函数的单调性86893

1、江苏省安宜高级中学江苏省安宜高级中学 于正明于正明 如图为扬州市如图为扬州市20072007年年2424小时内的气温变化小时内的气温变化图观察这张气温变化图：图观察这张气温变化图：问题问题1 1 气温在哪段时间内是逐渐升高的？逐渐下降的？气温在哪段时间内是逐渐升高的？逐渐下降的？问题问题2 2 怎样用数学语言刻画上述时段内怎样用数学语言刻画上述时段内 “随着时间的随着时间的增大气温逐渐升高增大气温逐渐升高”这一特征？这一特征？新知学习：新知学习：你能得出什么结论？的图象并观察图象和一、作出函数32xyxyy2402x2xy 3xy 240yx-4-2x01234y014916 观察函数y=x2

2、在在0，+）的图象，当x的值由由0逐渐增大逐渐增大时，函数y的变化的变化情况。o916411234yx观察得出：观察得出：函数y=x2图象在0，+）是上升的，即随着x值的逐渐增大y值也逐渐增大。 观察函数y=x2在在（-，0的图象，当 x的值由由-逐渐增大逐渐增大时，函数y的变化的变化情况。x-4-3-2-10y1694101xyo4916-1-2-3-4观察得出：观察得出：函数y=x2图象在（-，0是下降的，即随着x值的逐渐增大y值逐渐减小。240yx-4-2观察得出：观察得出：函数y=x3图象在（-，+ ）是上升的，即随着x值的逐渐增大y值逐渐增大。函数在某个区间上增大或减函数在某个区间上

3、增大或减小的性质，我们称单调性。小的性质，我们称单调性。能用图象上动点能用图象上动点p（x，y）的横、纵坐标）的横、纵坐标关系来说明上升关系来说明上升或下降或下降趋势吗趋势吗？xyo1yxxyo1yx xyo2yx 在某一区间内，在某一区间内，当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y也增大也增大图像在该区间内逐渐上升；图像在该区间内逐渐上升；当当x的值增大时的值增大时,函数值函数值y反而减小反而减小图像在该区间内逐渐下降。图像在该区间内逐渐下降。函数的这种性质称为函数的单调性函数的单调性局部上升或下降局部上升或下降下降下降上升上升对区间对区间i内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f

4、(x1)f(x2)图象在图象在区间区间i逐渐上升逐渐上升？oxiy区间区间i内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大x1x2f(x1)f(x2)mn对区间对区间i内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2？iyf(x1)f(x2)omn任意任意区间区间i内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间i逐渐上升逐渐上升对区间对区间i内内 x1，x2 ，当当x1x2时，时， 有有f(x1)f(x2)xx1x2都都yf(x1)f(x2)o设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为a,区间区间i a. 如果对于如果对于区间区间i上的上的任意任意

5、当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，定义定义mn任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， i 称为称为 f (x)的的单调单调增区间增区间. 那么就说那么就说 f (x)在区间在区间i上上是单调是单调增函数增函数，区间区间i内内随着随着x的增大，的增大，y也增大也增大图象在图象在区间区间i逐渐上升逐渐上升i 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调减减函数函数，i称为称为f(x)的的单调单调 减减 区间区间.oxyx1x2f(x1)f(x2)类比单调增函数的研究方法定义单调减函数类比单调增函数的研究方法定义单调减函数. .xoyx1x2f(x1)

6、f(x2)设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为a,区间区间i a. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域a内内某个区间某个区间i上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2，设函数设函数y=f(x)的定义域为的定义域为a,区间区间i a. 如果对于属于定义域如果对于属于定义域a内内某个区间某个区间i上上的的任意任意两个自变量的值两个自变量的值x1,x2， 那么就说在那么就说在f(x)这个区间上是单调这个区间上是单调增增 函数函数，i称为称为f(x)的的单调单调 区间区间.增增当当x1x2时，时，都有都有f(x1 ) f(x2 )，当当x1x2时，时，都有都有 f (x1 )

7、f(x2 )，单调区间单调区间（2 2）函数单调性是针对某个）函数单调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质; ;（1 1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间i i是单调增函数或单调减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y = =f( (x) )在区间在区间i i上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判断1 1：函数函数 f (x)= x2 在在 是单调增函数是单调增函数；, xyo2yx（2 2）函数单调性是针对某个）函数单

8、调性是针对某个区间区间而言的，是一个局部性质而言的，是一个局部性质; ;（1 1）如果函数）如果函数 y =f(x)在区间在区间i i是单调增函数或单调减函数，那么是单调增函数或单调减函数，那么就说函数就说函数 y = =f( (x) )在区间在区间i i上具有单调性。上具有单调性。在单调区间上，在单调区间上，增函数的图象是增函数的图象是上升上升的，减函数的图象是的，减函数的图象是下降下降的。的。判断判断2 2：定义在：定义在r上的函数上的函数 f ( (x) )满足满足 f (2) (2) f(1)(1)，则函数则函数 f ( (x) )在在r上是增函数；上是增函数；（3 3） x 1, x

9、 2 取值的取值的任意任意性性yxo12f(1)f(2)例例1 1、下图为函数、下图为函数 , 的图像，的图像，指出它的单调区间。指出它的单调区间。 4,7x y= f x123-2-3-2-1123456 7xo-4-1y-1.5-1.5-1.5，33，55，66-4-4，-1.5-1.5，33，55，66，77解：单调增区间为解：单调增区间为单调减区间为单调减区间为例例2.画出下列函数图像，并写出单调区间：画出下列函数图像，并写出单调区间：1(1)(0);yxxx1yxy1yx的单调减区间是_ (,0)(0,),讨论讨论1：根据函数单调性的定义，根据函数单调性的定义，1(0)(,0)(0,

10、)yxx能不能说在定义域上是单调减函数? 2试讨论在和上的单调性试讨论在和上的单调性？( )(0)kf xkx0,0 ？归纳：归纳：()(0 )kfxkx 已知已知k，b是常数，函数是常数，函数 单调区间单调区间 单调性单调性 k0k0 a02yaxbxc,2ba,2ba 2(0)yaxbxc a的对称轴为2bxa ,2ba ,2ba例例3.3.判断函数判断函数 在定义域在定义域 上的单调性上的单调性. .1yxx0,描点作图描点作图1. 任取任取x1，x2d，且，且x1x2；2. 作差作差f(x1)f(x2)；3. 变形（通常是因式分解和配方）；变形（通常是因式分解和配方）；4. 定号（即判

11、断差定号（即判断差f(x1)f(x2)的正负）；的正负）；5. 下结论下结论主要步骤主要步骤并给出证明并给出证明证明：在区间证明：在区间 上任取两个值上任取两个值 且且 1,12,x x12xx则则12121211()()()()f xf xxxxx121211()()xxxx211212()()xxxxxx1212121()()xxxxxx12,1,x x ，且，且12xx12120,10 xxx x 1212()()0,()()f xf xf xf x所以函数所以函数 在区间上在区间上 是增函数是增函数. . 1yxx1,取值取值作差作差变变形形定号定号结论结论返回 试用定义法证明函数 在区间 上是单调增函数。11)(xxf0, 小小 结结 讨论函数的单调性必须在定义域内进行讨论函数的单调性必须在定义域内进行,即函数的单调区间是其即函数的单调区间是其定义域的子集定义域的子集,因此讨论函数的单调性因此讨论函数的单调性,必须先确定函数的定义域必须先确定函数的定义域;根据定义证明函数单调性的一般步骤是：根据定义证明函数