15函数极限与性质

1、函数的极限函数的极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限、自变量趋向无穷大时函数的极限2、自变量趋向某一确定值、自变量趋向某一确定值x0时函数的极限时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx播放播放一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、

2、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限.sin时的变化趋势时的变化趋势当当观察函数观察函数 xxx一、自变量趋向无

3、穷大时函数的极限一、自变量趋向无穷大时函数的极限问问题题: :函函数数)(xfy 在在 x的的过过程程中中, 对对应应函函数数值值)(xf无无限限趋趋近近于于确确定定值值 a. 0sin)(,无限接近于无限接近于无限增大时无限增大时当当xxxfx 通过上面演示实验的观察通过上面演示实验的观察:自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限问题问题: 如何用数学语言刻画下述过程如何用数学语言刻画下述过程:要点要点:(1)过程过程: x, 0 x;|xx (2)函数函数)(xf与与a无限接近无限接近:, 0 有有.|)(| axf定义定义:设函数设函数)(xf当当| x大于某一正数时有定

4、义大于某一正数时有定义. .如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), ,总存在总存在着正数着正数,x使得对于满足不等式使得对于满足不等式xx |的一切的一切,x函数函数“无限接近无限接近”确定值确定值)(xfa. .当当时时, ,x 自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), ,总存在总存在着正数着正数,x使得对于满足不等式使得对于满足不等式xx |的一切的一切,x自变量趋向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限如果对任意给定的正数如果对任意给定的正数 (不论它多么小不

5、论它多么小), ,总存在总存在着正数着正数,x使得对于满足不等式使得对于满足不等式xx |的一切的一切,x恒有恒有,|)(| axf那么常数那么常数a就叫函数就叫函数)(xf当当 x时的极限时的极限, ,记作记作axfx )(lim或或axf)(当当). x注注: 根据上述定义根据上述定义, ,可用可用axfx )(limx 语言语言描述如下描述如下:, 0 “, 0 x使得使得xx |时时, ,恒有恒有.|)(| axf”几何解释几何解释: x x.2,)(,的带形区域内的带形区域内宽为宽为为中心线为中心线直线直线图形完全落在以图形完全落在以函数函数时时或或当当 ayxfyxxxxa自变量趋

6、向无穷大时函数的极限自变量趋向无穷大时函数的极限, 0 “, 0 x使得使得xx |时时, ,恒有恒有.|)(| axf”单侧极限单侧极限:x)1(情形情形:,)(limaxfx 即即, 0 , 0 x使当使当xx 时时, ,恒有恒有.|)(| axfx)2(情形情形:,)(limaxfx , 0 , 0 x使当使当xx 时时, , 恒有恒有.|)(| axf定理定理axfx )(limaxfx )(lim且且.)(limaxfx 即即例例 1证明证明. 0sinlim xxx证证因为因为0sin xxxxsin ,1x , 0 于是于是可取可取,1 x则当则当xx 时时,恒有恒有,0sin

7、xx故故. 0sinlim xxx证毕证毕.例例 2用极限定义证明用极限定义证明. 021lim xx证证对于任意给定的对于任意给定的, 0 要使要使021 xx 21 只要只要,12 x即即2ln1ln x)1( 不妨设不妨设就可以了就可以了.因此，因此，对于任意给定的对于任意给定的, 0 取取,2ln1ln x则当则当xx 时，时，例例 2用极限定义证明用极限定义证明. 021lim xx证证因此，因此，对于任意给定的对于任意给定的, 0 取取,2ln1ln x则当则当xx 时，时，例例 2用极限定义证明用极限定义证明. 021lim xx证证 因此，因此，对于任意给定的对于任意给定的,

8、0 取取,2ln1ln x则当则当xx 时，时， 021x恒成立恒成立.所以所以. 021lim xx注注 ： 同理可证：同理可证：. 0lim xxq而当而当1 q时，时，. 0lim xxq10 q时，时，当当例例 3证明证明. 111lim xxx证证由由)1(11 xx12 x)1( x限制限制12 x现在，现在，, 0 令令 12x1, 12 xx 于是，于是，若取若取, 12 x则当则当xx 时，时，就有就有 )1(11xx即即. 111lim xxx证毕证毕.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限问题问题: 如何用数学语言描述下述过程如何用数学语言描述下述过程:

