定积分的计算64830

1、第三讲第三讲 定积分的计算定积分的计算 内容提要内容提要 1 1. . 定积分的换元积分法；定积分的换元积分法； 2.2.定积分的分部积分法定积分的分部积分法 。 教学要求教学要求 熟练掌握熟练掌握定积分的换元积分和分部积分法定积分的换元积分和分部积分法 ； 一、定积分的换元法一、定积分的换元法,)(上上连连续续在在设设baxf:)(满满足足下下列列条条件件而而ux 零的导数，零的导数，上单调且有连续并不为上单调且有连续并不为在在,)()1( ux ,)()2(a b )( dxxfba )(duuuf)()( 定积分的换元积分公式定积分的换元积分公式注意：注意：,)(时时换换成成新新变变量量

2、把把原原来来变变量量用用uxux .的的积积分分限限新新变变量量积积分分限限也也要要换换成成相相应应于于u则则解解,3ux 设设,3ux 则则.32duudx ；时，时，当当00 ux，时，时，当当28 ux例例1dxx 80311求求duuu220311 duuu 20211)1(3dxx 80311duuu 20213duuu 201113202|1|ln213 uuu3ln3 解解,12ux 设设例例2dxxx 40122求求,212 ux则则.ududx ；时，时，当当10 ux，时，时，当当34 uxdxxx 40122duuuu 312221duu 312)3(2131333121

3、 uu317 解解例例4dxxx 20224求求,sin2ux 设设，时，时，当当00 ux,cos2ududx 则则,cos242ux ，时，时，当当22 uxdxxx 20224uduuucos2cos2)sin2(202 duu 2022sin4 duu 2024cos14 4sin41 22020 uu duu 20)4cos1(2 )4cos(22020duudu )4(4cos41 22020ududu .sincos205 xdxx求求解一解一 令令,cosxu 2 x, 0 u0 x, 1 u 205sincosxdxx 015duu1066u .61 ,sin xdxdu 例

4、例4解二解二.sincos205 xdxx)(coscosxxd 205 2066cos x 61 显然显然,解法二简单解法二简单用换元积分法麻烦！用换元积分法麻烦！ 610dxxx 053sinsin5求求例例解解xx53sinsin )sin1(sin23xx dxxx 023|cos|sindxxx 053sinsindxxx 2023cossin dxxx)cos(sin223 |cos|sin23xx )(sinsin2023xdx )(sinsin223xdx 2025sin52 x 225sin52x 54 例例6dxex 2ln01求求解解,1uex 设设),1ln(2 ux则

5、则. 0,0 ux时时当当. 1,2ln ux时时当当dxex 2ln01duuuu 10212duu 102)111(210arctan 2uu )41(2 duuudx122 duuu 102212证：证： 0)(adxxf 0)(aduuf aduuf0)(;0,0 ux时时.,auax 时时例例7试证明试证明上连续且为偶函数上连续且为偶函数在在设设,)(aaxf ，则则dudx adxxf0)( aadxxf)( adxxf0)(2，令令对对uxdxxfa 0)( aadxxfdxxf00)()( adxxf0)( adxxf0)( aadxxf)( adxxf0)(2 aadxxf)

6、( adxxf0)(,)(上上连连续续且且为为奇奇函函数数在在设设aaxf 0)( aadxxf证：证： 0)(adxxf 0)(aduuf aduuf0)(;0,0 ux时时.,auax 时时，则则dudx adxxf0)( aadxxf)(，令令对对uxdxxfa 0)( aadxxfdxxf00)()( adxxf0)( adxxf0)( aadxxf)( adxxf0)(0 试证明试证明练习练习 2121251dxxx奇函数奇函数例例8 8 计算计算解解.11212125 dxxx原式原式偶函数偶函数 2121211dxx 2102112dxx210arcsin2x 3 练习练习计算下

7、列定积分：计算下列定积分：dxxxxx 332423122sin. 1dxxx 44cos1. 2 0 0 定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式证明：证明： ,vuvuuv . bababavduuvudvdxvuvudxuvbaba )()( bavdxu上上有有连连续续导导数数，在在及及设设函函数数,)()(baxvvxuu 移项移项 bauv即即 . bababavduuvudv则有则有二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 badxvuduvba , baudv.110 dxxex求求例例解解 10dxxex)(10 xexd 10|xxe e 1 10dxex10|xe e

