匕 - a|FO| = b - all%1为pqf =由题设可得汕a|帆 ?=学，所以必=0 （舍去），%i = l.设满足条件的的中点为E（x, y）.当48与轴不垂直时，由超8 =de可得，E=土（、。1）.而噂=y» 所以y2 = % i（x h 1）.当48与x轴垂直时，E与D重合，所以，所求轨迹方程为3/= ” 一 1 12分考点：1.抛物线定义与几何性质：2.直线与抛物线位置关系：3.轨迹求法.21. （）当ovxvi时，/（%）单调递增：当时，/（x）单调递减；（口）见解析；（） 见解析. 【解析】试题分析：

29、（匚）首先求出导函数尸（乃，然后通过解不等式尸（%）>0或尸（乃V0可确定函数/（%）的单调性；（匚）左端不等式可利用（口）的结论证明，右端将左端的“换为巳即可证明： X（D）变形所证不等式，构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理.试题解析：（匚）由题设，/（%）的定义域为（0,+8）, r（x） = l-l,令尸（x） = 0,解得x=l. X当0VXV1时，/>0, /（%）单调递增;当 >1时,f'（x） < 0, /（%）单调递减.（口）由（口）知，/（%）在 = 1处取得最大值，最大值为/'（功二。所以当XH1时，Inxvx 1.故

30、当W（l,+8）时，Inxvx -1, In-< - - 1,即lv 浮 vx. 'x xInr（）由题设c>l,设g（x） = 1 + （c - l）x cL 则g（x） = c 1 一 c"lnc,令gx） = 0,In 解得“黄.当x < %o时，"(x) > 0, g(%)单调递增：当 > X。时，g'(x) < 0, g(x)单调递减.由(口)知，1 vpvc,故0 V与 v 1,又g(0) =g(l) = 0,故当0 vxvl时，g(x) > 0. in c所以当(0,1)时，l + (c l)x>

31、c'【考点】利用导数研究函数的单调性、不等式的证明与解法【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：(1)首先通过利用研究函数的单调性, 再利用单调性进行证明；(2)根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或 最值来证明.22. (T) 60°： ()见解析.【解析】试题分析：(口)根据条件可证明二PFB与匚PCD是互补的，然后结合二PFB=2二PCD与三角 形内角和定理，不难求得4PCO的大小；(匚)由(口)的证明可知C,E,F,D四点共圆，然后 根据用线段的垂直平分线知G为四边形CEFD的外接圆圆心，则可知G在线段CD的垂直平分 线上，由此可证明结果.试题解

32、析：(匚)连结p及方c,则：4FD = /PB4+ 4PD；CD = ZPCB +乙BCD.因为AP = BP,所以上PBA 二 £PCB ,又 ABPD =ABCD ,所以 WBFD = APCD又/PFD + NBFD = 180二 NPFB =2NE8,所以，因此/尸8 = 60=. 。因为S = &FD ,所以ZPCD +2EFD = 180=,由此知G。，石四点共圆， 其圆心既在。石的垂直平分线上，又在°F的垂直平分线上，故G就是过尻石四点的 圆的圆心，所以G在CO的垂直平分线上，又O也在CD的垂直平分线上，因此°G-CD.【考点】圆周角定理、三角形内角和定理、垂直平分线定理、四点共圆【方法点拨】(1)求角的大小通常要用到三角形相似、直角三角形两锐角互余、圆周角与圆 心角定理、三角形内角和定理等知识，经过不断的代换可求得结果；(2)证明两条直线的垂 直关系，常常要用到判断垂直的相关定理，如等腰三角形三线合一、矩形的性质、圆的直径、 平行的性质等.23. (1) q： y+y2 = 1, C2： % + y-4 = 0： (2) |PQ|min = V2»