2019真题汇编-平面解析几何(答案解析版)

1、专题平面解析几何1.【2019年高考全国I卷理数】已知椭圆C的焦点为F1( -1,0) , F2(1,0),过的直线与C交于A, B两点.若I AF2 |二2 F2B I, ABl=IBFIl ,则C的方程为2A. y12B.=12 2C. £ 143【答案】B2 2X y JID.154【解析】法一：如图，由已知可设F2 B = n ,贝V AF2 = 2n , BF1 = AB= 3n ,由椭圆的定义有 2a = BF1 + BF2 = 4n ,二 AR =2a AF? =2n .3在ARB中，由余弦定理推论得cos_ F1AB =2 2 24n 9n -9n2 2n 3n在厶A

2、F1 F2中，由余弦定理得4n2 4n2-2 2n 2n 1 = 4 ,解得 n =332.2a =4 n=23,. a=,3,. b2 = a2-c2 = 3-1 = 2 ,.所求椭圆方程为2 2X -1 ,故选B.3 2法二：由已知可设 F2B = n ,则 AF2 =2 n, BFI= AB =3 n ,由椭圆的定义有2a=BF1BF2 = 4n ,二 AR =2a-AF2 =2n .在厶 AF1F2 和厶 BF1F2 中，由余弦定理得 I4；*42'2 n'2 c：SNAF2 ,In2 +4-2 n 2 8SBF2F1 =9n2又/AF2F1 , MBF2F1 互补，.

3、cos/AF2F1 亠 CoSMBF2F1 = O，两式消去cos AF2F1, c0s BF2R ,得 3n26=11 n2 ,解得2a =4 n =2-,3,. a、, 3,. b2 = a2 - C2 = 3-1 = 2 ,.所求椭圆方程为=1，故选B.【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的 能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.2.【2019年高考全国卷理数】若抛物线y2=2px( p>0)的焦点是椭圆X23p P2=1的一个焦点，则P=A. 2C. 4【答案】DB. 3D. 8【解析】因为抛物线=2 PX(P 0)的焦点,0)是椭

4、圆2 2X y1的一个焦点，所3p P以 3p -p =(-)2 ,解得 P =8 ,故选 D.2【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养.解答时，禾U用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于P的方程，从而解出 P,或者利用检验排除的方法，如 P =2时，抛物线焦点为(1, 0),椭圆焦点为(± 2, 0),排除A,同样可排除B, C,从而得到选D.3.【2019年高考全国卷理数】2设F为双曲线C： %a2b1(a o,b 0)的右焦点,坐标原点，以OF为直径的圆与圆2 + y2 =a2交于P, Q两点.若PQ = OF ,贝y C的离心率为A- 2C

5、. 2D. ,5【答案】A【解析】设PQ与X轴交于点A ,由对称性可知PQ _ X轴,又；PQ =OFc,PA=c,. PA为以OF为直径的圆的半径,2.I I C JCC IOA 2，P 2,2 ，又P点在圆x2 y2 = a上，2 2C C 2a442 2即乳几斧24#先考虑几何法，避免代数法从头至尾运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是 圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来解答本题时，准确画图，由图形对称性得出可求双曲线的离心率.4.【2019年高考全国川卷理数】双曲线C：P点坐标，代入圆的方程得到 C与a的关系,2 2X =1的右焦点为F,点P

6、在C的一条渐4 2近线上，O为坐标原点，若 PO = PF ,则 PFO勺面积为A.【答案】A【解析】由 a =2,b = 2, c= Ja2 +b2 =6, ；IPOl=IPFl ,二 XP=£ ,又P在C的一条渐近线上，不妨设为在by X上，则a11二 Smfo =1OF DP=丄汇 J6x<3=3 ,故选 A2 224【名师点睛】本题考查以双曲线为载体的三角形面积的求法，渗透了直观想象、逻辑推 理和数学运算素养采取公式法，利用数形结合、转化与化归和方程思想解题忽视圆 锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅，采取列方程组的方式解出三角形 的高，便可求三角形面积.5.

