函数的极值123

1、函数的极值函数的极值 上节上节,我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性我们讲了利用函数的导数来研究函数的单调性这个问题这个问题.其基本的步骤为其基本的步骤为:求函数的定义域求函数的定义域;求函数的导数求函数的导数 ;)(xf 解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递增区间的单调递增区间; 解不等式解不等式 0得得f(x)的单调递减区间的单调递减区间.)()(xfxf 0 0 x x2 2y y 右下图为函数右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象的图象,从图象我们可以从图象我们可以看出下面的结论看出下面的结论:函数在函数在x=0的函数值比它附近所有各的函数值比它附近所有各点的函数值都大，我们

2、说点的函数值都大，我们说f(0)是函数是函数的一个极大值；函数在的一个极大值；函数在x=2的函数值的函数值比它附近所有各点的函数值都小，我比它附近所有各点的函数值都小，我们说们说f(2)是函数的一个极小值。是函数的一个极小值。 一般地一般地,设函数设函数y=f(x)在区间（在区间（a,b）内有定义，）内有定义， x0是（是（a,b）内的一个点，如果存在着点）内的一个点，如果存在着点x0的一个去心领的一个去心领域，对于这去心领域的任何点，域，对于这去心领域的任何点， f(x) f(x0)均均成立成立,则称则称f(x0)是函数是函数f(x)的一个极小值。的一个极小值。 在定义中在定义中,取得极值的

3、点称为极值点取得极值的点称为极值点,极值点是自变极值点是自变量的值量的值,极值指的是对应的函数值极值指的是对应的函数值.注意以下几点注意以下几点: (1)极值是一个局部概念极值是一个局部概念.由定义由定义,极值只是某个点的极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小.并不意并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.也就是说也就是说极值与最值是两个不同的概念极值与最值是两个不同的概念. (2)函数的极值不是唯一的函数的极值不是唯一的.即一个函数在某区间上即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不

4、止一个或定义域内极大值或极小值可以不止一个. (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系极大值与极小值之间无确定的大小关系.即一个即一个函数的极大值未必大于极小值函数的极大值未必大于极小值,如下图所示如下图所示,x1是极大值是极大值点点,x4是极小值点是极小值点,而而f(x4)f(x1).ay yo oa ax x1 1x x2 2x x3 3x x4 4b bx x)(4xf)(1xf (4)函数的极值点一定出现在区间的内部函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端区间的端点不能成为极值点点不能成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部可能在区间的

5、内部,也可能在区间的端点也可能在区间的端点. 定理定理1 点点x0是是f(x)的极值点的必要条件是的极值点的必要条件是 或或 不存在。不存在。我们称满足我们称满足 的点为函数的点为函数f(x)的驻点。的驻点。由图可以看出由图可以看出,在函数取得极值处在函数取得极值处,如果曲线有切线的如果曲线有切线的话话,则切线是水平的则切线是水平的,从而有从而有 .但反过来不一定但反过来不一定.如如函数函数y=x3,在在x=0处处,曲线的切线是水平的曲线的切线是水平的,但这点的函但这点的函数值既不比它附近的点的函数值大数值既不比它附近的点的函数值大,也不比它附近的点也不比它附近的点的函数值小的函数值小.假设假

6、设x0使使 .那么在什么情况下那么在什么情况下x0是是f(x)的极值点呢？的极值点呢？0)(0 xf0)(0 xf)(xf 0)(0 xf0)(0 xfo oa ax x0 00b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xfo oa ax x0 0b bx xy y0)(0 xf0)( xf0)( xf 如上左图所示如上左图所示,若若x0是是f(x)的极大值点的极大值点,则则x0两侧附近两侧附近点的函数值必须小于点的函数值必须小于f(x0) .因此因此, x0的左侧附近的左侧附近f(x)只能只能是增函数是增函数,即即 ; x0的右侧附近的右侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即

7、 0)( xf. 0)( xf 同理同理,如上右图所示如上右图所示,若若x0是是f(x)极小值点极小值点,则在则在x0的的左侧附近左侧附近f(x)只能是减函数只能是减函数,即即 ;在在x0的右侧附近的右侧附近只能是增函数只能是增函数,即即 . 0)( xf0)( xf 从而我们得出结论从而我们得出结论:若若x0满足满足 ,且在且在x0的两侧的两侧的函数单调性相反的函数单调性相反,则则x0是是f(x)的极值点的极值点,f(x0)是极值是极值,0)(0 xf 一般地一般地,当当函数函数f(x)在在x0处连续处连续时时,判别判别f(x0)是极大是极大(小小)值的方法是值的方法是: (1):如果在如果

8、在x0的左邻域内有的左邻域内有 右邻域内有，右邻域内有， ，则，则f(x0)是极大值是极大值; (2):如果在如果在x0 的左邻域内有的左邻域内有 右邻域内有右邻域内有 ，则，则f(x0)是极小值是极小值. (3):如果在点如果在点x0的去心邻域内的去心邻域内 恒为正或恒为恒为正或恒为负，则负，则x0不是不是f(x)的极值点的极值点. 0)( xf0)( xf0)( xf0)( xf)(xf 注意注意: 可导函数的极值点一定是它导数可导函数的极值点一定是它导数为零的点为零的点,反之函数的导数为零的反之函数的导数为零的点点,不一定是该函数的极值点不一定是该函数的极值点.例例:求求y=x3/3-4

9、x+4的极值的极值.解解:).2)(2(42 xxxy令令 ,解得解得x1=-2,x2=2.0 y当当x变化时变化时, ,y的变化情况如下表的变化情况如下表:y x(-,-2) -2(-2,2) 2 (2,+) y + 0 - 0 + y 极大值极大值28/3 极小值极小值-4/3 因此因此,当当x=-2时有极大值时有极大值,并且并且,y极大值极大值=28/3;而而,当当x=2时有极小值时有极小值,并且并且,y极小值极小值=- 4/3.总结总结:求求可导函数可导函数f(x)的极值的步骤如下的极值的步骤如下:(1).求导数求导数).(xf (2).求方程求方程 的根的根.0)( xf(3)检查检

10、查 在方程根左右的值的符号在方程根左右的值的符号,如果左正右负如果左正右负, 那么那么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值;如果左正右负如果左正右负,那那 么么f(x)在这个根处取得极大值在这个根处取得极大值.)(xf 说明说明:本题中的极大值是小于极小值的本题中的极大值是小于极小值的,这充分表明极值这充分表明极值 与最值是完全不同的两个概念与最值是完全不同的两个概念.例例:求函数求函数 的极值的极值.)0()(2 axaxxf 定理定理3 3 设设x0是函数是函数f(x)的驻点的驻点(即即 ），且），且 f (x) 0 ，则则 (1) (1)当当f (x) 0时时，x0是是f(x)的极小值点的极小值点; (2) (2)当当f (x) 0,列表如下列表如下: x -1 (-1,1) 1 + 0 0 0 + f(x) 极大值极大值 极小值极小值 )(xf )1,( ), 1( 由表可得由表可得 ,即即 . 04) 1 (0) 1(4cbacbaf