2018年上海市徐汇区高三二模数学卷(含问题详解)

1、实用文档2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷高三数学2018.4一、填空题(本大题共有12 题，满分54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分)考生应在答题纸的相应位置直接填写结果1 已知全集U R ，集合 A xx2 2x 3 0 ，则CU A.2在x 1 的二项展开式中，常数项是.x3函数f(x) lg(3x 2x) 的定义域为4已知抛物线x2 ay 的准线方程是y 1 ，则 a .3245若一个球的体积为32 ，则该球的表面积为3x 0，6已知实数x， y 满足 y 0，则目标函数z x y 的最小值为x y 127函数f(x) sinx cosx 1 的最小

2、正周期是118若一圆锥的底面半径为3，体积是12 ，则该圆锥的侧面积等于.9将两颗质地均匀的骰子抛掷一次，记第一颗骰子出现的点数是m ，记第二颗骰子出现的点数是 n ， 向量 a m 2,2 n ， 向量 b 1,1 ， 则向量 ab的概率 是.10已知直线l1 : mx y 0,l2 : x my m 2 0 . 当 m在实数范围内变化时，l1与 l2的交点 P 恒在一个定圆上，则定圆方程是11 若 函 数 f(x)2(x 1)2 sin xx2 1最 大 值 和 最 小 值 分 别 为 M 、 m， 则 函 数g(x) M m x si n Mx 1图像的一个对称中心是12 已 知 向 量

3、 a, b 满8|a|154|b|15若对任意的文案大全(x, y) (x,y) | xa yb | 1,xy都 有 |x y| 1 成 立 ， 则 a b 的 最 小 值二、选择题（本大题共有4 题，满分20 分，每题分）每题有且只有一个正确选项。考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑13 在四边形ABCD 中， AB DC ， 且 AC · BD 0， 则四边形ABCD是 （）（ A）菱形（ B）矩形（ C）直角梯形（ D）等腰梯形114 若无穷等比数列an 的前 n 项和为Sn ，首项为1 ，公比为1 ，且 lim Sna ，2 nn1（ n N* ）， 则复数

4、z （ i 为虚数单位）在复平面上对应的点位于 （）aiA）第一象限（ B）第二象限（ C）第三象限（ D）第四象限15 在 ABC 中， “ cosA sin A cosB sinB ” 是 “ C 900 ” 的 A) 10D) 12B）必要非充分条件D）既不充分也不必要条件A） 充分非必要条件C） 充要条件B) 8( C) 4 5A1AC1C5 题，满分76 分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17 （ 本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第2 小题满分8 分 ）如 图 在 长 方 体 ABCD A1 B1C1 D1 中 ， AB 2 ， AD 4 ，AC121

5、，点M 为 AB 的中点，点N 为 BC 的中点（ 1）求长方体ABCD A1B1C1D1 的体积；（ 2） 求异面直线A1 M 与 B1 N 所成角的大小（用反三角函数表示）18 ( 本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分 )如图：某快递小哥从A地出发，沿小路AB BC 以平均时速20 公里 /小时，送快件到 C 处， 已知 BD 10(公里)， DCB 450 , CDB 300， ABD 是等腰三角形，ABD 1200( 1 ) 试问，快递小哥能否在50 分钟内将快件送到C 处？( 2) 快递小哥出发15 分钟后，快递公司发现快件有重大问题，由于通讯不畅，公司只

6、能派车沿大路AD DC 追赶，若汽车平均时速 60 公里 / 小时，问，汽车能否先到达C 处？19 ( 本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分 )已知函数f (x)x2 3tx 1 ，其定义域为0, 3 12, 15，(1) 当 t 2时，求函数y f (x)的反函数；(2) 如果函数y f (x)在其定义域内有反函数，求实数t的取值范围20 ( 本题满分16 分，第 1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分 )2x2如图， A, B 是椭圆 C : xy21 长轴的两个端点，2M , N 是椭圆上与A, B均不重合的相异两点，设直(1) 求