7、【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2 2X y11a b(a> b> 0)的离心率为A. a2=2b2B.3a2=4b2C. a=2bD.3a=4b【答案】BC【解析】椭圆的离心率 e =a1 2,c2-a - b2，化简得 3a? = 4b ,故选B.?基本运【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识算能力的考查由题意利用离心率的定义和a,b,c的关系可得满足题意的等式C:6 .【2019年高考北京卷理数】数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线2 2X y =1|X| y就是其中之一(如图).给出下列三个结论:曲线C恰好经过6个整点曲线C上任意一

8、点到原点的距离都不超过,2 ；曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是AVC.D【答案】C【 解 析 】 由 X y2 = x y 得-Xy = X23x2所以X可取的整数有0, -1, 1,从而曲线C : X2 y Vx y恰好经过（0 , 1）,（0 , -1）, (1 , 0) , (1 , 1) , ( -1, 0) , (-1, 1),共 6 个整点，结论正确.2222 2+v222由X +y =1 + x y得，X +y , 1+J ,解得x+y兰2 ,所以曲线C上任意2点到原点的距离都不超过 、2结论正确如图所示，易知 A 0,-1 ,B 1,0 ,C

9、1,1, ,D 0,1 ,1 3四边形ABCD的面积S四边形ABCD=I 1 1 1 1,很明显“心形”区域的面积大于2 22S形ABCD ,即“心形”区域的面积大于3,说法错误.故选C.【名师点睛】本题考查曲线与方程 ？曲线的几何性质，基本不等式及其应用，属于难题，注重基础知识？基本运算能力及分析问题、解决问题的能力考查，渗透“美育思想”将所给方程进行等价变形确定X的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的 范围7【2019年高考天津卷理数】已知抛物线y2 =4x的焦点为F ,准线为I ,若I与双曲线2 2X

10、y -岂=d(a 0,b 0)的两条渐近线分别交于点 A和点B ,且IAB =4 OF | ( O为 a b原点)，则双曲线的离心率为A. .、2C. 2【答案】DB., 3D.5【解析】抛物线y2 =4x的准线I的方程为X = -I ,双曲线的渐近线方程为y= -X ,a 则有 A( -1,b), B(-1b),aaABI=些,空=4 ,a aC . a2 b2- e = = = 5a a故选D.【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解,解题关键是求出 AB的长度解答时，只需把AB=40F用a,b,c表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率&【2019年高考浙江

11、卷】渐近线方程为 X ± y=0的双曲线的离心率是A.B. 1C. , 2【答案】CD. 2【解析】因为双曲线的渐近线方程为X - y = 0 ,所以a = b ,则Ca2 b2 、2a，所以双曲线的离心率 e = & 2.故选c.a【名师点睛】 本题根据双曲线的渐近线方程可求得a = b,进一步可得离心率， 属于容易题，注重了双曲线基础知识、基本计算能力的考查.理解概念，准确计算，是解答此类问题的基本要求.部分考生易出现理解性错误 .9.【2019年高考浙江卷】 已知圆C的圆心坐标是（O, m）,半径长是r.若直线2x _ y 3 = 0与圆C相切于点 A(2, 1),则m

12、=, r =【答案】-2 , 、5【解析】由题意可知kAC兰一A ACyI =12（x2）,把（Q m代入直线AC的方程得 m - -2 ,此时 r =I ACI= 、厂5 【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系首先通过确定直线 AC的斜率，进一步得到其方程，将 （0,m）代入后求得m ,计算得解解答直线与圆的位置关 系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质2 210.【2019年高考浙江卷】已知椭圆 1的左焦点为F ,点P在椭圆上且在X轴的95上方，若线段 PF的中点在以原点 O为圆心，OFl为半径的圆上，则直线 PF的斜率 是.【答案】.15【解析】方法

13、1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知 OFFOM |= C= 2 ,由中位线定理可得PR =2| OM F4 ,设P(x, y),可得(x 2)2 + y2 =16 ,与方程-11联立，可解得x-弓，X = 21 （舍），9 5 2 215,所以kPF 1又点P在椭圆上且在X轴的上方，求得 P 一3,15I 2 2丿方法2：（焦半径公式应用）由题意可知IoFI=IoM I= C= 2 ,3由中位线定理可得 PF1 =20M I= 4 ,即a-exp =4= Xp ：5, 3 x75 从而可求得P , ，所以kpF = 15.I 22丿PF12【名师点睛】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几

