信号系统ch346

1、3.4 非周期信号的频谱非周期信号的频谱 前面讨论了周期信号的分析，在实际工作前面讨论了周期信号的分析，在实际工作中将会遇到很多非周期信号。中将会遇到很多非周期信号。(而周期信号本而周期信号本身也可以看成是一般信号的特例身也可以看成是一般信号的特例)首先，从周期信号取极限来看待非周期信号。首先，从周期信号取极限来看待非周期信号。（然后，将用非周期信号的方法来讨论周期信（然后，将用非周期信号的方法来讨论周期信号。从而统一之）号。从而统一之）3.4.1 从傅里叶级数到从傅里叶级数到傅里叶变换傅里叶变换)()(limtftftt. . . . .f t ( )ftt( ) 的傅氏级数的形式的傅氏级数

2、的形式:ftt( )ntjnnteftf0)(t detftftttjntn220)(1(n为整数为整数)上节已知，当上节已知，当 时，时， （谱线（谱线非常密），主峰高度非常密），主峰高度 ，即，即 。020tt t 0fn 0当周期矩形信号时当周期矩形信号时显然，用傅氏级数的方法，再用频谱显然，用傅氏级数的方法，再用频谱fnn0fnn0已经是不可能的了。但上节谈到的已经是不可能的了。但上节谈到的 形状没形状没有改变。下面讨论这些无穷小量应如何表示。有改变。下面讨论这些无穷小量应如何表示。fn如果改变正变换式为如果改变正变换式为tfft edtntttj nt( )220上式的积分有可能为有

3、限值。上式的积分有可能为有限值。由于由于t很大，故很大，故t可表示为可表示为t 220其中，其中， 表示频谱间隔。得表示频谱间隔。得tfft edtfjnntttj nt( )()22*表示上式是表示上式是 的函数。相应的的函数。相应的 表示表示为为()jn ftfjntetjntn( )() f t ( )*由由 * 取极限，取极限， , 得得limlim( )( )tntttj ntjttfft edtft edt 022 0n定义：定义：fjtfft edttnjt()lim( ) 称为傅里叶正变换。称为傅里叶正变换。 可简写为可简写为f ()fj()由由 * * * 可得可得ftftf

4、jntefjnetttjntnjntn( )lim( )lim()lim() 02以上两式称为傅里叶变换对以上两式称为傅里叶变换对)()(ftf当当 ， ，定义，定义t dnftfjedjt( )()12称为傅里叶反变换。称为傅里叶反变换。)()(),()(1ftftfff ff f记为形象地说，周期信号形象地说，周期信号 与频谱与频谱 之间存在之间存在着一一对应的关系，即着一一对应的关系，即fnftftn( ) ftt( )122ttftt( )nf1/424240)2(sat例如例如时域时域：连续、周期：连续、周期频域频域：离散、非周期：离散、非周期而而 非周期信号非周期信号 与频谱与频谱

5、 之间已经不存之间已经不存在这种一一对应的关系了，但存在如下另一在这种一一对应的关系了，但存在如下另一种一一对应的关系：种一一对应的关系：f t ( )fnf ttff jtn( )lim()f t ( )122t201/4244)2(satf j()时域时域：连续、非周期：连续、非周期频域频域：连续、非周期：连续、非周期与周期信号分解为傅里叶级数类似，非周期与周期信号分解为傅里叶级数类似，非周期信号进行傅里叶变换同样要满足一定的条件，信号进行傅里叶变换同样要满足一定的条件，其中，把原来的其中，把原来的3.4.2 傅里叶变换存在条件傅里叶变换存在条件ftd ttt()22改为改为ftd t()

6、 即要求信号即要求信号在无限区间内绝对可积在无限区间内绝对可积。(此条件是此条件是充分条件充分条件)说明：如满足上述条件，则傅氏变换一定存说明：如满足上述条件，则傅氏变换一定存在（即一定是普通函数）。在（即一定是普通函数）。反之，如果引入广义函数后，信号不满足此条反之，如果引入广义函数后，信号不满足此条件，也有可能傅氏变换存在。件，也有可能傅氏变换存在。( (如阶跃信号等如阶跃信号等) )例：求如图所示单个矩形脉冲的频谱。例：求如图所示单个矩形脉冲的频谱。)()(tarecttfat22解：据傅里叶变换的定义有解：据傅里叶变换的定义有22sin)(22aeejajj)2(saadtetfftj