7、k2 k3的值；线 AM ,BN,AN 的斜率分别是k1,k2,k3.(2) 若直线 MN 过点0 ， 求证：k1 k3；2,136(3) 设直线 MN 与 x轴的交点为(t,0) ( t为常数且t 0)，试探究直线AM 与直线 BN 的交 点 Q 是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由21 (本题满分18 分，第 1 小题满分4 分，第 2小题满分6 分，第 3小题满分8 分 )A A1 *已知数列an 的前 n 项和An 满足n 1 n (n N* ) ，且a1 1 ，数列bn 满足n1 n 2*bn 2 2bn 1 bn 0(n N ) ， b3 2，其前

8、9 项和为36(1) 求数列an 和bn 的通项公式；(2) 当 n 为奇数时，将an 放在bn 的前面一项的位置上；当n 为偶数时，将bn 放在an 前面一项的位置上，可以得到一个新的数列：a1,b1,b2,a2,a3,b3,b4,a4,a5,b5, ，求该数列的前n项和 Sn ；1(3) 设 cn，对于任意给定的正整数k k 2 ，是否存在正整数l , m(k l m) ，an bn使得ck , cl, cm成等差数列？若存在，求出l, m( 用 k 表示 ) ；若不存在，请说明理由2017学年第二学期徐汇区学习能力诊断卷数学学科参考答案及评分标准2018.4一 填空题： (本大题共有12

9、 题，满分54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5 分 1,32 203 (0,)4 15 16611221878 9 10 x y 2x y 0 11 ， 1 12 6415二选择题：(本大题共有4 题，满分20 分，每题分)13 A14 D15 B 16 A三解答题： (本大题共5 题，满分74 分)17 ( 本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分 )【解】( 1) 连 AC 、 AC1ABC是直角三角形，AC22 42 2 5 ABCD A1B1C1D1是长方体，C1C BC， C1C CD ，又 DC BC C ，C1C 平面 ABCD

10、，C1C AC又在 Rt ACC1 中，AC121 ， AC 2 5，CC1 1 ，VABCD A1B1C1 D186分2）解法一：如图建立空间直角坐标系则A1 4,0,1 、 M 4,1,0 、B1 4,2,1 、 N 2,2,0 ，所以A1M0,1, 1 、B1N2,0, 1 ， 10分则向量A1M 与B1NA1M B1N10所成角 满足 cos 11A1M10异面直线A1 M 与 B1 N 所成的角等于arccos 10 14 分10解法二：取AD 的中点 E ，连A1 E 、 EM EN /AB/A1B1， 四边形A1B1 NE为平行四边形，A1E/ B1 N ，EA1 M 等 于 异

11、 面 直 线 A1M 与 B1N 所 成 的 角 或 其 补角AM 1 ， AE 2 ， AA11 ，得A1M2 ，A1E51DAA1EM 5 ，cos EA1M25522510，EA1Marccos 101011014异面直线A1 M 与 B1 N 所成的角等于arccos 10111018 （ 本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分 ）BDBCD 中，由0sin 45【解】（ 1 ） AB 10（公里） ，BC 0 ，得 BC 5 2 （公里）sin30 010 5 260 51.21 50知，20快递小哥不能在50 分钟内将快件送到C 处2)在 ABD 中，由

12、AD2 102 102 2101012300 ，AD 10 30 CD在 BCD 中， CBD 1050，由0sin105052sin300 ，得 CD 5 13 (公里) ，1010 3 51360 15 20 15 3 45.98 51.21 (分钟)60知处能-1419( 本题满分14 分，第 1 小题满分6 分，第 2 小题满分8 分 )(1)3x 8, x 8,3x 8, x 73,分1136(2)20303t10 若 0，即 t 0，则 y f x 在定义域上单调递增，所以具有反函数；3t若 15 ，即 t 10 ，则 y f x 在定义域上单调递减，所以具有反函数；23t3t当