14、何性质、圆的方程与性质的应用，利用数形结合思想，是解答解析几何问题的重要途径结合图形可以发现，利用三角形中位线定理，将线段长度用圆的方程表示，与椭圆方程联立可进一步求解 也可利用焦半径及三角形中位线定理解决，则更为简洁2 211.【2019年高考全国川卷理数】设 F, F2为椭圆C: += 1的两个焦点，M为C上一3620点且在第一象限.若厶MF1F2为等腰三角形，则 M的坐标为.【答案】3,-15【解析】由已知可得 a2 = 36, b2 = 20 , c2 = a2 - b2 = 16 , c = 4 ,二 MFII=IF1F2 =2c = 8, MF2 =4 .、 一 1设点 M的坐标为

15、（X。，y0後 x0 A O ,y0> 0 ）,则SAmf1F2= FIF2 4 y0 ，1 2 2又 SaMF1F2 壬 4 .82 -22 =4 .15 ,. 4y。=4 15 ,解得 y°r15 , 2x! .15 _ 1 ,解得 x3 （ XO = -3 舍去）,3620 一M的坐标为3,15 .【名师点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好地落实了直观想象、逻辑推理等数学素养.解答本题时，根据椭圆的定义分别求出MF1、MF2 ,设出M的坐标，结合三角形面积可求出M的坐标.2 212.【2019年高考全国I卷理数】已知双曲线C:

16、Xy _爲=1心.0,b 0）的左、右焦点a bF1B F2 B = 0 ,则C的离心率为A, B 两点.若 FIA = AB ,分别为F1, F2 ,过F1的直线与 C的两条渐近线分别交于【答案】2【解析】如图，由F1A = AB）得 RA= AB.又 OR = OF?,得OA是三角形FB的中位线，即 BF?/ OA,BF2 =2OA.由 F1B F2B=O ,得 RB _ F Br OA _ FA,OB =OF1 , AOB= AOF1,又OA与 OB都是渐近线，得 BOF2 =/AOF1,又 NBOF2+NAOB+NAOF1 = , .艺BOF2 =NAOF1 =NBOA = 60又渐近

17、线OB的斜率为一 =tan603 ,二该双曲线的离心率为ae 竺1 J）2 = 1（、3）2 =2 .a a【名师点睛】本题结合平面向量考查双曲线的渐近线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取几何法，利用数形结合思想解题.解答本题时，通过向量关系得到FiA = AB和OA _ FiA ,从而可以得到.AOB =/AOFi ,再结合双曲线的渐近线可得._BOF2 = AOFi,进 而得到BOF. AOFI= . BOA= 60 ,从而由b=t a n 6 0三可求离心率.a213. 【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系XOy中，若双曲线x2-y2=i(b . 0)经过点(3,

18、 4),则该双曲线的渐近线方程是.【答案】42 _ _【解析】由已知得32 - 一2 = 1 ,解得b = . 2或b = - . 2 ,b因为b 0 ,所以b 2因为a =1 ,所以双曲线的渐近线方程为 y = .2x.【名师点睛】双曲线的标准方程与几何性质，往往以小题的形式考查，其难度一般较小，是高考必得分题.双曲线渐近线与双曲线标准方程中的a,b密切相关，事实上，标准方程中化1为0,即得渐近线方程.414. 【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系 XOy中，P是曲线y = x (X 0)上的一个X动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 .【答案】44【解析】当直线x+y=0平移到

19、与曲线y=x 相切位置时，切点 Q即为点P,此时到直X线x+y=0的距离最小.由 y'1=T ,得 X = &(X = -.2 舍) , y =3& ,即切点 Qc"2,3-2),X2+32则切点Q到直线x+y=0的距离为4 ,故答案为4 .【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题15. 【2019年高考全国I卷理数】已知抛物线C: y2=3x的焦点为F,斜率为-的直线l与C的交点为A, B,与X轴的交点为P.(1)若 I AF+ BF=4 ,求 I 的方程；(2

20、)若 AP =3PB ,求 |AB .【答案】(1) y =3X-7 ；2 8(2)4.133【解析】设直线3I : y 二尹 t, A x1,y1 ,B X2,y2 .(1)由题设得F 3,014,故 | AF| BF x< X2 -,由题设可得 x1x-J224r 3V X t由y 2 ,可得2y=3x9x2 12(t -1)X 4t2 =0 ,则 x1 X2 = 12(t -I)132,从而3所以I的方程为y X-2 8(2)由APtPB 可得 yr® .y X t2y2 =3x由 2 ,可得 y -2y 2t =0 .所以 y1 y2 =2 .从而 -3y2 y2 =