7、)()(2222jeadteatjtj)(f22a之间的关系傅里叶复系数与相应的周期信号的非周期信号的频谱密度nff)(00)(lim)(nnnnttfftff)2()()2()(00nsatatffsaafnn则周期矩形脉冲所以，若矩形脉冲可见，可见， 曲线和曲线和 的包络线形状是相同的。的包络线形状是相同的。f()fn的虚奇函数。是的实奇函数，则其是)()(fttf奇偶函数的傅里叶变换有它们的特点，如：奇偶函数的傅里叶变换有它们的特点，如：的实偶函数，有是的实奇函数是的实奇函数，则是证明：若tttftttfttfsin)(cos)()(的虚奇函数是0sin)(2tdttfjdtetfftj

8、)()(tdttfjttfsin)(cos)(tdttfjsin)(3.4.3 傅里叶变换的物理意义傅里叶变换的物理意义1.1.傅里叶级数的物理意义：傅里叶级数的物理意义：ntjnnteftf0)(周期信号周期信号表述为表述为 无限多频率分量的无限多频率分量的离散和离散和2.2.傅里叶变换的物理意义：傅里叶变换的物理意义：f tfjedjt( )()12非周期信号非周期信号表述为表述为 无限多频率分量的无限多频率分量的连续和连续和分解为无限多个频率为分解为无限多个频率为 复振幅为复振幅为fd()2或或ft()的指数分量的指数分量ejt的连续和。（积分）的连续和。（积分）fd()2ft()注意：

9、注意：或或为无穷小量。为无穷小量。而周期信号来说而周期信号来说fn为有限量。为有限量。对于任意非周期信号来说对于任意非周期信号来说即非周期信号在所有频率上都具有即非周期信号在所有频率上都具有分量分量。周期、非周期信号两者所不同的是周期、非周期信号两者所不同的是周期信号周期信号 频谱是离散的，且各频率分量的频谱是离散的，且各频率分量的复振幅复振幅 为有限值；而为有限值；而非周期信号非周期信号 频谱是连续的，且各频率分量频谱是连续的，且各频率分量的复振幅的复振幅 为无限小量。为无限小量。fnfd()2所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无所以，对非周期信号来说，仅仅去研究那无限小量是没有意义的，其

10、频谱不能直接引用限小量是没有意义的，其频谱不能直接引用复振幅的概念。由复振幅的概念。由即把即把 理解成各频率分量沿频率轴的分理解成各频率分量沿频率轴的分布，具有布，具有密度密度的量纲和概念，故称的量纲和概念，故称 为为频率密度函数频率密度函数。简称。简称频谱密度频谱密度，或在不发，或在不发生混淆时简称生混淆时简称频谱频谱。（注意与周期信号的。（注意与周期信号的频谱概念上的不一样）频谱概念上的不一样）f()f()ftfffftnnfn()limlimlim 002可知，可知， 量纲是量纲是单位频带的复振幅单位频带的复振幅。f()这类似于物理学中的物体质量线密度函数。这类似于物理学中的物体质量线密

11、度函数。当然，在数学上也可以直接来定义傅里叶当然，在数学上也可以直接来定义傅里叶变换：变换：f tfedjt( )()12fft ed tjt()( )f tf( )()可以认为可以认为两个不同的空格函数两个不同的空格函数之间存在上述之间存在上述一一对应的关系。记为一一对应的关系。记为与周期信号的傅里叶级数类似，与周期信号的傅里叶级数类似， 一般为一般为复函数。为复函数。为f()ffej()()() f() () 称为幅频特性；称为幅频特性；称为相频特性。称为相频特性。总称频率特性总称频率特性当信号为当信号为实函数实函数时，幅频特性为频率的时，幅频特性为频率的偶函数偶函数；相频特性为频率的；相

