对弧长的曲线积分22735

1、第一节第一节 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念 与性质二、对弧长的曲线积分的计算一、对弧长的曲线积分的概念与性质 1、 曲线型物件的质量： 设曲线型物件是非均匀的,它的线密度是变量，且曲线型物件所占的位置在xoy面内的一段曲线弧l上，它的端点为a、b，在l上任一点 (x,y)处，线密度为 ，现要计算这物件的质量m.),(yx计算思路： 若构件的线密度为常量,则构件的质量为，lm , 以均匀代替非均匀。故当分割无穷细时;,) 1 (1121来分析取其中一小段个小段，分割为将上的点分割：用计算步骤：iinmmnlmmml)( :, , )2(1表示小段的长度为故得小段的质

2、量近似值度代替小段的线密处的线密度意一点小段上任细时，用近似替代：当分割无穷iiiiiiismm(3) 求和：整个构件质量近似值为niiiism1,(4) 取极限：)()(lim1,0个小弧度的最大长度表示nsmniiiiiiiism,2、 对弧长的曲线积分定义定义 设l为xoy面内的一条光滑曲线弧，函数 f(x,y)在l上有界，在l上任意插入一点列 把l分成n个小段.设第 i个小段长度为 ，又 为第i个小段上任意取定的一点乘积 ，并作和 ,如果当各小弧段的长度的最大值 ，这和的极限总存在，则称此极限为函数f(x,y) 在曲线弧l上对弧长的曲线积分或isii,), 2 , 1( ,nisfii

3、iniiiisf1,0121,nmmm第一类曲线积分，即其中f(x,y)叫做被积函数，l叫做积分弧段.注意：以后总假定f(x,y)在l上是连续的.lsx,yf )d(niiiilsfsyxf10),(limd),(记作：3、推广:若积分弧段为空间曲线弧 ,则函数f(x,y,z)在曲线弧 上对弧长的曲线积分为niiiiisfszyxf10),( limd),(则为常数设，、 lllsyxgsyxfsyxgyxfd),(d),( d),(),(l=l1+l2)则，和弧可分成两段光滑的曲线若积分弧段 21llllllsyxfsyxfsyxf21d),(d),(d),(性质2性质14、性质：，则上设在

4、),(),(yxgyxfl d),(d),(llsyxgsyxf特别地，有.d),(d),(llsyxfsyxf性质3lsyxfd),(注意： 若l为闭曲线，则可记曲线积分为二、 对弧长的曲线积分的计算法 1、定理 设f(x,y)在曲线弧l上有定义且连续, l的参数方程为存在，且，则曲线积分且上具有在，其中lsyxfttttttytxd),(0)()(, ,)()()( )()( 22一阶连续导数)( d )()()(),(d),(22tttttfsyxfl证:nnnntttttbmmmmmalbamt12101210 , 其对应一列单增参数值上取一列点，在变至由时，变至由假定当iiiiiii

5、iiitt1 ,)()(,此时，即对应设点iniiilsfsyxf10),( limd),( 由定义有tttsiittid )()( 122由弧长公式得iitt换成上连续，可将在闭区间因22,)()(iiiniiltfsyxfi )()( )(),( limd),( 2210故有iiiiiiiiittttttsi1122, )()( 其中由积分中值定理得iiiniiiltfsyxf)()()(),(lim d),(2210故有)( d)()( )(),(d),(22tttttfsyxfl即：2、计算法的理解与应用)( d)()( )()(d ,d ),( ) 1 (22注意即可。的定积分到再作

6、，、分别换为、只要将的计算对弧长曲线积分tttttsyxsyxfl则为参数，则若取 )( )2(0xxx xyxxx)( d)(1)(,d),( 020xxxxxxfsyxfxxl则，为参数，则若取 )( )3(0yyy yyyxy)( d)(1),(d),(020yyyyyyfsyxfyyl(4) 推广: 对空间曲线弧，为)( )()()(ttztytx)( d )()()()(),(),(d),(222tttttttfszyxf则.) 11 ()0 , 0(,d 12之间的一段弧，与点上是抛物线其中计算例boxylsylxxxsyxxyxxlld)(1d ) 10( 221022的方程解：xxxd411021551214112110232x例2 计算半径为r、中心为2的圆弧l对于它的对称轴的转动惯量i(设线密度=1).解：取坐标系如图所示，则).( sin ,cos ,d 2ryrxlsyil的参数方程利用为了便于计算).cossin()2sin2(233rr.d)cos()sin(sin d22222rrrsyil于是22sin2dsin33rr例3 计算曲线积分为，其中szyxd)(222螺旋线的一段弧。到从上相应于20 sincostktzta