21、2 ,故 y2 = -1,y1 = 3.代入C的方程得X1 =3,X2 =1 .3故 IABI =4 133【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题， 涉及平面向 量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系16.【2019年高考全国卷理数】已知点A：-2, 0) , B(2 , 0),动点MX, V满足直线 AM1与BM的斜率之积为-丄记M的轨迹为曲线 C2(1) 求C的方程，并说明C是什么曲线；(2) 过坐标原点的直线交 C于P, Q两点，点P在第一象限，PEX轴，垂足为E,连结QE并延长交C于点G (i )证明： P

22、QG是直角三角形;(ii )求厶PQG面积的最大值【答案】16(1)见解析；(2).9【解析】2 2(1)由题设得一yy1 ,化简得-y1(|x卜2),所以C为中x+2 X-2242心在坐标原点，焦点在 X轴上的椭圆，不含左右顶点.(2)( i )设直线PQ的斜率为k ,则其方程为y = kx(k 0).y = kx2由X2 y2 得 一+L=1+2k2.422记 U2 ,则 P(u,uk), Q( -UUk), E(u,0).Jl+2k2kk于是直线QG的斜率为仝，方程为y ( 一 U).22y =尹-u), 由22 得X-422 2 2 2 2(2 k )x -2uk XkU -8 =O

23、设G(XG ,yG),贝U -U和XG是方程的解，故2u(3k 2)2 k2,由此得yG =Uk从而直线PG的斜率为uk32 k2-Uku(3k22)2 k2-U2 .15所以PQ _ PG ,即 PQG是直角三角形.(ii )由(i )得 |PQ2u .k2，IPGl= 2u；：2 -,所以 PQG勺面积1918(K k)1S弓Pa PGI=8k(1 k2)22-(1 2k2)(2 k2)设t=k+-,则由k>0得t 2,当且仅当k=1时取等号. k8+因为S2在2 , +)单调递减，所以当 t=2,即k=1时，S取得最大值，最大1+2t2值为169因此， PQGr积的最大值为169【

24、名师点睛】 本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题,考查了数学运算能力，考查了求函数最大值问题17.【2019年高考全国川卷理数】已知曲线C的两条切线，切点分别为 A, B.(1)证明：直线AB过定点：C y=- , D为直线y=-1上的动点，过2 25(2)若以E(0 ,-)为圆心的圆与直线2ADB啲面积.AB相切，且切点为线段 AB的中点，求四边形【答案】(1)见详解；(2) 3或4 2.【解析】(1)设 D t,-1 , A x1y ,则 X2 =2%.I 2丿由于y= ,所以切线DA勺斜率为x1 .整理得 2 tx1 -2 y1

25、+1=0.设 B X2,y2 ,同理可得 2tX2 -2 y2+1=0 .故直线AB的方程为2tx_2y 1=01所以直线AB±定点(0 -).，21(2)由(1)得直线AB勺方程为y "X .2丄1=tx2X22可得 X -2tx -1=0.于是x1x2= 2t,x1x2=-1,y1y2= tx1X21 = 2t2 1,| AB|=+t2 X1 -X2 = J1 +t2 KJ(X1 +X2 丫 4X1X2 = 2(t2 +1 )2设d11d2分别为点D E到直线AB勺距离，则d t2 1, d2 LJt2 +1因此，四边形 ADB的面积 S=IlABld1 d2 = t2

26、 3 、t2 1 .2设M为线段AE的中点，则M t,t2 1.:EM _ AB ,而 EM= t,t2 一2，由于EM _AB与向量(1, t)平行，所以t t2 - 2 t = 0 .解得t=0或t »1.当 t=0时，S=3;当 t = 1 时，S =4'.2.因此，四边形ADB的面积为3或4 2.【名师点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题，第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班地求解就可以，思路较为清晰，但计算量不小18.【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C x2=-2py经过点(2, -1).(1) 求抛物线C的方程及其准线方程；(2) 设O为原点，过抛物

