考研高等数学基础班(第0106课)

1、2013考研考研数学基础班数学基础班第一章第一章 函数、极限、连续函数、极限、连续一、函数一、函数1 1. .函数的概念函数的概念( (定义域、对应法则、值域）定义域、对应法则、值域）2 2. .函数的性态：函数的性态：单调性、奇偶性、周期性、有界性单调性、奇偶性、周期性、有界性 有界性有界性 ： ;)(, 0mxfixm 3 3. .复合函数与反合函数复合函数与反合函数 ( (求复合函数和反函数）求复合函数和反函数）4 4. .基本的初等函数与初等函数基本的初等函数与初等函数将幂函数将幂函数 , ,指数指数, ,对数对数, ,三角三角, ,反三角统称为基本反三角统称为基本初等函数初等函数.

2、.了解它们的定义域了解它们的定义域, ,性质性质, ,图形图形. .（1 1）基本初等函数）基本初等函数: : 第一章 函数、极限、连续函数函数（2 2）初等函数：）初等函数： 由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和由常数和基本初等函数经过有限次的加、减、乘、除和复合所得到且能用一个解析式表示的函数复合所得到且能用一个解析式表示的函数. .常考题型：常考题型：1 1. .函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；函数有界性、单调性、周期性及奇偶性的判定；2 2. .复合函数；复合函数；第一章 函数、极限、连续函数函数【例例1 1】)(e|sin|)(cos xxxxfx（a a）有界

3、函数）有界函数. . （b b）单调函数）单调函数. . 是（是（ ）（c c）周期函数）周期函数 （d d）偶函数）偶函数. .第一章 函数、极限、连续函数函数 ,1)(,sin)(2xxfxxf _)( x 【例例2 2】已知已知则则定义域为定义域为 【解解】 第一章 函数、极限、连续2( )sin , ( )1f xx fxx 由由知2s in()1xx 2( )arcsin(1)xx 211x 22x 则则令令得得函数函数 0, 0,)(, 0, 2, 0,2)(2xxxxxfxxxxxg )(xfg【例例3 3】设设则则( )g f x . 0,2, 0,22xxxx【解解】 第一章

4、 函数、极限、连续函数函数二、极限二、极限1 1. .极限概念极限概念（1 1）数列极限）数列极限: : :limaann , 0 , 0 n nn .| aan当当时，恒有时，恒有（2 2）函数极限）函数极限: : :)(limaxfx 0 , 0 x xx |.|)(| axf, ,当当时，恒有时，恒有;)(limaxfx axfx )(limaxfx )(limaxfxfxx )(lim)(lim:)(lim0axfxx 0 , 0 |00 xx.|)(| axf, ,当当时时, , 恒有恒有第一章 函数、极限、连续极限概念及四大性质极限概念及四大性质 )(lim0 xfxx)0()(0

5、0 xfxf )(lim0 xfxx)0()(00 xfxf右极限：右极限：左极限：左极限：axfxfaxfxxxxxx )(lim)(lim)(lim000 几个值得注意的极限：几个值得注意的极限：;1arctanlim0 xx;lim10 xxe;limxxe ;arctanlimxx xxx21lim 第一章 函数、极限、连续10limxxe （错）（错）. . (1)(1)1100lim, lim0 xxxxee limxxe （错）（错）. . (2)(2)极限概念及四大性质极限概念及四大性质01limarctan2xx 0011lim arctan, lim arctan22xxx

6、x limarctan2xx lim arctan, lim arctan22xxxx 21lim1xxx 2211lim1, lim1xxxxxx （错）（错）. . （错）（错）. . （错）（错）. . 正确的是正确的是正确的是正确的是正确的是正确的是(3)(3)(5)(5)(4)(4)极限概念及四大性质极限概念及四大性质2.2.极限性质极限性质（1 1）局部界性）局部界性 )(lim0 xfxx)(xf0 x若若存在存在, , 则则在在某去心邻域有界。某去心邻域有界。（2 2）保号性）保号性 axfxx )(lim00 a,0 ),(0 xux ;0)( xf 如果如果, ,则存在则存

7、在当当时，时，),(0 xux , 0)( xf. 0 a如果当如果当时时, ,那么那么设设极限概念及四大性质极限概念及四大性质有理运算性质有理运算性质 .)(lim ,)(limbxgaxf 那么那么: : 若若 baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim baxgxfxgxf )(lim)(lim)()(lim)0( )(lim)(lim)()(lim bbaxgxfxgxf第一章 函数、极限、连续存在存在 不存在不存在 不存在；不存在；不存在不存在 不存在不存在 不一定；不一定；存在存在( () )不存在不存在 不一定；不一定；不存在不存在( () )不存在不存在 不一定不

8、一定. .(1)(1)(3)(3)(2)(2)(4)(4)极限概念及四大性质极限概念及四大性质 2 2） ; 0)(lim0)(lim, 0)()(lim xgxfaxgxf极限值与无穷小之间的关系极限值与无穷小之间的关系; ;)()()(limxaxfaxf . 0)(lim x 其中其中)()(limxgxf;0)(lim0)(lim xfxg 两个常用的结论：两个常用的结论：存在，存在，1 1）第一章 函数、极限、连续极限概念及四大性质极限概念及四大性质 3 3. .极限存在准则极限存在准则 （1 1）夹逼准则：）夹逼准则： ,nnnzyx ,limlimazxnnnn .limaynn

