15利用两个重要极限求极限

1、目录目录1sinlim. 10 xxxexxx )11 (lim. 2教学目的：教学目的：理解并会应用两个重要极限求函数的极限。理解并会应用两个重要极限求函数的极限。1.5 1.5 目录目录xxysin 一、一、1sinlim0 xxx1、观察函数图象变化趋势、观察函数图象变化趋势不难得出不难得出:当自变量当自变量 x0时时, 函数无限趋于函数无限趋于 1.目录目录x0 xxsin0.10.99833416646828154750180.010.99998333341666645335270.0010.99999983333334163670970.00010.9999999983333334

2、1747730.00000000001112、再看看在计算机上进行的数值计算结果：目录目录即：三统一即：三统一前提：含三角函前提：含三角函数的数的0/0型未定式型未定式 1)()(sinlim3. 0) xxx (推广形式：推广形式：1sinlim0 xxx? )()(sin )()(sin xxxx 目录目录4 4、特点：、特点：1、分子、分母的极限值均为、分子、分母的极限值均为0.2、分子是分母的正铉函数、分子是分母的正铉函数.目录目录xxxsinlim.0求求xxxxxxsin1limsinlim00 1 00 xxxsinlim10 例例解解有有何何提提示？示？ 1)(sin)(lim

3、3 0) xxx (：推广形式推广形式 1sinlim2 0 xxx：推广形式推广形式要记住要记住会用会用目录目录xxx25sinlim0求求xxxxxxxx2555sinlim25sinlim00 xxx55sinlim250 25125 00例例解解xxx3sin2sinlim0求求xxx3sin2sinlim03211 32 00 xxxxxxx323sin322sinlim0 例例解解目录目录.cos1lim20 xxx 求求例例解解2202sin2limxxx 原式原式220)2(2sinlim21xxx 2020)22sin(lim412)2sin(lim2xxxxxx 2121

4、.21 127)3sin(lim.23 xxxx求求)3)(4()3sin(lim127)3sin(lim323 xxxxxxxx3)3sin(41lim3 xxxx3)3sin(lim41lim33 xxxxx111 00例例解解目录目录xxxtanlim0求求xxxxxxxcossinlimtanlim00 xxxxcos1sinlim0 xxxxxcos1limsinlim00 1 00例例解解xxx sinlim 求求 xxxxnn sinlimsinlim xxnsinlim 0例例解解xx 目录目录xxx3sin5sinlim)2(03555sin3sin3lim0 xxxxx x

5、xxxxx55sinlim3sin3lim3500 351135 练习练习.求极限求极限xxxsinsinlim)3(01sinsinsinsinlim0 xxxxxxxx37sinlim)1(0373777sinlim0 xxxxxx1sinlim4 ）（111sinlim01 xxx目录目录xxxsinlim1 ）（练习练习.求极限求极限xxx1sinlim2 ）（xxx1sinlim30）（1sin,01,)1( xxx因因为为0sin1limsinlim xxxxxx111sinlim1sinlim)2(01 xxxxxx11sin,1, 0)3( xxx因因为为01sinlim0 x

6、xx根据第一个重要极限根据有界变量与无穷根据有界变量与无穷小的积是无穷小小的积是无穷小根据有界变量与无穷根据有界变量与无穷小的积是无穷小小的积是无穷小解解1sinlim0 xxx目录目录（1 1）幂指函数的底趋于幂指函数的底趋于1，指数趋于无穷时，其极限值是，指数趋于无穷时，其极限值是e.,1x 令令. e e 10)1(lim称作称作:1型极限型极限 10)1(lim)11(limxxx的特点的特点极限极限二二exxx )11(lim.)71828. 2( e又一表又一表现形式现形式目录目录)(10)()()()(1 lim)(11 limxuxuxuxuxuxu (2)(2)底是常数底是常

7、数1 1与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的倒数与一个无穷小量之和，指数是底中无穷小量的倒数. e xxxxxx10)1(lim)11(lim 互为倒数. e 互 为 倒 数目录目录常用运算公式：bababababaabxxxxxxxx .3.2)(.1目录目录exx ) ()61(lim. 1exx ) (0)31(lim. 2exx ) (0)1(lim. 3例例：填空填空exx ) (0)51(lim. 4exx ) (211 lim. 5exx ) (31 lim. 6exx ) (11 lim. 7exx ) (041 lim. 86xx3x1 x51x23xx x4方法：凑倒数

8、形式方法：凑倒数形式目录目录.)11(lim2 xxx 求求2)11(limxxx .2e 2)11(limxxx .)21(limxxx 求求?2)21(lim xxx原原式式22)21(limxxx .2e 型1型1例例解解例例解解2)11(lim xxx原原式式22)21(lim xxx目录目录.)11(lim2 xxx求求2)11()11(limxxxx 原原式式=e解解例例目录目录.)31(lim20 xxx 求求?*30)31(limxxx 原原式式.32e 型132*30)31(limxxx 例例解解3230)31(limxxx .)11(lim1 xxx求求)11()11(li

9、mxxxx 原原式式)1)()(11(lim xxx)1()()(11(lim xxxe1 型1例例解解目录目录.)1ln(lim0 xxx 求求xxxxxx100)1ln(lim )1ln(1lim 原式原式)1(limln10 xxx 1ln e例例abbalnln 目录目录321lim xxxx）（求求：xxxxxx22)11(lim11)111(lim 221 ee型型 1分子分母同除分子分母同除x3232)1(lim)1(lim1limxxxxxxxxxxx ）（例例目录目录.)11(lim2 xxxx求求.2 e2)11()11(lim xxxxxx原原式式xxxx)1111(li

10、m 2)11(lim)11(lim xxxxxxxxxxxx)11()11(lim xxxxxx)11(lim)11(lim ee1 分子分母同除分子分母同除xxxxxxx)11(lim)11(lim)1)( 例例解解目录目录练习练习：求下列极限求下列极限xxx)11(lim. 1 xxx30)51(lim. 2 210)51(lim. 3 xxxnnn )21(lim. 41)21(lim. 5 xxx解解xxx)11(lim. 1 xxx30)51(lim. 2 1)1)()1(1 lim exxx5353*50)51(limexxx 210)51(lim. 3 xxx210)51(*)51(limxxxx 5*510)51(limxxx 5e 目录目录nnn )21(lim. 42