函数的最大小值与导数

1、1.3.3函数的最大（小）值与导数函数的最大（小）值与导数2021年11月14日0时05分2aby=f(x)xoyy=f(x)xoyabf (x)0f (x)0复习复习:一、函数单调性与导数关系一、函数单调性与导数关系如果在某个区间内恒有如果在某个区间内恒有 ,则则 为常数为常数.0)( xf)(xf设函数设函数y=f(x) 在在 某个区间某个区间 内可导，内可导，f(x)为为增函数增函数f(x)为为减函数减函数2021年11月14日0时05分3二、函数的极值定义二、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对x0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x

2、)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. 使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点2021年11月14日0时05分4 (1) (1) 求导函数求导函数f (x)f (x)； (2)(2) 求解方程求解方程f (x)=0f (x)=0； (3)(3) 检查检查f (x)f (x)在方程在方程f (x)=0f (x)=0的根的左的根的左右右 的符号，并根据符号确定极大值与极的符号，并根据符号确定极大值与极小小 值值.

3、 .口诀：口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。左负右正为极小，左正右负为极大。 三、用导数法求解函数极值的三、用导数法求解函数极值的步骤：步骤：2021年11月14日0时05分5 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。2021年11月14日0时05分6l教学目的：教学目的：l使

4、学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握可导函数在闭区间上所有点（包括端点）处的函数中的最大（或最小）值必有的充分条件；l使学生掌握用导数求函数的极值及最值的方法和步骤 l教学重点：教学重点：利用导数求函数的最大值和最小值的方法l教学难点：教学难点：函数的最大值、最小值与函数的极大值和极小值的区别与联系 2021年11月14日0时05分7知识回顾知识回顾 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为i，如果，如果存在实数存在实数m满足：满足： 1最大值最大值 （1）对于任意的）对于任意的xi，都有，都有f(x)m; （2）存在）存在x0i，使得，使得f(x0) = m那么，称那

5、么，称m是函数是函数y=f(x)的的最大值最大值 2021年11月14日0时05分82最小值最小值 一般地，设函数一般地，设函数y=f(x)的定义域为的定义域为i，如果，如果存在实数存在实数m满足：满足： （1）对于任意的）对于任意的xi，都有，都有f(x)m; （2）存在）存在x0i，使得，使得f(x0) = m那么，称那么，称m是函数是函数y=f(x)的的最小值最小值 2021年11月14日0时05分9x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg讲授新课

6、讲授新课2021年11月14日0时05分10观察下列函数，作图观察函数最值情况：观察下列函数，作图观察函数最值情况：（1）f（x）=|x| （-2x1)1)1)x x(0(0 x x1 1x xf(x)f(x)(2)(2)（3）f（x）=x （0 x2）0 （x=2）-2120122021年11月14日0时05分11归纳结论：归纳结论：（1）函数f（x）的图像若在开区间（a，b）上是连续不断的曲线，则函数f（x）在（a，b）上不一定有最大值或最小值；函数在半开半闭区间上的最值亦是如此（2）函数f（x）若在闭区间a，b上有定义，但有间断点，则函数f（x）也不一定有最大值或最小值 总结：一般地，如

7、果在区间a，b上函数f（x）的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。如何求最值？只要把连续函数的所有极值与端点的函数值进行比较，就可求最大值、最小值2021年11月14日0时05分12 例例1 1、求函数、求函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+3-4x+3在区间在区间-1-1，44内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解:f(x:f(x)=2x- 4)=2x- 4令令f(xf(x)=0)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x-1-1 （-1,2-1,2）2 2（2 2，4 4）4 40 0- -+8 83-1 故函数故函数f (x) f (x) 在区

8、间在区间-1-1，44内的最大内的最大值为值为8 8，最小值为，最小值为-1 -1 )(xf)(xf 例题讲解例题讲解2021年11月14日0时05分13一般地，求函数一般地，求函数y=f(x)在在a,b上的上的最大值与最小值的最大值与最小值的步骤步骤如下：如下： (2)(2)将将y=f(x)y=f(x)的各极值与端点处函数值的各极值与端点处函数值f(a)f(a)、f(bf(b) )比较比较, ,其中最大的一个为最大值，最小其中最大的一个为最大值，最小的的 一个最小值一个最小值. .(1)(1)求求f(x)f(x)在区间在区间(a,b)(a,b)内极值内极值( (极大值或极大值或极小值极小值)

9、 )2021年11月14日0时05分141、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最大值和最小值的最大值和最小值 法一法一 、 将二次函数将二次函数f(x)=x2-4x+6配方，利用配方，利用二次函数单调性处理二次函数单调性处理练习练习2021年11月14日0时05分151、求函数求函数f(x)=x2-4x+6在区间在区间1，5内内 的最值的最值 故函数故函数f(x) 在区间在区间1，5内的最大值内的最大值为为11，最小值为，最小值为2 法二、法二、解、解、 f (x)=2x-4令令f (x)=0，即，即2x-4=0，得得x=2x1（1,2）2 （2,5）5y，0y-+

10、31122021年11月14日0时05分16 2 2、 函数函数y=xy=x3 3-3x-3x2 2，在，在2 2，4 4上的上的最大值为最大值为( )( )a.-4 b.0 c.16a.-4 b.0 c.16d.20d.20c c练练 习习2021年11月14日0时05分174153.已知函数y=-x2-2x+3在区间a,2上的最大值为 ，则a等于（ ）a. b. c. d. 或23212123212021年11月14日0时05分184.已知函数f(x)=2x3-6x2+a在区间-2，2上有最小值-37，（1）求实数a的值；（2）求f(x)在区间-2，2上的最大值.2021年11月14日0时05分19知识要点：知识要点： .函数的最大与最小值函数的最大与最小值 设设y = f(x)是定义在区间是定义在区间a , b上的函数上的函数,y = f(x)在在(a , b)内有导数内有导数,求函数求函数y = f(x) 在区间在区间a , b上的最大最小值上的最大最小值,可分两步进行可分两步进行:求求y = f(x)在区间在区间(a,b)内的极值内的极值; 将将y = f(x)在各极值点的极值与在各极值点的极值与f(a), f(b)比较，比较，其中最大的一个为最大值其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值。最小的一个为最小值。 若函数若函数f(x)在区间在区间a ,