9、 若存在若存在且且则则 （2 2）单调有界准则：）单调有界准则： 单调有界数列必有极限。单调有界数列必有极限。 ; 1)1ln(lim0 xxx; 11lim0 xexx;ln1lim0axaxx ;1)1(lim0 xxx. 1lim nnn4 4. .常用的基本极限常用的基本极限;)1(lim10exxx ;)11(limexxx ; 1sinlim0 xxx,n当当nn 时，时，第一章 函数、极限、连续极限存在准则、常用极限及无穷小量极限存在准则、常用极限及无穷小量（2 2）无穷小的比较）无穷小的比较0)( , 0)(xx 高阶：高阶： 0)()(lim xx );()(xx 若若； 记

10、为记为同阶：若同阶：若; 0)()(lim cxx 1)()(lim xx );()(xx 等价：若等价：若；记为；记为5 5. .无穷小量无穷小量（1 1）无穷小量的概念）无穷小量的概念 , 0)(lim0 xfxx)(xf0 xx 若若则称则称为为时的无穷小量。时的无穷小量。设设第一章 函数、极限、连续极限存在准则、常用极限及无穷小量极限存在准则、常用极限及无穷小量无穷小的阶无穷小的阶: : 0)()(lim cxxk )(x )(x k若若，称，称是是的的阶无穷小阶无穷小. .（4 4）等价无穷小代换）等价无穷小代换, lim limlim 若若且且存在，存在， 则则 （3 3）常用等价

11、无穷小：）常用等价无穷小： 0 x时时, ,xxxxxarctanarcsintansin; 1)1ln( xex,21cos12xx ,1)1(xx ,ln1 axax 当当第一章 函数、极限、连续极限存在准则、常用极限及无穷小量极限存在准则、常用极限及无穷小量（5 5） 无穷小的性质无穷小的性质: :（2 2）有限个无穷小的积仍是无穷小）有限个无穷小的积仍是无穷小. .（1 1）有限个无穷小的和仍是无穷小）有限个无穷小的和仍是无穷小. .（3 3）无穷小量与有界量的积仍是无穷小）无穷小量与有界量的积仍是无穷小. .6.6.无穷大量无穷大量 ,)(lim0 xfxx)(xf0 xx 若若则称

12、则称为为时的无穷大量时的无穷大量（1 1）无穷大量的概念）无穷大量的概念第一章 函数、极限、连续极限存在准则、常用极限及无穷小量极限存在准则、常用极限及无穷小量 nnnnnann!ln . 1, 0, 0 a 当当时时 其中其中（2 2）常用的一些无穷大量的比较）常用的一些无穷大量的比较xxaxx ln. 1, 0, 0 a 当当时时 其中其中（3 3）无穷大量与无界变量的关系：无穷大量与无界变量的关系： 无穷大量无穷大量无界变量无界变量第一章 函数、极限、连续极限存在准则、常用极限及无穷小量极限存在准则、常用极限及无穷小量（4 4）无穷大量与无穷小量的关系：）无穷大量与无穷小量的关系：)(x

13、f)(1xf)(xf, 0)( xf)(1xf在同一极限过程中在同一极限过程中, , 如果如果是无穷大是无穷大, , 则则是无穷小；反之是无穷小；反之, , 如果如果是无穷小是无穷小, , 且且则则是无穷大；是无穷大；常考题型：常考题型：1.1.求极限；求极限；2.2.无穷小量阶的比较；无穷小量阶的比较；第一章 函数、极限、连续极限存在准则、常用极限及无穷小量极限存在准则、常用极限及无穷小量1 1. .求极限：求极限：方法方法1 1 有理运算有理运算 xxxxxx)cos1(1cossin3lim20【例例1 1】 . . 第一章 函数、极限、连续2013sincoslim(1cos )xxx

14、xx x 【解解】0013sin1(limlim cos )2xxxxxx 13(30)22求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较.1111lim330 xxxxx 【例例2 2】【解解】33011lim11xxxxx 32 第一章 函数、极限、连续212233302 (1)(1)(1) lim2 ( 11)xxxxxxxx 求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较方法方法2 2 基本极限基本极限,)3(limnnnnncba . 0, 0, 0 cba【例例1 1】其中其中第一章 函数、极限、连续lim( )0,lim( )xx ( )lim(1( ).xaxe | 型极限，关于此

15、类极限有以下常用结论型极限，关于此类极限有以下常用结论【分析分析】 本题是本题是若若且且则则，a求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较3()(1)33nnnnnnnnabcabc 31(1) (1) (1)limlim133nnnnnnxxabcabcnn 【解解】由于由于且且3ln3lim()3nnnnabcxabceabc 1(lnlnln )ln3nabcabc 则则求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较【例例2 2】极限极限 xxbxaxx)(lim2ea b eb a 1e（ ）（a a） （b b） （c c） （d d）第一章 函数、极限、连续2limlim()()(