9、在在0 xx 的过程中的过程中, ,函数函数)(xf无限趋近于确定值无限趋近于确定值.a要点要点:(1)过程过程:0 xx , 0 ;|00 xx 体现体现x与与0 x的接近程度的接近程度. .(2)函数函数)(xf与与a无限接近无限接近:, 0 有有.|)(| axf定义定义若对任意给定的正数若对任意给定的正数 (不论它多么小不论它多么小), , 总存总存在正数在正数, 使当使当 |00 xx时时, ,函数函数)(xf都满足都满足不等式不等式,|)(| axf设函数设函数)(xf在点在点0 x的某一去心领域内有的某一去心领域内有定义定义.自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极

10、限不等式不等式,|)(| axf自变量趋向有限值时函数的极限自变量趋向有限值时函数的极限不等式不等式,|)(| axf则常数则常数a就称为函数就称为函数)(xf当当0 xx 时的极限时的极限. .记作记作axfxx )(lim0或或axf)(当当)0 xx 定义定义axfxx )(lim0, 0 , 0 使当使当 |00 xx时时, ,恒有恒有.|)(| axf注意注意: 1. .无关无关;2. . 与任意给定的正数与任意给定的正数 有关有关. .定义的几何解释定义的几何解释:)(xf在点在点0 x处是否有定义处是否有定义函数极限与函数极限与几何解释几何解释:)(xfy aaa0 x0 x0

11、xxyo.2,)(,0的带形区域内宽为为中心线图形完全落在以直线函数邻域时的去心在当ayxfyxx不唯一。的取法因此中的义都可以作为可小的正数任何比后找到一个显然,定例例 4 证明证明. 211lim21 xxx证证函数在点函数在点1 x处没有定义处没有定义,axf )(2112 xx,1 x任给任给, 0 要使要使,)( axf只要取只要取, 则当则当 10 x时时,就有就有,2112 xx. 211lim21 xxx处存在极限。但它在处没有定义虽然在此例说明函数1,111)(2xxxxxf处可以没有定义。在这个条件下因为在”这个作为条件的原因“极限定义中要求要有这就是为什么在函数的00)(

12、,0 xxxfxx适性。普义失去数学定义应有的这也将使函数极限的定这显然是不合理的，限则本题的函数就没有极”改成“如果把条件“,000 xxxx例例 5证明证明: 当当00 x时时,.lim00 xxxx 证证axf )(0 xx 00 xxxx ,00 xxx 任给任给, 0 要使要使,)( axf只要只要 00 xxx 且且, 0 x则当则当 00 xx时时,就有就有,0 xx.lim00 xxxx 取取 00,minxx ,211) 1(lim621xxxx证明例) 1(| 1|2| 1|211) 1(|2xxxxxx因为证：时，当取则有即内讨论，限制在时，不妨把当| 1-x|0,min

13、1,2,21| 1|211,| 1-|0201xxxxx211) 1(lim221| 1|2| 1|211) 1(|21x2xxxxxxxx从而证得成立。从而验证了极限的存在此时就有时或当则或取或使之变形为适当放大内讨论或限制在某一范围，将对任给出的的过程。方法如下：解不等式的过程就是或而找的过程或找就是根据的过程定义验证或用“|)(|,)|(|0),/)(/,min|)| /|)(|(| )(|)(|,)(|,)|(|00|)(|)(,)()(lim)(00000)(0axfxxxxxxcxaxfxxxaxfaxfcxcxxxaxfxxaxfxxx左右极限左右极限左极限左极限, 0 , 0

14、使当使当00 xxx 时时, ,恒有恒有.|)(| axf记作记作axfxxxx )(lim)0(00或或axf )0(0右极限右极限, 0 , 0 使当使当 00 xxx时时, ,恒有恒有.|)(| axf记作记作axfxxxx )(lim)0(00或或axf )0(0注意注意|0|0 xxx左右极限左右极限axfxxxx )(lim)0(00或或axf )0(0注意注意|0|0 xxx左右极限左右极限axfxxxx )(lim)0(00或或axf )0(0注意注意|0|0 xxx.0|0|00 xxxxxx 定理定理axfxx )(lim0.)0()0(00axfxf 例例 7验证验证xx

15、x0lim不存在不存在.证证xxx 0lim)1(limlim00 xxxx; 1 xxx 0lim1limlim00 xxxx. 1 左右极限存在但不相等左右极限存在但不相等.)(lim0 xfx不存在不存在.例例 8 设设,0, 10,)( xxxxxf求求).(lim0 xfx解解因为因为)(lim0 xfx )1(lim0 xx, 1 )(lim0 xfx xx 0lim. 0 即有即有)(lim0 xfx ),(lim0 xfx 所以所以)(lim0 xfx不存在不存在.例例 9设设),1(11)(11 aaaxfxx求求).(lim0 xfx解解)(xf在在0 x处没有定义处没有定

