数学分析反常积分111非负无穷积分

1、第十一章第十一章 反常积分反常积分2008022811.1 11.1 非负函数无穷积分非负函数无穷积分 的收敛判别法的收敛判别法 aaxxfafd)()( 记记,),上上黎黎曼曼可可积积且且在在任任意意有有限限区区间间定定义义于于设设aaaf ,)(lim afa如如果果.d)(收敛收敛称称 axxf,)( , 0的增函数的增函数是关于是关于则则设设aaff :故有故有一、比较审敛法一、比较审敛法那那么么充充分分大大的的设设 ), ( ),()(0 xxgxf )( 2 .11比较审敛法比较审敛法定理定理1 .11定理定理则则设设 , 0 f 收敛收敛axxfd)(.),)(上有界上有界在在a

2、af收敛收敛收敛收敛若若 aaoxxfxxgd)(d)( 1发散发散发散发散若若 aaoxxgxxfd)(d)( 2例例1.1134的收敛性的收敛性判别广义积分判别广义积分 xdx解解,111103/43434xxx , 134 p根据比较审敛法根据比较审敛法.1134收敛收敛广义积分广义积分 xdx 时发散时发散当当时收敛；时收敛；当当11 )0(ppaxdxap常用的比较对象：常用的比较对象：)( 3 .11比比较较审审敛敛法法的的极极限限形形式式定定理理，则则且且设设lxgxfgfx )()(lim , 0,同同敛敛散散；与与 aaxxgxxfld)(d)(,0 1收收敛敛；收收敛敛，

3、aaxxfxxgld)(d)( 0 2.d)(d)( , 3发发散散发发散散 aaxxfxxgl例例2解：解：的的敛敛散散性性判判断断xxxd)1(arctan1232 ,时时当当 x)(12)1(arctan)(3232xgxxxxf .该该广广义义积积分分收收敛敛例例3解：解：的敛散性的敛散性讨论讨论 )0(d11 pxexxp, ,1xpexfx 时时, 0lim1lim121 xpxxpxexxex. ,d112知原积分收敛知原积分收敛收敛收敛由由xx 二、无穷积分与级数的关系二、无穷积分与级数的关系 ,d)( 收敛收敛如如 axxf, 不一定是非负的不一定是非负的f,),(1 aaa

4、n,d )(d )(111 nnaaaaxxfxxfnnn ,n令令 1d )(d )(1naaaxxfxxfnn.写写成成级级数数形形式式收收敛敛的的无无穷穷积积分分总总可可以以, ,na条件的数列条件的数列如果存在一个满足上面如果存在一个满足上面反之反之,d )(11收敛收敛使得使得 naaxxfnn收敛收敛 axxfd)(? :例如例如.cosd0发散发散 x不存在不存在axaaasinlimcosdlim0 此时级数此时级数而如果取而如果取 , nan. , 0d )(d )(1)1(11收敛收敛 nnnnaaxxfxxfnn 我们有如下定理我们有如下定理而对于非负函数而对于非负函数

5、,4 .11定理定理 , , )( , 0)(1 aaaxfn如如设设使使得得级级数数,d )(11收敛收敛 naaxxfnn,d )(收敛收敛则则xxfa 1.d )(d )( 1naaaxxfxxfnn且且证：证：, ,lim且单调增且单调增由由 nna. , 01 nnaaana使得使得总有总有对对所以所以由于由于 , 0 f 1nnaaaaaa.d )(d )(d )(11111 nnaaaannaaxxfxxfxxfnnnn.由由夹夹逼逼定定理理即即得得证证例例4解：解：xxxxdsin1026 0)1(26dsin1nnnxxxx 考虑考虑xxxxannndsin1)1(26 xxxnnndsin11)1()1(26 2026sin1d)1(2 xnxn232202(1)d21ntntn ,dsin1 0)1(26收敛收敛 nnnxxxx .dsin1 ,0026收敛收敛及定理知及定理知由由xxxxf xxnndsin11)1(026 过程略过程略. 0lim, nnnaa则则收敛收敛. 0)(lim ,d )(不一定为不一定为收敛收敛但但xfxxfxa ;, 0)(lim 4且无界且无界不趋于不趋于：如例如例xfx.)(, nafnann取取)25(：反反证证法