12、频特性为频率的奇函数奇函数。且。且均为均为频率的频率的连连续函数续函数。3.3.奇偶函数傅氏变换的特性奇偶函数傅氏变换的特性实偶函数的傅氏变换是实偶函数；实偶函数的傅氏变换是实偶函数；实奇函数的傅氏变换是虚奇函数；实奇函数的傅氏变换是虚奇函数；考察考察f tftfteo( )( )( )的频谱的频谱ffjf()re()im()fte( )fto( )f t ( )ftfe( )re()ftjfo( )im()有有1. 矩形脉冲矩形脉冲a)(tft22202)(ttatarect3.5 一些常见信号的频域分析一些常见信号的频域分析)2()(saaf)2()(saaf幅度频谱a22)(f矩形脉冲的

13、有效带宽矩形脉冲的有效带宽:0 -0 -2)()(teatft2.单边指数脉冲单边指数脉冲jajaedteadtetaedtetfftjtjtjttj0)(0)()()()()(22 ()相位频谱相位频谱()03. 双边指数脉冲双边指数脉冲0)(taetfjaja4. 三角形脉冲三角形脉冲tttatatf0)1 ()2()()2(tat0adteeaftjt)(dteeadteeatjttjt00222adtetfftj)()(tdttfjttfsin)(cos)()2()2(sin4222saaa是实偶函数，故由于此处)(tf00cos)1 (2cos)(2tdttatdttf00cos2c

14、os2tdttatdta0)(sin2sin2ttdaaa22)(f频谱频谱5. 单位冲激信号单位冲激信号1)()(0ttjtjedtett)(f01若将上式写成傅里叶反变换的形式，有若将上式写成傅里叶反变换的形式，有( ) tedjt12考虑到冲激函数是偶函数，可得如下重要公式考虑到冲激函数是偶函数，可得如下重要公式7. 正负号信号正负号信号0101)(tttsgnedxyjxy 2()6. 直流信号直流信号ft ( ) 1由傅里叶变换定义由傅里叶变换定义fedtjt()() 20(2 )f ()jj22lim220lim)(000dteedteetsgntjttjt11lim0tjj此方法

15、所得到的结论是正确的，此方法所得到的结论是正确的，但方法是不好的，不能推广。但方法是不好的，不能推广。)()(lim)(0tetetsgnttt)(tsgn01-1可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，可见，高斯脉冲信号的频谱仍为高斯脉冲，特别地，若特别地，若 , ,有有a 11,f tet( ) 2f fef( ) 28.高斯脉冲高斯脉冲( (钟形脉冲钟形脉冲) )信号信号aea et( )() 222，3.6 傅里叶变换的性质及其应用傅里叶变换的性质及其应用 本节是这一章的重点，运用重于证明。用本节是这一章的重点，运用重于证明。用性质计算傅氏变换或傅氏反变换既方便又概念性质计算傅氏变换或傅

16、氏反变换既方便又概念清楚。只有了解了时域和频域的全部信息，我清楚。只有了解了时域和频域的全部信息，我们才可以说了解了这个信号。今后，当在时域们才可以说了解了这个信号。今后，当在时域中分析信号遇上了困难，可以利用中分析信号遇上了困难，可以利用 在频域在频域中加以分析和深化。反之亦然。中加以分析和深化。反之亦然。f()1. 线性线性为常数。则若babfaftbftafftfftf,),()()()()()(),()(212122111 11 1-1-12 23 3-2-2= =-2-22 22 21 11 1-1-1例例fsasa()()42222. 对称性对称性)(2)()()(ftfftf则若

17、deftftj)(21)(证明：deftftj)()(2正变换反变换dtetfjfdejftftjtj)()()(21)(dxexfxdeftfjxttj)()()(2)()()()(2tfdtetftxdxexfftjjx)()(tarecttf如：)2()(saaf)2()(tsaatf)(2)(2arectf)()()(fftf为偶函数，则若f tf( )( ) 2f tf( )()所以有：若所以有：若 ，则，则 。)(f22a)(tf22at)(tarectt220a)(2arect220a2例：求常数例：求常数a的傅里叶变换。的傅里叶变换。)(2)(211)(aat线性由对称性解：(

