BBD36微积分基本定理

1、1主讲教师主讲教师: 王升瑞王升瑞高等数学 第三十讲2二、积分上限的函数及其导数二、积分上限的函数及其导数 三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式 一、引例一、引例 第六节微积分基本定理 第三章 3问题的提出：问题的提出：利用定积分的定义（计算和式的极限）计算定积分是比较麻烦的。因此必须寻求计算定积分简便而有效的方法。牛顿与莱布尼茨在数学分析上的最主要的功绩之一就是他们发现了定积分和不定积分这两个不同的概念之间的内在联系。从而得到求定积分的一般方法。为此，我们对变速直线运动中遇到的位置函数)(ts及速度)(tv之间的联系作进一步的研究。4一、引例一、引例 在变速直线运动中, 已知位置函数)

2、(ts与速度函数)(tv之间有关系:)()(tvts物体在时间间隔,21tt内经过的路程为)()(d)(1221tststtvtt这种积分与原函数的关系在一定条件下具有普遍性 .)()(的原函数是这里tvts这表明，以速度)(tv运动的物体，在时间间隔,21tt内通过的路程问题就转化为用)(tv的原函数)(ts在区间,21tt端点处的函数值)(2ts)(1ts与的差来描述。5设baxdxfbaxf)(,)(上连续，若仅考虑在则它是一个定数。若固定下限, a让上限在ba,上变动，即取上的任意一点。由于为bax,上连续。在baxf,)(则在上也连续，从而xaxdxf)(存在。并称它为变上限的定积分

3、。变上限的定积分。xa,1、积分上限的函数及其导数、积分上限的函数及其导数6ba,x，为了避免混淆起见，由于定积分的值与积分变量的记号无关。于是变上限的定积分就可以改写成显然，当上限x在上变动时，对于每一个x值，变上限的定积分就有一个确定的值因此定义了一个x的函数xadttfx)()(xatdtf)(与它对应。确定的这里定积分的上限和积分变量均为7, ,)(bacxf则变上限函数xattfxd)()(证证:, ,baxxx则有xxxx)()(xxxttfxd)(1)(f)(xxxxxxxx)()(lim0)(limfx)(xf)(x.,)(上的一个原函数在是baxf,)(bacxf定理定理1.

4、 若)(xfy xbaoy)(xxxx8说明说明:1) 定理 1 证明了连续函数的原函数是存在的.2) 变限积分求导:)(d)(ddxfttfxxa)()(xfdttfdxdxa)(d)(dd)(xattfxdxxd)()(xxf同时也初步揭示了定积分与被积函数的原函数之间的关系。)()()(xadttfx)(xuuatdtfu)()(通过复合函数求导法有从而为通过被积函数的原函数计算定积分开辟了道路。bxttfxd)(dd9)()(d)(ddxxttfx)()()()(xxfxxf)()(d)(d)(ddxaaxttfttfx）（求1)(02xtdtex解：解：220)(xxtetdex11

5、2) 1 (eexx例例110tdttdxdx2sin解解：例例2：求根据复合函数的求导法则及求导公式有：tdttdxdx2sin)(sin222xxx22sin2xxxxx2sin211123)1ln(xtdtt)1ln(23xx例例4：321xxtdtxxxx21312232321213xxxx例例5：设函数)(xyy 是由方程xytdtyx022cos所确定，求.y解：解：方程两边同时对x求导得：) 1)(cos212yxyyyyxyxyy2)(cos1)(cos22例例3：12例例6 求极限0200)1ln(sinlim2xxxtdttttdi00解解0200)1ln()sin(lim

6、2xxxtdttttdi)1ln(sin2lim220 xxxxx2202limxxx2uu sinuu )1ln( 0u13)sin(2cosxex例例7. 求0limxtextd1cos22x解解:原式0limx00 x2e2114确定常数 a , b , c 的值, 使).0(d)1ln(sinlim20ccttxxaxbx解解:,0sin0 xxax时,0c. 0 b00原式 =)1ln(coslim20 xxaxcxxax20coslim c 0 , 故. 1a又由221cos1xx, 得.21c例例8. 15例例9 已知 .0 xftdtfxxfx求解解因为积分变量是 t ， 被积

7、函数中的 x 相当于 t 而言是常数， 根据定积分的性质， x 可以提到积分号外。 xtdtfxxf0 xtdtfx0 )(0 xtdtfxxf xtdtf0 xfx16三、牛顿三、牛顿 莱布尼兹公式莱布尼兹公式上的一个原在是连续函数设,)()(baxfxf)()(d)(afbfxxfba( 牛顿 - 莱布尼兹公式) 证证: 根据定理 1,)(d)(的一个原函数是xfxxfxa故cxxfxfxad)()(,ax 令, )(afc 得因此)()(d)(afxfxxfxa,bx 再令得)()(d)(afbfxxfba记作)(xfab)(xfab定理定理2.函数 , 则17例例1：利用牛顿莱布尼茨公

8、式计算定积分baxdx. 1bax22222ab 24sin. 2xdx24cosx42cosx2cos)4cos(22210. 3xdxxln2 . 0ln10ln2ln说明：说明：xxf1)(在2,10 上连续，且当0 x时)ln(lnxx是x1的一个原函数。所以上式成立。21018例例2. 计算.1d312 xx解解:xxxarctan1d31213) 1arctan(3arctan3127例例3. 计算正弦曲线轴所围成上与在xxy, 0sin的面积 . 解解:0dsinxxaxcos0cos0cos 2)4(yoxxysin19例例4 4：计算下列定积分xdx31213221)2()2

9、(dxxdxx21322312) 1()(dxxdxxdxxf2221)()(2231xxxxxfdxxf解：解：xx222163x3232720例例5：求02cos1dxx解：解：xx2cos22cos102cos2dxx0cos2dxx)coscos(2220 xdxxdx22x(sin22xsin02）xxxxxx2cos220cos2cos22cos1本例中应该注意：被积函数中含有绝对值和分段函数绝对值和分段函数的积分过程。21内容小结内容小结, )()(, ,)(xfxfbacxf且设则有1. 微积分基本公式xxfbad)(积分中值定理)(abf)()(afbf微分中值定理)(abf牛顿 莱布尼