16、)()xxxxxxxxxaxbxaxb aba beee 【解法解法1 1】求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较第一章 函数、极限、连续2lim()()xxxxaxb lim(1)lim(1)xxxxabxx aba beee 【解法解法2 2】故应选（故应选（c c）求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较方法方法3 3 等价无穷小代换等价无穷小代换【例例1 1】.)1ln(lim2tansin0 xxeexxx 第一章 函数、极限、连续sintantansintan2300(1)limlimln(1)xxxxxxxeeeexxx 3300sintantan (cos1)liml

17、imxxxxxxxx 2301()12lim2xxxx 【解解】求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较.1111lim330 xxxxx 【例例2 2】第一章 函数、极限、连续01232 1lim1 223 1xxxxx 【解解】求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较方法方法4 4 夹逼原理夹逼原理【例例1 1】 nnnnnnnnn2222211lim第一章 函数、极限、连续【解解】由于由于且且则则 nnnnnnnnn2222211lim求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较【例例2 2】nnnn321lim 第一章 函数、极限、连续【解法解法2 2 】由于【解法解法1 1】

18、331233 33 3nnnnnnnn lim31nn lim 1233nnnn 又又则则3 nnnn321lim 求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较第一章 函数、极限、连续，则，则又又,lim21nnmnnnaaa ), 2 , 1( , 0miai 【例例3 3】 其中其中【解解】 令令1maxii maa 12nnnnnnnnnnaaaaamaa m 则则lim1nnm 12limnnnnmnaaaa 【注注】本题的结论是一个常用结论本题的结论是一个常用结论求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较 方法方法5 5 单调有界准则单调有界准则., 2 , 121, 0, 011

19、 nxaxxxannn，.limnnx 【例例】设设求极限求极限第一章 函数、极限、连续10,0ax 0.nx 111()222nnnnnaaxxxaxx nx【解】则数列则数列 有下界，又有下界，又知知求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较第一章 函数、极限、连续211()022nnnnnnaxaxxxxx nx1()2axxx .xa 则数列则数列单调减，从而单调减，从而存在存在令令则则，求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较2 2. .无穷小量阶的比较无穷小量阶的比较0 x2)(kxx xxxxcosarcsin1)( 【例例1 1】当当时，时，与与是等价无穷小，则是等价无穷

20、小，则 ._ k第一章 函数、极限、连续201arcsincos1limxxxxkx 2011cosarcsinlim2xxxxkx 【解解】113(1)224kk 34k 则则求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较0 x)1ln()cos1(2xx nxxsin【例例2 2】设当设当时，时，是比是比高阶高阶 nxxsin)1e (2 x的无穷小，而的无穷小，而是比是比高阶的无穷小，高阶的无穷小， 则则 正整数正整数n等于等于 （a a）1. 1. （b b）2. 2. （c c）3. 3. （d d）4 4.第一章 函数、极限、连续241(1cos )ln(1) 2xxx 1sinnn

21、xxx 221 xex 214n 2n 【解解】，则则，即，即求极限与无穷小阶的比较求极限与无穷小阶的比较三、连续三、连续1 1. .连续的定义连续的定义: : )()(lim00 xfxfxx )(xf0 x若若, ,称称在在处连续。处连续。)()(lim00 xfxfxx )()(lim00 xfxfxx 左连续左连续: : 右连续：右连续： )(xf)(xf连续连续左连续且右连续左连续且右连续 2 2. .间断点间断点 1 1）第一类间断点）第一类间断点: : 左左, ,右极限均存在的间断点右极限均存在的间断点可去间断点可去间断点: : 左极限左极限 = = 右极限右极限跳跃间断点跳跃间

22、断点: : 左极限左极限 右极限右极限2 2）第二类间断点）第二类间断点: : 左左, ,右极限中至少有一个不存在右极限中至少有一个不存在无穷间断点无穷间断点 振荡间断点振荡间断点 第一章 函数、极限、连续连续的定义、性质和间断点连续的定义、性质和间断点3 3. .连续函数性质连续函数性质（1 1）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复）连续函数的和、差、积、商（分母不为零）及复合仍为连续函数；合仍为连续函数；（2 2） 基本初等函数在其定义域内是连续；基本初等函数在其定义域内是连续；)(xf,ba)(xf,ba（3 3）有界性：若）有界性：若在在上连续上连续, ,则则在在上有界。上有界。)(xf,ba)(xf,ba（4 4）最值性）最值性: : 若若在在上连续上连续, , 则则在在最大值和最小值。最大值和最小值。上必有上必有 初等函数在其定义区间内是连续；初等函数在其定义区间内是连续；)(xf,ba),()(bfaf )(af),(ba （5 5）介值性）介值性: : 若若在在上连续上连续, ,且且 则对则对之间任一数之间任一数c,c,与与 )(bf至少存在一个至少存在一个使得使得.)(cf 第一章 函数、极限、连续连续的定义、性质和间断点