27、线 C的焦点作斜率不为 0的直线I交抛物线C于两点M N, 直线y=-1分别交直线 OM ON于点A和点B.求证：以 AB为直径的圆经过 y轴上的两 个定点.【答案】(1)抛物线C的方程为X2 = -4y ,准线方程为y =1 ; (2)见解析.【解析】(1)由抛物线C : X2 - -2py经过点(2, -1),得P =2.所以抛物线C的方程为2=-4y ,其准线方程为y=1.(2)抛物线C的焦点为F(0, -1).设直线I的方程为y = kx 一 1(k = 0).由Xk4y,得 2m.设 M X1,y1 , N X2, y2 ,则 xx -4.直线OM的方程为y =上X.X令y = -1

28、 ,得点A的横坐标XA-y同理得点B的横坐标XB-y2设点 D(0, n),则 DA =/ 、X1-,_1 _ nT,DB =f、X2-，_1_ nJ y1丿< y2丿DA DB 竺(n 1)2y”2X1X2Z 2 V-X1-2、X2'、4 J4丿(n 1)2二匹(n FX1X22= -4 ( n 1).令 DA DB = 0,即卩 一4 (n 1)2 =0 ,贝U n综上，以 AB为直径的圆经过 y轴上的定点(0,1)和(0, -3).【名师点睛】本题主要考查抛物线方程的求解与准线方程的确定，直线与抛物线的位置关系，圆的性质及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力X

29、2 y219. 2019年高考天津卷理数】设椭圆 盲+七=1(a Ab A0)的左焦点为F ,上顶点为B 已a b知椭圆的短轴长为4,离心率为.5(1) 求椭圆的方程；(2) 设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M为直线PB与X轴的交点，点N在y轴的负半轴上若IoN I=IoF | ( O为原点)，且OP _ MN ,求直线PB的斜率.【答案】/ 八X2 丄 y2彳2>30 十2/30(1)1 ;( 2)或5455【解析】(1)设椭圆的半焦距为C ,依题意，24,-5 ,又ab2 c2 ,可得a 5a =、5 , b=2, c=1 .2 2所以，椭圆的方程为 -y 1 .54(2

30、)由题意，设P XP P XPuo , M XM ,0 设直线PB的斜率为k k = 0 , 又B 0,2 ,则直线PB的方程为y = kx 2 ,y = kx 2,与椭圆方程联立2y2整理得4 5k2 X2 20kx=0,+ = 154,可得XP二20k24 5k代入y = kx 2得yP8-10k22""4 5k进而直线OP的斜率yP _ 4-5k2XP-10k212在 y=kx2 中，令 y=0 ,得 xm.k由题意得N 0, -1 ,所以直线MN的斜率为- k .2丝，从而k4 -5k2'' k 由OP丄MN ,得,1 ,化简得k2-10k I 2

31、丿所以，直线PB的斜率为0或-20【名师点睛】 本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识 考查用代数方法研究圆锥曲线的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.2 220.【2019年高考江苏卷】 如图，在平面直角坐标系 Xoy中，椭圆C笃十爲=l(a a b > 0)a b的焦点为Fi (- 1、0), F2 (1, 0).过F2作X轴的垂线I，在X轴的上方，I与圆2 2 2F2：(X-1) +y =4a交于点A,与椭圆C交于点D连结AF并延长交圆F2于点B,连 结B交椭圆C于点E连结 DF.已知DF= 5 .2(1) 求椭圆C的标准方程;(2) 求点E的

32、坐标.223【答案】(1) y 1 ； (2) E(J-P).432【解析】(1)设椭圆C的焦距为2c.因为 F1(-1, 0) , F2(1 , 0),所以 F1F2=2, c=1.又因为 D=I , AR X 轴，所以 DF=JDFFFF = J(5)222 =寸，因此 2a=DF+DF=4 ,从而 a=2.由 b2=a2-c2,得 b2=3.2 2因此，椭圆C的标准方程为 =1.432 2(2)解法一：由(1)知，椭圆 C: =1 , a=2,43因为AF2丄X轴，所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=± 4.因为点A在X轴上方，所以AI , 4).又 F(-1，0),所以直线 AF： y=2+2.y =2x 22由(X-1)2 y2.16，得 5x 6-10，解得 X"或 X =11代入y5=2x 2，得 y = _12511 12因此B(=上).553又 F2(1，0),所以直线 BF2： y (X -1).43y(X -I)4T 221_43,得 72 -6x -13 =0 ,解得 X 二-1 或 X = 13又因为E是线段B与椭圆的交点，所以 x = -1