18、)2af( )atf t ( )afn下面，再与周期矩形脉冲的傅氏级数联系起下面，再与周期矩形脉冲的傅氏级数联系起来。若来。若 ，则由傅氏级数的复系数，则由傅氏级数的复系数t t fatsann 02022tzafn得得由由fasa nn故有故有也就是说，只有零处才有一条谱线，其余应该也就是说，只有零处才有一条谱线，其余应该有谱线的地方又恰好是抽样函数的零交点。有谱线的地方又恰好是抽样函数的零交点。此例说明了傅氏变换将周期、非周期信号此例说明了傅氏变换将周期、非周期信号统一在一起了。统一在一起了。由傅氏变换的物理意义，得到的公式由傅氏变换的物理意义，得到的公式ftfffftnnfn()liml

19、imlim 002此时此时 不为无限小量而为有限量，故有不为无限小量而为有限量，故有faa()lim() 022f ()2afn一般地，一般地，能量信号的傅氏变换能量信号的傅氏变换一定没有一定没有冲激函数；而冲激函数；而功率信号的傅氏变换功率信号的傅氏变换往往有往往有冲激函数。冲激函数。的傅里叶变换例：求)(tjt1)()()(2022)(),()(tfafftf试求例：已知)(2121)(tsgnt解：（注意：它不能用（注意：它不能用指数衰减函数取极指数衰减函数取极限的方法）限的方法）fj()() 010或：或：)(f22a2)2()()(2)(2)2(2)2(2)(tsaaffftsaas

20、aatf解：为实常数则若aafaatfftf)(1)(),()(atxdteatfatfatj令证明：若)()(, 03. 比例性（尺度变换）比例性（尺度变换）)(1)()(afaaxdexfaxjatxdteatfatfatj令若)()(, 0)(1)()()()(afaaxdexfaxdexfaxjaxj特别地，当特别地，当 时，有时，有a1ftf( )() 这时，对称性又可表示为这时，对称性又可表示为ftf()( ) 2此性质说明：此性质说明： 表示时间信号表示时间信号 在在时间域里时间域里压缩了压缩了 倍，倍，则其频谱则其频谱 表示表示 在在频率域里频率域里扩展了扩展了 倍；倍；反之亦

21、然。反之亦然。f t ( )f at()aafa f)(fa22)(fa2)(tf22at)(tfta4. 时移性时移性0)()(),()(0tjefttfftf则若000)()()(,)()()(000tjxjtjtxjtjefdxexfedxexfttxdtettfttf则上式令证明：由定义00tt化了不会变化，但相位谱变秒，其振幅谱中延时了上式表明，信号在时域（附加相移附加相移）( (时移因子）时移因子）)()(ftf的频谱例：求三矩形脉冲信号22)(tftat-t冲信号，则表示中间的单个矩形脉解：设)(0tf)()()()(000ttftfttftf)2()()(00saaftf)1)

22、()(0tjtjeeff由时移性，)cos21)(2(tsaa既标度又时移既标度又时移：f attafaejta()010证明：由定义证明：由定义fattedtfx edxaaefx edxaefajtjxtajtajaxjta()( )( )000011注意下面的推理注意下面的推理是错误的是错误的： f tff atafaf attafaejt( )( )()()11001.1.2.2. f tff ttafef attafaejtajta( )( )()( )()0000215. 频移性（调制定理）频移性（调制定理）)()(),()(00fetfftftj则若dteetfetftjtjtj

23、00)()(证明：由定义)(0 fdtetftj)(0)(例：若例：若f tf( )( )则则ftftfej()() 111)()(00 fetftj00)(可使其整个频谱搬移乘以函数tjetf)(21sin000tjtjeejt由于)(21cos000tjtjeet)()(21cos)(000ffttf所以)()(2sin)(000ffjttf( (频移因子频移因子) ) 注意：不是乘以注意：不是乘以et)(f2a0w)(tfttf0cos)(00a02w)(f称为载波，称振幅调制，其中tttf00coscos)(称为已调制信号。称为调制信号，ttftf0cos)()(振幅调制一般用振幅调制一般用乘法器乘法器来实现：来实现：ft ( )cos,sin00torty t ( )振幅调制又称振幅调制又称幅度调制幅度调制，除此之外，还有，除此之外，还有频频率调制率调制，相位调制相位调制等。等。通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经通信技术中，未经调制的信号（基带信号）经电缆传输后，可能因衰减太大，在接收端得到电缆传输后，可能因衰减太大，在接收端得到的接收信号很难分清