13、312 ，即 2 t 8 时，由于区间0,3 关于对称轴的对称区间是-8-10 分3t 3,3t ，于是当3t 123t 或323t 3 153t ，即 t 2,4 或 t 6,8 时，122函数 yf x 在定义域上满足1-1 对应关系，具有反函数t(-14 分20 ( 本题满分16 分，第1 小题满分4 分，第 2 小题满分6 分，第 3 小题满分6 分 )(1) 设 N (x0 , y0) ，由于A( 2,0), B( 2,0) ，y0所以k2 k3y0x02 x022 y0N (x0, y0 ) 在椭圆C 上，于是2x0 y02 1 ，即x02 2 2y02，2k2 k32y0x022

14、4分(2) 设直线 MN : x my 222 x myM (x1, y1), N (x2 , y2) ，由2x2 2y2 2得 (m2 2)y2 2my 3 0， 2于是2m22 m2 2于是y1 y22, y1 y2m2 2k1 k3x1y1y22 x22y1y222 m2 22m y1y23229m y1y2232m2 m2 222m 92232292m 3m m 2221 10分6(3) 由于直线MN 与 x轴的交点为(t,0) ，于是MN :x my t ，2y2 1 的方程，可得x2联立直线MN : x my t与椭圆 C : x2(m2 2)y2 2mty t2 2 0 ，y1y

15、2mt2,y yt2 2m2 2-12 分AM :yy1(x 2) ，直线 BN : yy2(x 2) ，x12x22两式相除，可知y2 my1y2 (t 2)y2 y1 my1y2 (t 2) y1y1)m(t 2)2 (t2)(m2 2)y1m(t2 2) (t2)(m2 2)y1x2x12y2my1t2x2x22y1my2t22t 22mtm 2 (t 2)(2m2m2m t 2 2 (t 2) y1 m2t 2 m(t 2) (m2 2)y1 t 2t 2 m(t 2) (m2 2)y12 t22于是 xt 2，所以 x ，即直线AM 与直线 BN 的交点 Q 落在定直线x 上 16

16、分21 (本题满分18 分，第 1 小题满分4 分，第 2小题满分6 分，第 3小题满分8 分 )(1) 因为An 1An1 (n N* )，于是数列An 是首项为1，公差为1 的等n1 n 2n2差数列，A1 1所以 n n ，即n22n(n 1)*An2 (n N*)，n 2 时，anAn An 1 n ，又因为a1 1 ，所以an n(n N ) .又因为bn 2 2bn 1 bn 0(n N*) ，于是数列bn 是等差数列，设bn的前 n 项和为Bn ，由于B99b536 ，则b54，由于b32，所以bn1 n4分(2) 数列an 的前 n 项和An，数列bn 的前 n 项和Bn 5

17、分22当 n 2k(k N*) 时，Sn S2k Ak Bk k(k 1) (k 1)k k2； 6 分n 2k k k 22当 n 4k 3(k N*) 时，SnS4k3 A2k1 B2k 2k(2k1)(2k3)(k1) 4k26k 3； 7 分当 n 4k 1(k N*) 时，2SnS4k 1 A2k 1 B2k (2k 1)k (2k 1)k 4k2 2k ； 8Sn1 n2,n 2k4n2 3,n 4k 34n2 1,n 4k 1410k N*(3) 由 (1) 可知，cn2n 1ck , cl ,cm 成等差数2clckcm 即2l1 k2，1m1若对于任意给定的正整数k k 2 ，存在正整数l , m(k l m) ，使得114k 2l 1所以2m 1 2l 12kl k 2l2k 1(2l 1)(2k 1)(k 1)(2l 1 4k) (2k 1)24k 2l 14k 2l 11k(2k 1)24k 2l 14kk2l2