16、义,而而)(lim00 xfx 11lim1100 xxxaa1 )(lim00 xfx xxxaa110011lim 1 故故)(lim0 xfx不存在不存在.在某个过程中，在某个过程中， 若若)(xf有极限，有极限，)(xg无极限，无极限，那么那么)()(xgxf 是否有极限是否有极限 ？为什么为什么 ？问题思考问题思考函数极限的性质函数极限的性质与收敛数列的性质相比较与收敛数列的性质相比较, ,可得函数极限的一些相可得函数极限的一些相应性质应性质. .下面仅以下面仅以0 xx 的极限形式为代表给出这的极限形式为代表给出这些性质些性质, ,至于其他形式的极限的性质至于其他形式的极限的性质,

17、 , 只需作出些修只需作出些修改即可得到改即可得到. .唯一性定理唯一性定理若若)(lim0 xfxx存在存在, ,则极限唯一则极限唯一. .有界性定理有界性定理若若,)(lim0axfxx 则存在常数则存在常数0 m和和, 0 使得当使得当 |00 xx时时, ,有有.| )(|mxf 保号性定理保号性定理若若,)(lim0axfxx 且且0 a(或或),0 a则则, 0 使得当使得当 |00 xx时时, ,有有0| )(| xf函数极限的性质函数极限的性质则则, 0 使得当使得当 |00 xx时时, ,有有0| )(| xf函数极限的性质函数极限的性质则则, 0 使得当使得当 |00 xx

18、时时, ,有有0| )(| xf故若取故若取, 02/ a 则则, 0 使得当使得当|00 xx 时时, ,有有2/|)(|aaxf 2/)(aaxf 2/a , 0 证毕证毕. .证证只证只证0 a的情形的情形. .因因,)(lim0axfxx (或或).0)( xf注注: 由证明可见由证明可见, ,保号性定理的结论可加强为保号性定理的结论可加强为. 2/ | )(|axf 推论推论若若,)(lim0axfxx 且在且在0 x的某去心邻域内的某去心邻域内0)( xf(或或),0)( xf则则0 a(或或).0 a 如果函数如果函数f(x)、g(x)及及h(x),0|x-x0|0,0,1 1

19、0, ,使使 得当得当0|0|u- -a| 1, ,成立成立| |f( (u)-)-b|0,0,使得当使得当0|x-x0| , ,成立成立|g(x)-a| 1. .根据题设条件知在根据题设条件知在x0 0的的去心邻域内去心邻域内, ,有有0|g(x)-a| 1, ,因此成立因此成立|f(g(x)-b|0,0,1 10,0,使得当使得当| |u- -a| 1, ,成立成立| |f( (u)-)-f(a)|0,0,使得当使得当0|0|x-x0| ,成立成立| |g(x)-a| 1 1. .从而成立从而成立| |f(g(x)-f(a)| 0000( ),(, ),( ),ug xxxxuxg xu根

20、据定理，在求极限的过程中,只要令 且在过程中，对任意满足则就可以用变量代换求极限。30119lim11xxx例求极限126331( )(1) ,( )(1)111( ( )11uug xxf ufuxf g xx解令 ，无定义则( )0( )1,( )1,ug xxg xx因为当时但g所以满足复合函数的极限定理的第一个条件，故可代换求极限。33622011111(1)2limlimlim11311xuuxuuuuux1令u=(1+x)bufxguxx)(lim,)(lim:0如果问题0lim( ( )lim( )xxuf g xf ub是否成立？容易证明结论仍成立。请同学自证。容易证明结论仍成

21、立。请同学自证。11110lim1111xxx 例求极限 1,1 ,12lim(11)lim()011uuuxuxuuuu 解作代换当满足复合函数极限定理的条件,原式复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则设函数设函数)(xgfy 是由函数是由函数)(ufy 与函数与函数)(xgu 复合而成复合而成, ,心邻域心邻域内有定义内有定义, , 若若,)(lim00uxgxx ,)(lim0aufuu )(xgf在点在点0 x的某去的某去当当),(00 xux 时时, ,)(0uxg 有有则则且存在且存在, 00 )(lim0 xgfxx)(lim0ufuu .a 注注: : (1)将将0)(lim0uxgxx 换成换成 )(lim0 xgxx或或,)(lim xgx而把而把aufuu )(lim0换成换成,)(limaufu 可得到类似定理可得到类似定理; ;定理定理2复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则注注: : (1)将将0)(lim0uxgxx 换成换成 )(lim0 xgxx或或,)(lim xgx而把而把aufuu )(lim0换成换成,