8、 1 e . bababavduuvudv.arctan210 xdxx求求例例解解 10arctan xdxx)(arctan21102 xxd102|arctan21xx 421 421 )414(21 214 . bababavduuvudv11022 dxxx)111(102 dxx| )arctan(10 xx .2cos320 xdxex求求例例解解 . bababavduuvudv 202cos xdxex)(2cos20 xexd 202cos xex )2(cos20 xdex 12 exdxex2sin220 12 e)(2sin220 xedx 12 e)2(sin20

9、xdex 20)2sin( 2 xex 12 e 202cos4 xdxex 202cos xdxex)1(512 e所以所以 202cos xdxx求求解解xdxx cos202 )(sin202xdx 20202sin2sinxdxxxx 20)(cos2xxd 20202cos2cos24xdxxx42 202sin24x 242 练习练习 . bababavduuvudv.cos41602 dxx求求例例解解 . bababavduuvudv,ux 设设,2ux ,2ududx ；时，时，当当00 ux.4162 ux时，时，当当 1602cos dxx 40cos2 uduu 40)

10、(sin uud 40cos uduu40)sin( uu sin40 udu224 40cos u 12282 1602cos dxx2242 所以所以例例5 eedxx1ln求求解解 eedxx1ln 111lnlneedxxdxx 111lnlneexdxxdx 11lnexdx 11111lneedxxxxx12 e1lnln111 eeexxxxdx eedxx1lne22 exdxe21ln11 . bababavduuvudv例例6 6 计算计算解解 402cos xxdx xdxtan40 40tan xx xdxtan40 4 .22ln4 . bababavduuvudv

11、402cos xxdx 40cosln x 设设函函数数)(xu、)(xv在在区区间间 ba,上上具具有有连连续续导导数数，则则有有 bababavduuvudv. .定积分的分部积分公式定积分的分部积分公式推导推导 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、分部积分公式二、分部积分公式例例1 1 计算计算.arcsin210 xdx解解令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(112120221xdx 12 2

12、1021x . 12312 则则例例2 2 计算计算解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 例例3 3 计算计算解解.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 例例4 4 设设 求求解解 21,sin)(xdtttxf.)(10

13、dxxxf因为因为ttsin没有初等形式的原函数，没有初等形式的原函数，无法直接求出无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法，所以采用分部积分法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf例例5 5 证明定积分公式证明定积分公式 2200cossi

14、nxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数证证 设设,sin1xun ,sin xdxdv ,cossin)1(2xdxxndun ,cosxv dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni积分积分 关于下标的递推公式关于下标的递推公式ni4223 nninni,直到下标减到直到下标减到0或或1为止为止,214365223221202immmmim ,3254761

15、222122112immmmim ), 2 , 1( m,2200 dxi, 1sin201 xdxi,221436522322122 mmmmim.325476122212212 mmmmim于是于是定积分的换元法定积分的换元法dxxfba )(duuuf )()(注意：注意：当被积函数在不定积分中用第二换元当被积函数在不定积分中用第二换元 .)(, 0.)(,)(2)(0为为奇奇函函数数时时当当为为偶偶函函数数时时当当xfxfdxxfdxxfaaa小结小结:积分法时积分法时,定积分的分部积分法定积分的分部积分法 . bababavduuvudv在定积分中用换元法在定积分中用换元法.思考题思

16、考题设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx. 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2 解解思考题思考题设设)(xf 在在 1 , 0上连续，且上连续，且1)0( f，3)2( f，5)2( f，求，求 10)2(dxxfx.思考题解答思考题解答 10)2(dxxfx 10)2(21xfxd 1010)2(21)2(21dxxfxfx 10)2(41)2(21xff )0()2(4125ff . 2

17、一、一、 填空题：填空题：1 1、设、设 n n 为正奇数，则为正奇数，则 20sin xdxn_；2 2、设、设 n n 为正偶数，则为正偶数，则 20cos xdxn= =_；3 3、 dxxex10_；4 4、 exdxx1ln_；5、 10arctan xdxx_ .二、二、 计算下列定积分：计算下列定积分：1 1、 edxx1)sin(ln； 2 2、 eedxx1ln；练练 习习 题题3 3、 0sin)(xdxxmjm， （m为自然数）为自然数）4 4、 01)1cos(sinxdxnxn. .三三、已已知知xxf2tan)( , ,求求 40)()(dxxfxf. .四四、若若 ,0)(在在xf 连连续续，,1)(,2)0